7章-離散時間系統(tǒng)的相位與結構20150926NEW.pptx

1、2020/8/28,1,第七章 離散時間系統(tǒng)的相位與結構,提綱,7.1 離散時間系統(tǒng)的相頻特性 7.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位特性 7.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點分布 7.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng) 7.5 離散時間系統(tǒng)的Lattice結構 7.6 數(shù)字濾波器的基本概念和結構 7.7 與本章內容有關的MATLAB文件,離散時間系統(tǒng):,FT,更一般的表示形式：,7.1 離散時間系統(tǒng)的相頻響應, ,( )=| ( )| (),對于輸入,假設：,由DTFT的性質可知 輸出序列為,相位移動,線性相位,輸出y(n)等于輸入x(n)在時間上k個采樣點的延遲，可見當系統(tǒng)具有線性相位時可以達到無失真輸出的目的

2、。,如果 , 我們稱之為線性相位 如果 ,我們也稱之為線性相位。,幅頻特性: 相頻特性:,頻率特性:,【例7.1】: 令,沒有相位失真,線性相位,通過系統(tǒng)后,再次令,并令,相位失真!,則輸出,由例7.1可以看出相頻特性對信號濾波后的影響及線性相位的重要性。,定義系統(tǒng)的群延遲(Group Delay, GD),顯然，如果系統(tǒng)具有線性相位，即 它的群延遲為一時間常數(shù)k。因此，群延遲可作為相頻特性是否線性的一種度量，同時，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。,若,由于其群延遲仍為常數(shù)，所以我們也稱其為線性相位。,7.2 FIR系統(tǒng)的線性相位特性,回顧相關知識,FIR系統(tǒng)：有限沖激響應(finite impul

3、se response),IIR 系統(tǒng)：無限沖激響應(infinite impulse response),h(n)：單位抽樣響應，離散系統(tǒng)的一個重要參數(shù)。,線性：指系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足疊加原理。,10,我們在第二章給出了FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)的定義及部分性質。由于FIR系統(tǒng)全零點的系統(tǒng)，其單位抽樣響應為有限長，因此容易實現(xiàn)某種對稱性，從而獲得線性相位。而IIR系統(tǒng)是極零系統(tǒng)，其單位抽樣響應為無線長，很難實現(xiàn)線性相位。因此，今后我們談到線性相位時，無例外地指的都是FIR系統(tǒng)。,11,由于h(n)有奇、偶對稱，而N可能取偶數(shù)，也可能取奇數(shù)，所以式 對應的共有四種情況。,四種情況的證明,12,

4、證明 ： 該系統(tǒng)具有線性相位,3. , N是奇數(shù) 4. , N 是偶數(shù),類型III/IV FIR系統(tǒng),奇對稱,類型I/II FIR系統(tǒng),偶對稱,1. , N 是奇數(shù) 2. , N 是偶數(shù),13,14,1. , N 奇數(shù).,設,的對稱性,類型I FIR 系統(tǒng),(7.2.1),15,設,設,實數(shù),(7.2.2),16,最終得,相位 增益,結論: 該濾波器必然具有線性相位,(7.2.3),2. , N 為偶數(shù),設,結論：這種系統(tǒng)具有線性相位,（7.2.4）,18,3. , N 是奇數(shù),類型III FIR 系統(tǒng),由于這時的 以中心 為對稱，所以必有 ；仿照（7.2.4）式可得,相頻特性：,(7.2.5

5、),19,4. , N 為偶數(shù),類型IV FIR系統(tǒng),性頻特性仍為：,證明得出：當FIR數(shù)字濾波器的抽樣響應滿足對稱時，該濾波器具有線性相位。 請同學們掌握這四種情況的推導方法！,(7.2.6),關鍵詞回顧：,離散時間序列 離散時間系統(tǒng) 單位抽樣信號 單位抽樣響應 FIR IIR,20,7.3 具有線性相位特性的FIR系統(tǒng)的零點分布,由7.2節(jié)討論的對稱條件可知：,令,（7.3.1）,（7.3.2）,上式中正號對應偶對稱，負號對應奇對稱。,當 和 ，且 時， 在實軸上。,由式7.3.2可知： 的零點也是 旳零點反之亦然。若記 的一個零點 且 是關于 的函數(shù)，則當 , 取不同值時， 處在不同的位

