高數(shù))第3章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.ppt

1、1,第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2,一、羅爾( Rolle )定理,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,第一節(jié) 中值定理,3,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，費(fèi)馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理 是它的特例，柯西定理是它的推廣。,1. 預(yù)備定理費(fèi)馬(Fermat)定理,費(fèi)馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費(fèi)馬大、小定理而著名于世。,第一節(jié) 微分中值定理,4,5,幾何解釋:,6,證明:,7,右圖，區(qū)間a, b上一條光滑曲線弧，且兩端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，除區(qū)間端點(diǎn)外處處有不垂直于x

2、 軸的切線，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處切線有何特點(diǎn)？,觀察與思考：,8,幾何解釋:,2. 羅爾(Rolle)定理,y=f(x),如果連續(xù)光滑的曲線 y=f(x) 在端點(diǎn) A、B 處的縱坐標(biāo)相等。那么，在曲線弧上至少有一點(diǎn) C(x , f(x)，曲線在 C點(diǎn)的切線平行于 x 軸。,如果函數(shù)yf(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，(3) f(a)f(b)，則至少存在一點(diǎn)x(a, b)，使得f (x) 0。,9,證,由費(fèi)馬引理,10,注意： 如果定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。,f(x)不滿足條件(1),f(x)不滿足條件(3),f(x)不滿

3、足條件(2),11,但它滿足定理的三個(gè)條件，有水平切線,可能有同學(xué)會(huì)問，為什么不將條件(1)(2)合并為f (x)在a ,b上可導(dǎo)？,可以.但條件加強(qiáng)了，就排斥了許多僅滿足三個(gè)條件的函數(shù).,例如函數(shù) ，,則,顯然x = 0時(shí)，函數(shù)不可導(dǎo)，即不符合加強(qiáng)條件；,12,例1,驗(yàn)證,13,例2 不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，以及其所在范圍。 解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上滿足羅爾定理的三個(gè)條件。 在 (1, 2) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一個(gè)零點(diǎn)。 在(2, 3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

4、x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)。 f (x) 是二次多項(xiàng)式，只能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間(1, 2)及(2, 3)內(nèi)。,可導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間必有其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。,14,設(shè),且在,內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存,在一點(diǎn),使,分析:,要證,即,容易驗(yàn)證證,在,上滿足羅爾定理?xiàng)l件.,證明 設(shè),由羅爾定理定理得.至少存在一個(gè)x, 使得,即,從而,15,連續(xù),可微,端點(diǎn)函數(shù)值相等,分析:,設(shè)函數(shù) 內(nèi)可導(dǎo)，證明,16,由羅爾定理,至少存在一點(diǎn),證,17,分析問題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵 .,18,對(duì)于羅爾定理中的第三個(gè)條件 很多函數(shù)都不滿足，這樣就限制了羅爾定理的適用范圍，要是能取消

5、就好了。,19,觀察與思考： 連續(xù)光滑的曲線y=f(x) 在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)不相等。,f (x)？， f (h)？,問題： 直線AB的斜率k=？,答案：,f (x)f (h) k，,f(b)f(a)f (x)(ba) 。,f(b)f(a)？,20,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值公式,21,幾何意義：,注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,拉氏公式,22,證明,作輔助函數(shù),23,例3,24,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,或,特別地,或,拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：,25,推論1,證明,26,推論2,證明,2

6、7,例4,證,由推論1知,28,例5,利用拉格朗日定理可證明不等式.,證,29,例6,證,由上式得,30,例7,證,類似可證：,特別，,31,4. 柯西(Cauchy)中值定理,設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)滿足條件： (1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， (2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)， (3)在(a, b)內(nèi)任何一點(diǎn)處g(x)均不為零， 則至少存在一點(diǎn)x(a，b)內(nèi)，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.,說明：,32,柯西中值定理的幾何意義：,由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,直線AB的斜率為,曲線在點(diǎn)C1和C2的斜率為,33,證明,易知 F(x) 在 a, b 上滿足羅爾

7、定理的全部條件，因此， 至少存在一點(diǎn) x (a, b)，使,作輔助函數(shù),34,練習(xí)：,P132 習(xí)題3-1 6. 改為:,7. 9. 11.(2)改為:,35,證,36,第二節(jié) 洛必達(dá)法則,在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，這種極限稱為未定式，記為,洛必達(dá)法則是求函數(shù)極限的一種重要方法.,37,說明：,38,例. 求,解:,原式,注意: 不是不定型不能用洛比達(dá)法則 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,39,例. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 為正整數(shù)) ?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,40,例,等價(jià)無窮小替換,思考：

