一般二次曲線的化簡與分類

1、.,4.2 一般二次曲線的化簡與分類（Simplification and classification of general quadratic curves）,在中學(xué)平面解析幾何中,曾經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓(圓)、雙曲線和拋物線等圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,它們都是二次曲線。本章討論更一般的二次曲線。 在平面直角坐標(biāo)系下,關(guān)于x和y的二元二次方程 所表示的曲線，稱為一般二次曲線（a11，a12和a22不全為零）。,.,4.2.1 一些常用記號（Notations）,為了以后討論問題和書寫的方便,引進(jìn)下面的一些記號：,.,根據(jù)這些記號的含義,可驗證下面的恒等式成立： F(x,y)= xF1(x,y) + y

2、F2(x,y) + F3(x,y) 稱F (x,y) 的系數(shù)所組成的矩陣 為二次曲線(4.2-1)的系數(shù)矩陣,或稱F (x,y) 的矩陣 再引入幾個記號：,.,例1 試求二次曲線 的系數(shù)矩陣A,F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1. 解 由以上記號知,.,4.2.2 直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變換規(guī)律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）,為了選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換來化簡二次曲線的方程，需要了解在坐標(biāo)變

3、換下方程的系數(shù)是怎樣變化的。 由上節(jié)討論，知道一般的坐標(biāo)變換可以分解為移軸和轉(zhuǎn)軸兩部分。因此，將分別考察移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對方程系數(shù)的影響。,.,1) 平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律,將平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲線方程，化簡整理，設(shè)曲線方程變?yōu)?F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得平移變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律： (1) 二次項系數(shù)不變； (2) 一次項系數(shù)變?yōu)镕1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常數(shù)項變?yōu)镕(x0,y0).,.,若取新坐標(biāo)原點(diǎn)O (x0,y0)滿足方程,

4、則在新坐標(biāo)系下,方程中將無一次項,曲線對稱于原點(diǎn),點(diǎn)(x0,y0)就是曲線的對稱中心。如果對稱中心是唯一的,稱為曲線的中心。此時方程稱為中心方程。 注：當(dāng)I20時,上一方程組就有唯一解,這時曲線稱為中心型二次曲線；當(dāng)I2=0時,方程組就沒有解或有無窮多解,這時曲線稱為非中心型二次曲線或無心型二次曲線。,.,例2 求二次曲線 的中心.,解 (x0,y0)是對稱中心必須且只需滿足中心方程,即 解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲線的中心 .,.,2) 旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律,將旋轉(zhuǎn)公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲線方程，

5、化簡整理，曲線方程變?yōu)?F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得旋轉(zhuǎn)變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律: (1) 二次項系數(shù)一般可變,但新系下方程的二次項系數(shù)僅與舊系下方程的二次項系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān),而與一次項系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)； (2) 一次項系數(shù)一般也可變，但新系下方程的一次項系數(shù)僅與舊系下方程的一次項系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān)，而與二次項系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)； (3) 常數(shù)項不變。,.,根據(jù)公式的表達(dá)式，若選取角，使,則方程中沒有交叉乘積項。 注：若要通過旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項，只須旋轉(zhuǎn)角 滿足： a12=(a22-a11)cos sin +a1

6、2(cos2 -sin2)=0, 即 (a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0 從而得旋轉(zhuǎn)角 滿足,.,因為余切的值可以是任意實數(shù)，所以一定存在 滿足上式。這就是說，一定可以通過轉(zhuǎn)角 消去交叉項。 上式中的 不是唯一的，為確定起見，一般規(guī)定0 需要說明的是,我們?yōu)槭裁床挥?? 這是因為當(dāng) a11=a22 時, 該式?jīng)]有意義,而 完全可以決定旋轉(zhuǎn)角= /4.當(dāng)a12=0時,雖然 也無意義,但這時方程中已經(jīng)不含交叉項,就用不到轉(zhuǎn)軸變換了.,.,例 利用轉(zhuǎn)軸變換,消去二次曲線x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉項.,解 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,由決定方程得 可取 , 故轉(zhuǎn)軸公式為： 代入原