6、置。如下,當 和 ，且 時， 在單位圓內。,當 和 ，且 時， 在單位圓上。,當 和 ，且 時， 在單位圓和實軸的交點上。,23,四個零點同時存在, 構成四階系統(tǒng),把該式展開，其系數(shù)也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。,零點分布,24,無共軛零點, 有鏡象零點 構成一個二階系統(tǒng),無鏡象對稱零點, 有共軛零點。亦是二階系統(tǒng),零點分布,25,無鏡象零點, 也無共軛零點 它構成最簡單的一階系統(tǒng),零點分布,在實軸和單位圓的交點上。,下圖7.3.1畫出了 零點位置示意圖,圖 7.3.1 線性相位FIR濾波器零點位置示意圖,一個FIR系統(tǒng)，如果其零點具有圖7.3.1所示的對稱性或滿足(7.3.2)式，我們

7、稱這樣的 為鏡像對稱的多項式(mirror-image polynomial, MIP)?，F(xiàn)在我們進一步分析一下這些MIP在 或 處幅頻響應的特點。,對類型濾波器，由于N為奇數(shù)，故 N-1為偶數(shù)，由(7.3.2)式，當 和 時,（7.3.3）,（7.3.4）,所以，無論 還是 都會保證(7.3.2)式成立。若 ，那么該系統(tǒng)將具有高通或帶通型的幅頻特性；若 ，那么該系統(tǒng)將具有低通或帶通型的幅頻特性。,所以,Z可以為1，但不能為-1。也就是說， 在 處一定要有零點以保證 ，即 。因此，該系統(tǒng)可以具有低通或帶通型的幅頻特性，但不能具有高通或帶阻型的幅頻特性。,對類型濾波器，由于N為偶數(shù)，故N-1為奇

8、數(shù)，類似上述情況，有,（7.3.5）,（7.3.6）,對類型濾波器，(N-1)為偶數(shù)，有,(7.3.7),(7.3.8),所以，這種類型的濾波器在 和 處都要有零點；同理，對類型濾波器，它在 處也一定要有零點。,由(7.2.2)式和(7.2.6)可知，類型、類型濾波器的幅頻特性是 的線性組合，它是 的偶函數(shù)，且在 時的值為1，這兩種情況下的 也都是偶對稱的，因此，它們適合我們通常說的低通、高通、帶通和帶阻型濾波器。由于類型濾波器在設計高通和帶阻濾波器時的限制，因此N一般都取為奇數(shù)。與此相對比，類型、濾波器只適用于一些特殊意義上的濾波器，如差分器、希爾伯特變換器等。,31,定義 如果一個系統(tǒng)的幅

9、頻響應對所有的頻率都等于1 (或一個常數(shù)), 即,最簡單的全通系統(tǒng):,該系統(tǒng)得到的輸出信號是輸入信號的簡單延遲,7.4.1 全通系統(tǒng),7.4 全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng),32,一階全通系統(tǒng),極點： 零點：,（零點、極點關于單位圓鏡像對稱）,幅頻響應：,相頻響應：,33,二階全通系統(tǒng),以單位元鏡像對稱,共軛,34,則,高階全通系統(tǒng)：,（7.4.1）,N階全通系統(tǒng)的轉移函數(shù),（7.4.2）,（7.4.3）,由上式可知全通系統(tǒng)的分子分母多項式是互為鏡像的多項式,易證明出:,（7.4.4）,由(7.4.1)式和(7.4.2)式，我們可總結出全通系統(tǒng)的一些特點： 全通系統(tǒng)是IIR系統(tǒng)(不考慮Hap(z)=z

10、-k這樣最簡單的形式)； 全通系統(tǒng)的極點數(shù)和零點數(shù)相等； 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，所有偶極點都應在單位圓內，因此，所有的零點都在單位圓外；, 極點和零點是以單位圓鏡像對稱的； 由于全通系統(tǒng)的每一對極零點都是鏡像對稱的，且零點在單位圓外，因此，當 由零變到 時，相頻響應 是單調遞減的； 全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。,在實際工作中，可以用一個全通系統(tǒng)和已設計好的IIR系統(tǒng)相級聯(lián)，在不改變幅頻響應的情況下對相頻響應做某種矯正，使其盡可能地接近線性相位或常數(shù)相位。,【例7.4.1】 講圖7.4.1和圖7.4.2分別是一階和三階全通系統(tǒng)的極零圖、幅頻響應、相頻響應和單位抽樣響應。對圖7.4.1，極點位置 ；對圖

