概率論5-1-2-習(xí)題課

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理,第一節(jié) 大數(shù)定律,一、問題的引入,二、基本定理,三、典型例題,四、小結(jié),第一章引入概率概念時，曾經(jīng)指出，事件發(fā) 生的頻率在一、二次或少數(shù)次試驗中具有隨機性 的，但隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率將會逐漸穩(wěn) 定且趨近于概率。特別，當(dāng)n很大時，頻率與概 率會非常“接近”的。這個非?！敖咏笔鞘裁匆馑?？ 這與高等數(shù)學(xué)中的極限概念有否聯(lián)系？本章將從 理論上討論這一問題。,一、問題的引入,定理1 設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望EX= ，方差DX= 2，則對任意的正數(shù)，不等式 (1) 成立。這個不等式稱為契貝雪夫(Cheby shev)不等式。,證

2、我們僅就連續(xù)型隨機變量情形加以證明。,設(shè)X的概率密度為 f(x)，于是,式(1)表明當(dāng)DX很小時，概率P|X-EX| 更小。 這就是說在上述條件下，隨機變量X落入EX的鄰域 之外的可能性很小，也即落入EX的鄰域內(nèi)可能性 很大。由此說明X的取值比較集中，也即離散程度較 小，這正是方差的意義所在。 契貝雪夫不等式在理論研究和實際應(yīng)用中都有很重要的價值。,(1),例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白細(xì)胞的平均數(shù)是7300，均方差是700。試估計每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。,解 設(shè)每一毫升血液中白細(xì)胞數(shù)為X ，則由上式有,契貝雪夫不等式也可以寫成如下等價形式,定理2 （

3、伯努利(Bernoulli)大數(shù)定律）設(shè) 是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意正數(shù) 0，有,或,證 令,則X1，X2，Xn是n個相互獨立的隨機變量，且,易知,于是，,由契貝雪夫不等式得,又由X1，X2，Xn的獨立性可知,從而有,上述伯努利大數(shù)定律從理論上給出了頻率“接近”概率這種“現(xiàn)象”的更加確切的含意，它反映了大數(shù)次重復(fù)試驗下隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性。,設(shè)Y1，Y2，Yn，是一個隨機變量序列，a是一個常數(shù)，若對任意的正數(shù) ，有,則稱隨機變量序列Yn依概率收斂于a，記作,定理2 是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率

4、，則,定理3（契貝雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨立的隨機變量序列，又設(shè)它們的方差有界，即存在常數(shù)c0，使得,則對任意的 0，有,證明（略）,或,伯努利大數(shù)定律是契貝雪夫大數(shù)定律的特例, 在它們的證明中, 都是以契貝雪夫不等式為基礎(chǔ)的, 所以要求隨機變量具有方差。但進一步的研究表明，方差存在這個條件并不是必要的。即有下面的獨立同分布的辛欽大數(shù)定律。,定理4 (辛欽()大數(shù)定律)設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨立的隨機變量序列，且數(shù)學(xué)期望存在:,則對任意的 0，有,證明（略）,這就為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑。,伯努利大數(shù)定律說明了當(dāng)n很大時，事件發(fā)生的頻率會非?！敖咏?/p>

5、概率，而這里的辛欽大數(shù)定律則表明，當(dāng)n很大時，隨機變量X在n次觀察中的算術(shù)平均值 也會“接近”它的期望值，即,三、典型例題,解,獨立性依題意可知,檢驗是否具有數(shù)學(xué)期望？,例2,說明每一個隨機變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗是否具有有限方差？,說明離散型隨機變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件.,解,由辛欽定理知,例3,四、小結(jié),三個大數(shù)定理,契比雪夫定理的特殊情況,伯努利大數(shù)定理,辛欽定理,頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ), 而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.,第二節(jié) 中心極限定理,一、問題的引入,二、基本定理,三、小結(jié),一、問題的引入,在第二章介紹正態(tài)分布時曾經(jīng)特別強調(diào)了它在概率