7、方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為,.,4.2.3 二次曲線的判別（Quadratic curve discriminant）,從前面的討論可知，二次曲線化簡的關(guān)鍵是如何消去方程中的交叉項xy和一次項。化簡一般二次曲線方程，首先要判別二次曲線的類型，然后根據(jù)曲線的類型，采用不同的坐標(biāo)變換。 二次曲線的類型可以用I2來判別：當(dāng)I20時,二次曲線是中心型曲線；當(dāng)I2=0時,二次曲線是非中心型曲線.又可以細(xì)分為以下3種類型： (1) 橢圓型：I20， (2) 雙曲型：I20， (3) 拋物型：I2=0。 注：二次曲線類型判別的嚴(yán)格證明，參看后文的利用不變量化簡曲線方程部分。,.,4.2.4 二次曲線的化

8、簡與作圖（Simplification and graphing of Quadratic curves）,根據(jù)坐標(biāo)變換下方程系數(shù)的變化規(guī)律，對于中心型二次曲線，可以先求出曲線的中心，通過移軸變換消去一次項，然后再作轉(zhuǎn)軸變換時，就不用整理一次項了。而對于非中心型二次曲線，由于曲線沒有中心，只能先作轉(zhuǎn)軸變換。這就是說，要根據(jù)曲線的類型，采用不同的化簡方法。,.,1)中心型二次曲線(I20)的化簡與作圖：,對于中心型二次曲線，采用“先移后轉(zhuǎn)”，較為簡便。 其具體步驟是： 1、解中心方程組，求出曲線的中心(x0,y0) ； 2、作平移變換，消去一次項； 3、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ；

9、4、作旋轉(zhuǎn)變換，消去交叉項，得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 5、將旋轉(zhuǎn)變換代入平移變換，得到直角坐標(biāo)變換公式； 6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。,.,例 化簡二次曲線方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并畫出它的圖形。,解 因 I252-2260，所以曲線為中心型二次曲線?！跋纫坪筠D(zhuǎn)”。 1、解中心方程組 得到曲線中心（2,1） 2、做移軸變換 原方程變?yōu)?x2+4xy + 2y2-12=0 這里實際上只需計算F (2,1)12，因為移軸時二次項系數(shù)不變,一次項系數(shù)變?yōu)?。 3、再做轉(zhuǎn)軸變換消去xy項，令 得 tan =1/2

10、或 tan =-2 取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/2,.,4、轉(zhuǎn)軸變換公式 ：,代入,可將方程化簡為 標(biāo)準(zhǔn)方程是 這是一個橢圓,如圖所示. 作圖要點(diǎn)：要比較準(zhǔn)確地畫出新舊坐標(biāo)系和曲線的圖形,必須掌握好比例、新舊原點(diǎn)的位置以及坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.本題中坐標(biāo)系O-xy平移到(2,1)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.,.,注：本題轉(zhuǎn)軸時若取tan-2，,則可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的轉(zhuǎn)軸公式是 得到的標(biāo)準(zhǔn)方程為 , 圖形相對于原坐標(biāo)系的位置不變。此時Ox軸的正向

11、恰好是圖中y 軸的反向。,.,例 化簡二次曲線方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,寫出坐標(biāo)變換公式并作出它的圖形,解 因為I20,所給的二次曲線是雙曲型的. 中心方程組 解得中心坐標(biāo)為 ( 2,2) .作移軸變換 原方程化為 再作轉(zhuǎn)軸變換 ， 得旋轉(zhuǎn)角為 .故轉(zhuǎn)軸變換為,.,二次曲線的方程化簡為,標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線,其圖形如圖所示。 作圖時,先將坐標(biāo)系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角 / 4得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.,.,將轉(zhuǎn)軸公式,代入移軸公式, 得坐標(biāo)變換公式為,.,注：利用移軸可以直接化簡缺少xy項