11、7.4.2，三個極點位置分別是 ， 及 。從這兩個圖可以看到全通系統(tǒng)極點和零點的鏡像對稱關系、幅頻響應的不變及相頻響應的單調下降等特點。,圖7.4.1 例7.4.1的一階全通系統(tǒng) (a) 極零圖；(b) 幅頻響應；(c) 相頻響應；(d) 單位抽樣響應h(n),(a),(b),(c),(d),圖7.4.2 例7.4.1的三階全通系統(tǒng) (a) 極零圖；(b) 幅頻響應；(c) 相頻響應；(d) 單位抽樣響應h(n),(a),(b),(c),(d),全通系統(tǒng)的特點是系統(tǒng)對輸入信號的幅度譜無影響，只對其相位特性產生影響，所以，全通系統(tǒng)是一種純相位濾波器，可以作相位均衡器（群延時均衡器）用。例如，II

12、R濾波器的相位特性是非線性的，因而群延時不為常數(shù)，而在視頻信號的傳輸中希望系統(tǒng)具有線性相位，因而采用全通系統(tǒng)作為相位均衡器來校正系統(tǒng)的非線性相位，以得到線性相位，同時又不改變系統(tǒng)的幅度特性。 如果某一濾波器是非穩(wěn)定的，可級聯(lián)一個全通濾波器，令全通系統(tǒng)的零點等于濾波器單位圓外的極點，濾波器單位圓外的極點被抵消，并引入新的單位圓內的極點(全通系統(tǒng)的極點)。,如：原濾波器有一對極點在單位圓外 處，則可將濾波器級聯(lián)一個全通系統(tǒng),這樣可以將單位圓外的一對極點抵消，同時又不改變?yōu)V波器的幅頻特性。 全通系統(tǒng)在最小相位理論中也是有用的，在下面會講到。,（7.4.5）,42,一個因果的、穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)，其極

13、點必須位于單位圓內，而對零點沒有特殊的要求，如果：,1).所有的極點與零點全都在單位圓內，則稱系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)；,2).若零點全部在單位圓外，則稱該系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng) ；,3).若在單位圓內和圓外都有零點，則稱系統(tǒng)為混合相位系統(tǒng)。,最小相位系統(tǒng)定義：,7.4.2 最小相位系統(tǒng),43,最小相位系統(tǒng)的性質,在一組具有相同幅頻響應的因果的且是穩(wěn)定的濾波器集合中，最小相位濾波器對于軸(即零相位)具有最小的相位偏移。 由第二章的極零圖分析可以很容易地得到這一結論。,性質一：,44,令 為所有具有相同幅頻響應的離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應， 是其中最小相位離散系統(tǒng)的單位抽樣響應，并定義單位抽樣相應的積累能

14、量,則,由Parseval定理，因為頻域幅頻響應相同，所以時域的總能量也應相同。 性質指出，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應的能量集中在n為較小的范圍內。所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應又稱最小延遲序列。,(7.4.6),性質二：,給定一個穩(wěn)定的因果系統(tǒng)， 定義其逆濾波器, =()/(),(7.4.7),當且僅當是最小相位系統(tǒng)時，才是穩(wěn)定的、因果的，亦即物理可實現(xiàn)的。,性質三：,(7.4.8),任何一個非最小相位的因果系統(tǒng)的轉移函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng) 和一個全通系統(tǒng) 級聯(lián)而成，即,設系統(tǒng)H(z)有一個零點在單位圓之外，即=1/ 0 , 0 1，其余的極、零點均在單位圓內，那么H(z)可表

15、示為,性質四：,7.5 離散時間系統(tǒng)的Lattice結構,1973年，Gay 和Markel提出一種新型的系統(tǒng)結構形式，即 Lattice 結構，又稱格型結構。 Lattice 結構是一種很有用的結構，它在功率譜估計、語音信號處理、自適應濾波方面有著重要的應用。,圖7.5.1 FIR系統(tǒng)的Lattice結構,一個M階的FIR系統(tǒng)的轉移函數(shù)H(z)可寫為: (7.5.1),7.5.1 全零點系統(tǒng)(FIR)的Lattice結構,由該信號流圖可以總結出Lattice結構的一些重要特點： H(z)的直接實現(xiàn)形式有M個參數(shù)，即b(1)，b(2)，b(M)，共需M次乘法，M 次延遲 ， H（z）的Latt

16、ice結構也有M個參數(shù)，它們是 ，需2M次乘法，M次延遲。 (2)信號的傳遞是從左至右，中間沒有反饋回路，所以這是一個FIR系統(tǒng)。若輸入是 ，則 通過信號流圖的上部將立即出現(xiàn)在輸出端，使 。通過下部時，分別經過一次延遲、二次延遲，直到M次延遲后出現(xiàn)在輸出端，所以y(n)（即h(n)是 。 (3)信號流圖中的基本單元如圖所示，它們有如下的關系：,在實際工作中，一般是首先給出，這樣，我們可以按如下步驟求出 步驟1：有上述關系式可以得到 ； 步驟2：有系數(shù) 及 系數(shù)求出 的系數(shù)，那么 ； 步驟3：重復步驟2 后， ， 可以全部求出。,7.5.2 全極點系統(tǒng)(IIR)的Lattice結構,圖7.5.2

