固體物理第五章習題.ppt

1、1,第五章 習題,2,1. 晶格常數(shù)為a的一維晶體中，電子的波函數(shù)為（1） （2） ，f是某一函數(shù)，求電子在以上狀態(tài)中的波矢。,3,由固體物理教程（5.14）式,求解,可知，在一維周期勢場中運動的電子波函數(shù)滿足,由此得,于是,（1）,因此得,4,若只取布里淵區(qū)內的值：,則有,（2）,令,得,由上式知,所以有,由此得在布里淵區(qū)內的值為k=0。,5,2. 一維周期勢場為,其中a=4b，W為常數(shù)，試畫出此勢能曲線，并求出勢能的平均值。,6,圖：一維周期勢場,求解,7,由圖所示，由于勢能有周期性。因此只有一個周期內求平均即可，于是得,8,3. 用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個禁帶寬度。

2、,9,根據(jù)教科書（5.35）式知禁帶寬度的表達式為Eg=2|Vn|，其中Vn是周期勢場V(x)付里葉級數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)可由固體物理教程（5.22）式,求解,求得,第一個禁帶寬度為,10,第二禁帶寬度為,11,5. 對簡立方結構晶體，其晶格常數(shù)為a。 （1）用緊束縛方法求出對應非簡并s態(tài)電子能帶； （2）分別畫出第一布里淵區(qū)110方向的能帶、電子的平均速度、有效質量以及沿110方向有恒定電場時的加速度曲線。,12,求解,非簡并s態(tài)電子的能帶,式中Rn是晶格參考格點的最近鄰格矢。 對于簡單立方晶體，任一格點有6個最近鄰，取參考格點的坐標為(0, 0, 0)， 6個最近鄰坐標為,簡單立方晶體非簡并s

3、態(tài)電子的能帶則為,13,（2）在110方向上 能帶變成,其中,在110方向上，在第一布里淵區(qū)內，電子的能帶如圖所示,14,電子的平均速度,平均速度曲線,15,有效質量曲線,電子的有效質量,16,在110方向上有恒定電場情況下，電子受的力,電子的加速度,設電場方向與110方向相反，加速度曲線則如圖,17,7用緊束縛方法處理體心立方晶體，求出 (1) s態(tài)電子的能帶為,(2) 畫出第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線； (3) 求出帶底和帶頂電子的有效質量.,18,(1)用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子，當只計及最近鄰格點的相互作用時，其能帶的表示式為,解答,是最近鄰格矢,對體心立方晶格，取參考格點的坐

4、標為（0, 0, 0） 則個最近鄰格點的坐標為,19,將上述8組坐標代入能帶的表示式，得,20,(2) 在111方向上,其中,且第一布里淵區(qū)邊界在,于是能帶化成,第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線,21,(3) 由能帶的表示式及余弦函數(shù)的性質可知，當 kx=ky=kz=0時，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能帶底，電子有效質量為,同理可得,其他交叉項的倒數(shù)全為零,22,而在布里淵區(qū)邊界上的,處是能帶頂，電子的有效質量為,其他交叉項的倒數(shù)也全為零,23,13平面正三角形結構，相鄰原子間距為a，試求 (1) 正格矢和倒格矢； (2) 畫出第一和第二布里淵區(qū)，求第一布里淵區(qū)內切圓半徑,24,(1

5、) 正格原胞的基矢如圖所示取為,解答,i和j是相互垂直的單位矢量,取單位矢量k垂直與i和j,構成的體積,則,倒格原胞的基矢為,25,(2) 選定一例格點為原點，原點的最近鄰倒格矢有6個，它們是：b1, b2, (b1+b2),這6個倒格矢中垂線圍成區(qū)間構成了兩部分：以原點為對稱心正六邊形是第一布里淵區(qū)正六邊形外的6個三角形部分是第二布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內切圓半徑,26,19證明迪阿哈斯范阿耳芬效應的周期為,其中是kz=0平面在費密球上所截出的面積,27,由熱力學可知，當磁感應強度B增加dB時，磁場H所作的功,解答,即系統(tǒng)內能的微分,其中Vc是晶體體積,由電磁學可知，磁感應強度、磁場和磁化率的

6、關系是,28,由(1)，(2)兩式可得,其中0是真空中的磁導率由上式可以看出，磁化率隨磁場的倒數(shù)作振蕩，應是系統(tǒng)內能微商U/B隨1/B作振蕩的反映,當不存在磁場時，能態(tài)在波矢空間分布是均勻的當由磁場存在時，能態(tài)重新分布，磁場的作用使電子的量子態(tài)高度簡并，此時電子的狀態(tài)密度為,29,令,則電子系統(tǒng)的能量,對上式求微分,30,可見，每當時，U/B將成為極大值，磁化率將變成極小值 設B=Bi時， 對應磁化率的一個極小值，相鄰的一個極小值對應B=Bi+1,因為,所以,式中有一項,31,上式的(1/B)是一個固定的常量，這說明，每當兩個1/B的間距(周期)等于這一常量時，磁化率 曲線就多一個極小也就是說，磁化率以磁場倒數(shù) （1/B）作振蕩 因為kz=0的平面在費密球上截得的圓面積 費密能 所以有,其中我們假設Bi+1大于Bi，由以上兩式可得,32,20從E=E0到E=EF能帶都為,其中mx, my, mz都是大于零常數(shù)求電子能態(tài)密度,其中n為單位體積內的電子數(shù),33,由已知條件可將波矢空間內電子能帶滿足的方程化為,解答,將上式與橢球公式,比較可知在波矢空間內電子等能面是一橢面， 與橢球的體積4abc/3比較可得到