高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理.ppt

1、第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,2.4二次函數(shù)與冪函數(shù),內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎知識自主學習,1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)_. 頂點式：f(x)_. 零點式：f(x) . (2)二次函數(shù)的圖象和性質,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知識梳理,1,答案,答案,2.冪函數(shù) (1)定義：形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù). (2)冪函數(shù)的圖象比較,yx,答案,(3)冪函數(shù)的性質 冪函數(shù)在(0，)上都有定義； 冪函數(shù)的圖象過定點(1,

2、1)； 當0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，)上單調遞增； 當0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)，且在(0，)上單調遞減.,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是 .() (2)二次函數(shù)yax2bxc，xR，不可能是偶函數(shù).() (3)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小.() (4)函數(shù) 是冪函數(shù).() (5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.() (6)當n0時，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù).(),答案,思考辨析,即m21， 解得m1.,(，1)(

3、1，),考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù) 的圖象是_.(填序號),解析顯然f(x)f(x)，說明函數(shù)是奇函數(shù)， 同時由當0 x1時， 當x1時， 故只有符合.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_. 解析如圖，由圖象可知m的取值范圍是1,2.,1,2,解析答案,1,2,3,4,5,(0，),答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類深度剖析,題型一求二次函數(shù)的解析式,例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1

4、，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式.,解析答案,思維升華,解方法一(利用一般式)： 設f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.,解析答案,思維升華,方法二(利用頂點式)： 設f(x)a(xm)2n. f(2)f(1)，,n8，,解析答案,f(2)1，,思維升華,方法三(利用零點式)： 由已知f(x)10的兩根為x12，x21， 故可設f(x)1a(x2)(x1)， 即f(x)ax2ax2a1.,解得a4， 所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.,思維升華,思維升華,求二次函數(shù)的解析式，關鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，所用所給出的條件

5、，根據(jù)二次函數(shù)的性質進行求解.,(1)二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式是_. 解析依題意可設f(x)a(x2)21， 又其圖象過點(0,1)， 4a11，,跟蹤訓練1,解析答案,(2)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域為(，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_. 解析由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關于y軸對稱， b2， f(x)2x22a2， 又f(x)的值域為(，4， 2a24， 故f(x)2x24.,2x24,解析答案,題型二二次函數(shù)的圖象與性質,命題點1二次函數(shù)的單調性,例2已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6， (1

6、)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調函數(shù)；,要使f(x)在4,6上為單調函數(shù)， 只需a4或a6， 解得a4或a6. 故a的取值范圍是(，64，).,解析答案,(2)當a1時，求f(|x|)的單調區(qū)間.,其圖象如圖所示. 又x4,6， f(|x|)在區(qū)間4，1)和0,1)上為減函數(shù)， 在區(qū)間1,0)和1,6上為增函數(shù).,解析答案,命題點2二次函數(shù)的最值,例3已知函數(shù)f(x)x22x，若x2,3，則函數(shù)f(x)的最大值為_. 解析f(x)(x1)21， 2x3(如圖)，,f(x)maxf(2)8.,8,解析答案,已知函數(shù)f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.,引申探究

7、,解析答案,解函數(shù)yx22x(x1)21， 對稱軸為直線x1， x1不一定在區(qū)間2，a內， 應進行討論，當21時，函數(shù)在2,1上單調遞減，在1，a上單調遞增， 則當x1時，y取得最小值，即ymin1. 綜上，當21時，ymin1.,命題點3二次函數(shù)中的恒成立問題,例4(1)設函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足10，則實數(shù)a的取值范圍為_.,解析答案,(2)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍為_.,解析2ax22x30在1,1上恒成立. 當x0時，適合；,解析答案,思維升華,思維升華,1.二次函數(shù)最值問題解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩

8、個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵 (1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5. (1)當a1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 解當a1時，f(x)x22x2(x1)21，x5,5， 所以當x1時，f(x)取得最小值1； 當x5時，f(x)取得最大值37.,跟蹤訓練2,

9、解析答案,(2)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調函數(shù). 解 函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對稱軸為直線xa， 因為yf(x)在區(qū)間5,5上是單調函數(shù)， 所以a5或a5，即a5或a5. 故a的取值范圍是(，55，).,解析答案,題型三冪函數(shù)的圖象和性質,解析 由冪函數(shù)的定義知k1.,解析答案,(2)若 則實數(shù)m的取值范圍是_.,解析答案,思維升華,解2m1m2m1，得1m2，,解析因為函數(shù) 的定義域為0，)，且在定義域內為增函數(shù)，,思維升華,思維升華,(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式. (2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中