17、 全極點系統(tǒng)的Lattice結構,（7.5.2）,7.5.3極零系統(tǒng)的Lattice結構,圖7.5.3 極零系統(tǒng)的Lattice結構,(7.5.3),數(shù)字濾波器較模擬濾波器有如下優(yōu)勢：第一，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器更高的精 度。第二，數(shù)字濾波器相較模擬濾波器有更高的信噪比。第三，數(shù)字濾波器還具有模擬濾波器不能比擬的可靠性。 由此可見，數(shù)字濾波器的優(yōu)點較為突出，且設計與實現(xiàn)過程簡單、可靠。以下主要介紹數(shù)字濾波器的基本概念、結構及設計方法。,7.6 數(shù)字濾波器的基本概念和結構,7.6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波系統(tǒng)是一個完整的、用以實現(xiàn)濾波功能的LTI離散系統(tǒng)。按照應用的功能，該系統(tǒng)可分

18、為頻率選擇型濾波系統(tǒng)和頻率成型濾波系統(tǒng)。 頻率成型濾波系統(tǒng)的功能是有效的補償傳輸信道色散所引起的頻率失真。而頻率選擇型濾波系統(tǒng)的功能則主要集中在增強信號中有用頻率成分、抑制干擾頻率成分方面，這也是生物醫(yī)學數(shù)字信號處理的重要應用。,一個LTI離散系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)差分方程來表示： (7.6.1) 時域中，又可用卷積和的形式來表達該系統(tǒng)，由此可得出其系統(tǒng)函數(shù)為： (7.6.2) 其中，令， 則： (7.6.3) 由式(7.6.2)，其系統(tǒng)函數(shù)為： (7.6.4) 單位脈沖響應可表示為:,(7.6.5),當h(n)為有限長度序列時，該系統(tǒng)稱為有限脈沖響應(FIR)系統(tǒng)，這種形式的濾波器稱為FIR濾

19、波器。 當h(n)為無限長度序列時，該系統(tǒng)存在反饋支路，稱為無限脈沖響應(IIR)系統(tǒng)，這種形式的濾波器稱為IIR濾波器。,表7.6.1 FIR與IIR數(shù)字濾波器的性能比較,頻率選擇型數(shù)字濾波器主要可分為：低通濾波器(LP)、高通濾波器(HP)、帶通濾波器(BP)和帶阻濾波器(BS)等四種。每一個特定的數(shù)字濾波器都有它們相應的通帶和阻帶的幅度響應指標。低通濾波器幅度響應曲線如圖7.6.1所示。,圖7.6.1 數(shù)字低通濾波器的幅度指標,(a)典型幅度指標,(b)歸一化幅度指標,圖7.6.1中， 的頻率范圍定義為通帶，其幅度響應要求以誤差 逼近1，即,數(shù)字濾波器的指標通常由單位為dB的損益函數(shù)給出

20、，峰值通帶波紋 和最小阻帶衰減 ，即數(shù)字濾波器的損益指標為：,而 的頻率范圍則定義為阻帶，其幅度響應要求以誤差 逼近0，即,(7.6.6),(7.6.7),(7.6.8),(7.6.9),在濾波器設計中，一個性能良好的數(shù)字濾波器要求較小的通帶紋波 ，盡可能大的阻帶衰減 ，以及盡可能窄的過渡帶。此外，數(shù)字濾波器的幅度響應指標還可以由一個歸一化的形式給出，即假設幅度響應在通帶中的最大值為1，最大通帶幅度偏離是通帶幅度的最小值，記為 ，最大阻帶幅度記為1/A。相應的最大通帶衰減為： (7.6.10) 這些常用的數(shù)字濾波器技術指標不僅能夠幫助我們更加準確地了解濾波器本身的性能，同時在設計數(shù)字濾波器時，

21、更能將所需設計要求與實現(xiàn)參數(shù)緊密結合在一起，是數(shù)字濾波器的應用基礎。,以一個一階IIR數(shù)字濾波器為例，由式(7.6.1)可知：,(7.6.11),(7.6.12),據此可計算全部所需n值時的系統(tǒng)輸出y(n)。,數(shù)字濾波器的功能就是對輸入序列進行一定的運算進而轉變?yōu)檩敵鲂蛄械倪^程。 該過程可以用兩種方法來實現(xiàn)：在通用數(shù)字計算機上以軟件的形式來實現(xiàn)；另一種是采用專門的硬件，如數(shù)字信號處理器等來實現(xiàn)。,7.6.2 數(shù)字濾波器的基本結構,LTI數(shù)字濾波器的可計算算法可以用表示單位延時、乘法器、加法器和節(jié)點等這些基本結構單元所構成的信號流圖方便地表示出來，它們的基本信號流圖如圖7.6.2所示。,圖7.6