12、的二次曲線方程,化簡的關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)囊戚S公式.常用的方法有配方法和代入法.在應(yīng)用配方法時必須注意,要分別先對關(guān)于x與y的項進(jìn)行集項,然后把x2與y2項的系數(shù)括出來再配方. 利用直角坐標(biāo)變換的方法化簡曲線方程，不僅能夠得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且同時得到坐標(biāo)變換公式，并能作出曲線的圖形，這是其它方法所不能做到的。,.,2)非中心型二次曲線( I2=0)的化簡與作圖：,對于非中心型二次曲線，采用“先轉(zhuǎn)后移”，較為簡便。其具體步驟是： 1、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 2、作旋轉(zhuǎn)變換,消去交叉項，同時消去1個二次項； 3、對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”，先配二次項,再配一次項； 4、令“配方”后的

13、括號內(nèi)分別為x和 y (相當(dāng)于作平移變換),得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 5、將平移變換代入旋轉(zhuǎn)變換,得到直角坐標(biāo)變換公式。 6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy，O-xy和O-xy ,在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。,.,例 化簡二次曲線方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,寫出坐標(biāo)變換公式并畫出它的圖形。,解 由于I2=14-22=0,曲線是非中心型的,應(yīng)先轉(zhuǎn)軸后移軸。 1、設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,則有 得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同樣可將原方程化簡),則有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得轉(zhuǎn)軸公式為,.,代入原方

14、程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為,配方得： 3、再做移軸變換 曲線方程就化為最簡形式 4、寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為：,.,這是一條拋物線.它的頂點(diǎn)是新坐標(biāo)系O-xy 的原點(diǎn),原方程的圖形可以根據(jù)它在坐標(biāo)系O-xy 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出,如圖 所示.,將移軸公式代入轉(zhuǎn)軸公式,得坐標(biāo)變換公式為 作圖要點(diǎn)：坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角tan2成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中可根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.為了看出曲線在原坐標(biāo)系中的位置,作圖時需要將新舊坐標(biāo)系同時畫出.,.,例 化簡二次曲線方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0,解 計算得I2 0, I3 = 0,可知所給二次

15、曲線是退化的雙曲型曲線,表示兩條相交直線直接將原方程左邊分解因式,得 (x-y +3)(2x + 3y-7) = 0, 故原二次曲線的方程表示兩條相交直線 x-y + 3 = 0 和 2x + 3y-7 = 0. 綜上所述,利用直角坐標(biāo)變換化簡二次曲線方程,不僅可以得到二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,還可以寫出所作的坐標(biāo)變換公式,并作出曲線的圖形,這正是直角坐標(biāo)變換的優(yōu)勢所在.,.,4.2.5 二次曲線方程的分類（Classification of equation of Quadratic curves),根據(jù)上面的討論可知,對于中心型二次曲線,先通過移軸消去一次項,再通過轉(zhuǎn)軸消去交叉項,曲線的方程可化

16、為標(biāo)準(zhǔn)方程 按照標(biāo)準(zhǔn)方程系數(shù)的正負(fù),中心型二次曲線又分為橢圓型和雙曲型 () 橢圓型: I2=a11a220。 1 實橢圓: a330, a11 a330 ； 3 點(diǎn)橢圓: a33=0。,.,() 雙曲型： I2=a11a220。,4 雙曲線： a330； 5 兩條相交直線： a33=0。 對于非中心型曲線也稱為拋物型曲線,通過轉(zhuǎn)軸消去交叉項,再對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”,曲線的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)方程 或 按照系數(shù)情況分為,.,() 拋物型：I2=0， a11=0， a220。,6 拋物線： a130； 7 一對平行的直線： a13=0， a22 a33 0; 8 無軌跡(兩平行共軛虛直線)： a13=0， a22