10、指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.,(1)已知冪函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函數(shù)，則m_. 解析 函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3是冪函數(shù)， m2m11， 解得m2或m1. 當m2時，5m313，函數(shù)yx13在(0，)上是減函數(shù)； 當m1時，5m32，函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù). m1.,1,跟蹤訓練3,解析答案,(2)若 則實數(shù)a的取值范圍是_.,解析易知函數(shù) 的定義域為0，)，在定義域內為增函數(shù)，,解析答案,返回,思想與方法系列,典例(14分)已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最

11、小值. 思維點撥參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸與所給范圍的關系.,思想與方法系列,3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應用,思維點撥,解析答案,返回,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 (1)當a0時，f(x)2x在0,1上遞減， f(x)minf(1)2.3分,解析答案,溫馨提醒,(2)當a0時，f(x)ax22x圖象的開口方向向上，,f(x)在0,1上遞減. f(x)minf(1)a2. 10分,解析答案,溫馨提醒,(3)當a0時，f(x)ax22x的圖象的開口方向向下，,f(x)ax22x在0,1上遞減. f(x)minf(1)a2. 1

12、3分,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)本題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a的符號進行討論，又對對稱軸進行討論.在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標準要一致，二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論. (2)在有關二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應對區(qū)間進行分類討論.,思想方法感悟提高,1.二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個點的坐標時，宜用一般式. (2)已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關的量時，常使用頂點式. (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便. 2.研究二

13、次函數(shù)的性質要注意： (1)結合圖象分析； (2)含參數(shù)的二次函數(shù)，要進行分類討論.,方法與技巧,3.利用冪函數(shù)的單調性比較冪值大小的技巧 在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，轉化為同指數(shù)冪，再選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較.,方法與技巧,1.對于函數(shù)yax2bxc，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況. 2.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.,失誤與防范,返回,練出高分,1

14、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函數(shù)f(x)x2ax3在區(qū)間(，4上單調遞減，則實數(shù)a的范圍是_.,8，),解析答案,2.函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是_. 解析f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)m2m11m1或m2. 又在x(0，)上是增函數(shù)， 所以m2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.設函數(shù)f(x)x2xa(a0)，且f(m)0，則f(m1)_0(判斷大小關系).,f(x)的大致圖象如圖所示. 由f(m)0，f(m1)f(0)0.,1,2,

15、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，則實數(shù)a_. 解析函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線， 函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得， f(0)a，f(2)43a，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0，得30， 不等式f(10 x)0可化為010 x1，x0. 答案(，0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,則f(x)2

16、axb，f(x)x1，,6.已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_. 解析由函數(shù)f(x)x22x(x1)21， 當x1,2時，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3， 即函數(shù)f(x)的值域為1,3， 當x1,2時，函數(shù)g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，,3，),解得a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.當0g(x)f(x).,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1

17、5,解析答案,8.已知函數(shù)f(x)x22ax2a4的定義域為R，值域為1，)，則a的值為_. 解析由于函數(shù)f(x)的值域為1，)， 所以f(x)min1. 又f(x)(xa)2a22a4， 當xR時，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30， 解得a3或a1.,1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.已知函數(shù)f(x)ax2bx1(a，b為實數(shù)，a0，xR).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(2,1)，且方程f(x)0有且只有一個根，求f(x)的表達

18、式；,解因為f(2)1， 即4a2b11，所以b2a. 因為方程f(x)0有且只有一個根， 所以b24a0. 所以4a24a0，所以a1，所以b2. 所以f(x)x22x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)在(1)的條件下，當x1,2時，g(x)f(x)kx是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.,所以所求實數(shù)k的取值范圍為(，06，).,由g(x)的圖象知：要滿足題意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.已知函數(shù)f(x)x2ax3a，若x2,2時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.,1,2,3,4,

19、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解要使f(x)0恒成立， 則函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值不小于0， 設f(x)的最小值為g(a).,故此時a不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,得a7，又a4，故7a4， 綜上得7a2.,又4a4，故4a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)x2m是定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，則f(m)_. 解析由已知，必有m2m3m，即m22m30， m3或m1. 當m3時，函數(shù)即f(x)x1，x6,6，f(x)在x0處無意義， 故舍去； 當m1時，函數(shù)即f(x)x3，此時x2,2，符合題意. f(m)f(1)f(1)31.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.已知冪函數(shù)f(x)x，當x1時，恒有f(x)1時，恒有f(x)1時，函數(shù)f(x)x的圖象在yx的圖象的下方， 作出冪函數(shù)f(x)x在第一象限