6、論與數(shù)理統(tǒng)計中的地位與作用，為什么會有許多隨機變量遵循正態(tài)分布？僅僅是經(jīng)驗猜測還是確有理論根據(jù)？這當(dāng)然是一個需要弄清的問題。 實踐表明，客觀實際中有很多隨機變量，它們往往是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合作用所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用是微小的。 下面將要介紹的中心極限定理從理論上闡明了這樣的隨機變量總是近似地服從正態(tài)分布的。,定理5（獨立同分布的林德貝爾格-勒維(LindebergLevy)中心極限定理）設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨立，且服從同一分布的隨機變量序列，并具有數(shù)學(xué)期望和方差：,則對任意的x有,證明（略）,二、基本定理,兩點說明：,1無論隨機變量X1，X2，X

7、n，服從同一分布的情況如何，只要Xi滿足定理的條件，則隨機變量序列：,當(dāng)n無限增大時，總以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為其極限分布?；蛘哒f，當(dāng)n充分大時，Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)這一點，在實際應(yīng)用中，只要n充分大，我們便可把n個獨立同分布的隨機變量的和當(dāng)作正態(tài)隨機變量。,2因為對,中每一被加項,有,故有,即 Yn中每一被加項對總和的影響都很微小，但它們迭加的和卻以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布作為極限。,例1 設(shè)有100個電子器件，它們的使用壽命 X1，X2，X100均服從參數(shù)為=0.05(h-1)的指數(shù)分布，其使用情況為：第一個損壞第二個立即使用，第二個損壞第三個立即使用等等。令表示這100個電子器件使用的總時間，試求

8、X超過1800h小時的概率。,解 由于Xi 服從參數(shù)為 = 0.05的指數(shù)分布。因此,又由題設(shè)知 ，因此由定理5得：,作為定理5的推論有,定理6（德莫佛拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p，Yn為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意的x，有,證 由5.1的定理2的證明可知，Yn可以看成是n個相互獨立，且服從同一(0-1)分布的隨機變量X1，X2，Xn之和，即,由定理5得：,定理表明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布。因此，當(dāng)n充分大時，我們可以利用上式來計算二項分布的概率。,下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近.,定理7（李雅

9、普諾夫Liapunov定理）設(shè)隨機變量 X1，X2，Xn ，相互獨立，且,若存在 0，使得,則對任意的x，有,證略。,對于相互獨立但不同分布的隨機變量和的分布的極限問題, 有李雅普諾夫中心極限定理。,不難看出，當(dāng)n很大時，,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，也即,近似服從正態(tài)分布：,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪沖擊, 問其中有29 50030 500次縱搖角大于 3 的概率是多少？,解,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗,并假設(shè)各次試驗是獨立的,在90 000次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為 X,則

10、X 是一個隨機變量,例2,所求概率為,分布律為,直接計算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理,某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元. 設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.,解,設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛拉普拉斯定理知,例3,保險公司虧本的概率,證,例4,根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，,例5 隨機變量X 表示對概率為p的事件A做n次重復(fù)獨立試驗時，A出現(xiàn)的次數(shù)。試分別用契貝雪夫不等式及中心極限定理估計滿足下式的n：,解：記,由于Y B(n，p)，故EX=np，EY=p，,(1)根據(jù)契貝雪夫

11、不等式，有,(2)以Xi 表示每次試驗時A出現(xiàn)的次數(shù)，則Xi 服從參數(shù)為p的0-1分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而,是n個獨立同分布的隨機變量之和，故由中心極限定理知,因此有,例6 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。 (1)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？ (2)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少？,解：(1)以X表示100人中治愈人數(shù)，則X B(100，0.8),所求概率為,(2)依題X B(100，0.7),所求概率為,三、小結(jié),三個中心極限定理,獨立同分布的中心極限定理,李雅普諾夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的條件下, 當(dāng)獨立隨機變量的個數(shù)增加時, 其和的分布趨于正態(tài)分布.,第五章 大數(shù)定律及中心極限定理習(xí) 題 課,二、主要內(nèi)容,三、典型例題,一、重點與難點,一、重點與難點,1.重點,中心極限定理及其運用.,2.難點,證明隨機變量服從大數(shù)定律.,大數(shù)定律,二、主要內(nèi)容,中心極限定理,定 理 2,定理3,定