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文檔簡介
1、1.2.正余弦定理應用舉例,正弦定理:,正弦定理的一些常見變形:,余弦定理:,角化邊公式,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一對角,再由A+B+C=180,得出第三角,然后用正弦定理求出第三邊。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角,再用正弦定理求出兩邊。,用余弦定理求第三邊,再用余弦定理求出一角,再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出兩角,再由A+B+C=180得出第三角。,一邊和兩角 (ASA或AAS),兩邊和夾角(SAS),三邊(SSS),兩邊和其中一 邊的對角(SSA),解三角形時常用結論,二. 判斷三角形形狀,1.用正弦定理和余弦定理解三
2、角形的常見題型 測量: 距離問題、高度問題、角度問題、 計算面積問題、航海問題、物理問題等.,2.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標 視線的夾角,目標視線在水平視線 叫仰角, 目標視線在水平視線 叫俯角(如圖).,上方,下方,(2)方位角 指從 方向順時針轉到目標方向線的水平角, 如B點的方位角為(如圖).,正北,A,C,B,51o,55m,75o,測量距離,題型一 與距離有關的問題 要測量對岸A、B兩點之間的距離,選取 相距 km的C、D兩點,并測得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之間的距離. 分析題意,作出草圖
3、,綜合運用正、 余弦定理求解.,題型分類 深度剖析,解 如圖所示在ACD中, ACD=120,CAD=ADC=30, AC=CD= km. 在BCD中,BCD=45, BDC=75,CBD=60. 在ABC中,由余弦定理,得,測量高度,例2.在200 m高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的 俯角分別是30,60,則塔高為 ( ) 解析 作出示意圖如圖, 由已知:在RtOAC中,OA=200, OAC=30,則OC=OAtanOAC =200tan 30= 在RtABD中,AD= ,BAD=30, 則BD=ADtanBAD=,A,題型二 與高度有關的問題,變式2 如圖所示,測量河對岸的 塔高AB時
4、,可以選與塔底B在同一水 平面內的兩個測點C與D,現測得 BCD=,BDC=,CD=x,并 在點C測得塔頂A的仰角為,求塔高AB. 解 在BCD中,CBD=-,例3.在海岸A處,發(fā)現北偏東45方向,距離A n mile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75的 方向,距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此時,走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄, 問緝私船沿什么方向能最快追上走私船? 分析 如圖所示,注意到最快追上走 私船且兩船所用時間相等,若在D 處相遇,則可先在ABC中求出BC, 再在BCD中求BCD.,題型三 與角
5、度有關的問題,則有CD=10 t,BD=10t. 在ABC中,AB= -1,AC=2, BAC=120, 由余弦定理, 得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =( -1)2+22-2( -1)2cos 120=6, BC= , 即CBD=90+30=120, 在BCD中,由正弦定理,得 BCD=30.即緝私船北偏東60方向能最快追上走私船.,解:設緝私船用t h在D處追上走私船,,1.如圖,一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15,與燈塔相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后,又測得它在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為( ) (A) 海里/小時 (B) 海里/小
6、時 (C) 海里/小時 (D) 海里/小時,練習,【解析】選B.由題意知 NMS=15+30=45, MNS=60+45=105, 由正弦定理得,4.(2010泰州模擬)如圖,在 某點B處測得建筑物AE的頂端A的 仰角為,沿BE方向前進30米至C 處測得頂端A的仰角為2,再繼續(xù) 前進 米至D處,測得頂端A的仰角為4,則的值 為( ) (A)15 (B)10 (C)5 (D)20,【解題提示】解答本題的關鍵是將放在某一三角形中,借助正、余弦定理確定的值,就本題而言,在ACD中,三邊可求,利用正弦定理可求出cos2的值,進而確定的值.,【解析】選A.由條件知ADC中,ACD=2,ADC=180 -
7、4,AC=BC=30,AD=CD= ,二、填空題(每小題3分,共9分) 6.(2010珠海模擬)如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30,與O相距10海里的C處,現甲船以30海里/小時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船,甲船需要_小時到達B處.,【解析】由題意,對于CB的長度, 由余弦定理,得 CB2=CO2+OB2-2COOBcos120 =100+400+200=700. CB= , 甲船所需時間為 小時. 答案:,例4 如圖所示,已知半圓的直徑AB=2, 點C在AB的延長線上,BC=1,點P為半圓上的 一個動點,以DC為邊作等邊PCD,且點D與 圓心O分別在PC的兩側,求四邊形OPDC面積的 最大值.,題型四 正、余弦定理在平面幾何中的綜合應用,解 設POB=,四邊形面積為y, 則在POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OPO
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