8、能不能直接洛必達(dá)法則？,41,例. 求,解:,注意到,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,42,43,例,例,能否繼續(xù)用洛必達(dá)法則？,44,說明:,1) 前面兩例表明,時(shí),后者比前者趨于,更快 .,例如,而,用洛比達(dá)法則,2),45,3) 若,例如,極限不存在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,46,例,47,例,解,極限不存在,洛必達(dá)法則失效。,48,二、其他不定型:,解決方法:,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),例. 求,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,49,解: 原式,例. 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),50,例. 求,解:,例5 目錄 上頁

9、下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),51,例,52,例,或解(重要極限法)：,53,第三節(jié) 泰勒(Taylor)公式,一、問題的提出,二、Pn和Rn的確定,三、泰勒(Taylor)中值定理,四、簡單的應(yīng)用,五、小結(jié) 思考題,54,一、問題的提出,在近似計(jì)算和理論分析中，我們總希望能用一個(gè)簡單的函數(shù)來近似的表示一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)。我們知道，最簡單的函數(shù)就是多項(xiàng)式，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算，便能求出其函數(shù)值來。因此我們常用多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)。,【回顧已有結(jié)論】：,近似公式,55,【不足】,1、精確度不高；,2、誤差不能估計(jì).,因此，對(duì)于精度要求較高且需要估計(jì)誤差的時(shí)候，就必須

10、用高次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)，同時(shí)可以給出誤差公式。,（1）具備什么樣條件的函數(shù)才能用多項(xiàng)式近似表達(dá)出來？,【問題】,56,（3）用這個(gè)多項(xiàng)式去近似代替給定的函數(shù)時(shí)所產(chǎn)生的誤差是多少？即余項(xiàng)問題。,（2）如果存在這樣的多項(xiàng)式，如何去求它？即定出這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。,57,分析:,2.若有相同的切線,3.若彎曲方向相同,近似程度越來越好,1.若在 點(diǎn)相交,58,二、Pn和Rn的確定,1. 求 n 次近似多項(xiàng)式,要求:,令,則,59,故,2. 余項(xiàng)估計(jì),令,(稱為余項(xiàng)) ,則有,60,61,62,三、泰勒(Taylor)中值定理,其中,拉格朗日型余項(xiàng),63,64,說明:,65,皮亞諾形式的余項(xiàng),在不需

11、要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為,66,麥克勞林(Maclaurin)公式,此時(shí)泰勒公式稱為麥克勞林公式.,拉格朗日型余項(xiàng),皮亞諾型余項(xiàng),67,四、簡單的應(yīng)用,【解】,代入公式,得,68,由公式可知,估計(jì)誤差,其誤差,【總結(jié)】,求n階麥克勞林公式的步驟：,(3)寫出麥?zhǔn)险故?,69,【常用函數(shù)的麥克勞林公式】,盡量熟記這些公式,70,71,72,73,74,75,【例2】,【解】,由于分母,故需將,于是,分別展為,【思考】,是否正確？為什么？,76,例3,解,77,【解】,【練習(xí)】,78,第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,79,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系,觀

12、察與思考：,函數(shù)單調(diào)增加,函數(shù)單調(diào)減少,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？,80,函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零。,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系,觀察結(jié)果：,函數(shù)單調(diào)減少,函數(shù)單調(diào)增加,81,定理,82,證,應(yīng)用拉格朗日定理,得,83,例1,解,例2,解,84,例3,解,85,例4,解,86,例4,解,也可用列表的方式，,87,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法:,注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,駐點(diǎn),88,例5,證,利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,89,即原式成立。,例6,證,90,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知，,利用函數(shù)的單調(diào)性

13、討論方程的根。,例7,證,91,小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.,92,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,二、曲線的凹凸與拐點(diǎn),93,觀察與思考：,函數(shù)曲線除了有上升和下降外，還有什么特點(diǎn)？,94,定義一 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的。,曲線凹向的定義,凹的,凸的,95,曲線凹向的定義,凹的,凸的,96,圖形上任意弧段位于所張弦的上方：凸的,圖形上任意弧段位于所張弦的下方：凹的,97,定義二,98,觀察與思考： 曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？,拐點(diǎn),凹的,凸的,當(dāng)曲線是凹的時(shí)， f (x)單調(diào)增加。,當(dāng)曲線是凸的時(shí)， f (x)單調(diào)減少。,曲線凹向的判定,曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。,99,定理,100,例8,解,101,例9,解,凹,凸,凹,拐點(diǎn),拐點(diǎn),102,