22、.2基本運算的信號流圖表示,用信號流圖的形式來描述式(7.6.11)，即可得到圖7.6.3。其中，x(n)為輸入節(jié)點，也稱為源節(jié)點，表示輸入的外部信號源； 為輸出節(jié)點，也稱為阱節(jié)點；延時支路則用 來表示單位延時。,圖7.6.3某一階IIR數(shù)字濾波器的信號流圖表示,相反的，對于用信號流圖的形式來表示的數(shù)字濾波器結構，通?？梢赃M行如下分析：以輸入信號的和的形式，寫出每個加法器的輸出信號表達式，從而生成一組方程，該方程組以所有內部信號來關聯(lián)濾波器的輸入和輸出信號。消去不需要的內部變量后，即可得到用輸入信號和乘法器系數(shù)表示的輸出信號表達式。 由此可見，信號流圖是一種便捷、直觀的數(shù)字濾波器表示方法，由于

23、IIR濾波器與FIR濾波器的信號流圖結構各有不同的特點，因此下面將分別對這兩種濾波器的基本結構加以討論。,7.6.2.1 IIR數(shù)字濾波器的基本結構,IIR濾波器具有以下幾個特點： 第一，系統(tǒng)的單位沖激響應 是無限長的； 第二，系統(tǒng)函數(shù) 在有限Z平面( )上存在極點； 第三，結構上存在輸出到輸入的反饋，即結構為遞歸型。 同一種系統(tǒng)函數(shù) 可以有多種不同的結構，它的基本網絡結構有三種：直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。其中，直接型又包括直接型和直接型，它們在實現(xiàn)過程中所獲得的穩(wěn)定性和計算誤差性能也各不相同。,(1) 直接型,一個 階IIR數(shù)字濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù)為：,(7.6.13),表示這一系統(tǒng)輸入輸出關

24、系的 階差分方程為：,(7.6.14),其中y(n)由兩部分相加而成：對y(n)依次延時反饋N-1個單元的加權和：,(7.6.15),以及對x(n)依次延時N-1個單元的加權和：,(7.6.16),因此，其傳輸函數(shù)是用 個不同的系數(shù)來描述的，并且通常需要 個乘法器和 個兩輸入加法器來實現(xiàn)。若乘法器的系數(shù)等于傳輸函數(shù)的系數(shù)，則稱這種IIR濾波器結構為直接型結構。,下面具體描述如何生成該結構。為簡化起見，以一個二階IIR濾波器為例，考慮其傳輸函數(shù)為：,(7.6.17),根據級聯(lián)特性，可用如圖7.6.5的兩個濾波器節(jié)來級聯(lián)實現(xiàn)，,圖7.6.4一種級聯(lián)實現(xiàn)IIR濾波器的方案,其中,(7.6.18),(

25、7.6.19),式(7.6.18)可由基本信號流圖單元構成，如圖7.6.5所示：,式(7.6.19)則需要考慮該傳輸函數(shù)的時域表達式為：,(7.6.20),圖7.6.5傳輸函數(shù)H1(Z)=W(Z)/X(Z)的實現(xiàn),據此可得到圖7.6.6的實現(xiàn)結構：,圖7.6.6傳輸函數(shù)H2(Z)=Y(Z)/W(Z)的實現(xiàn),圖7.6.7所示，即為通常所說的直接型結構。,圖7.6.7 直接型結構,直接型網絡結構的優(yōu)點是物理概念清晰，缺點是使用的延時單元過多，故一般使用如下的直接型結構。,這種結構描述 階差分方程只需N個延時單元，因此比直接型節(jié)省了大量的延時單元，既可節(jié)省存儲單元，也可節(jié)約寄存器。,(2) 直接型

26、直接型結構，又稱典范型結構，它是在直接型結構的基礎上進行等效改造得到的。,圖7.6.8 直接型結構,但是，以上兩種結構均為直接型的實現(xiàn)方式，其共同的缺點是系數(shù) ， 對濾波器性能的控制作用不明顯，這是因為它們與系統(tǒng)函數(shù)的零點、極點關系不明顯，調整困難所致；此外，這種結構中極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應對系數(shù)的變化過于靈敏，即對有限精度運算過于靈敏，從而容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產生較大誤差的情況。,【例7.6.1】設IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ： 繪制該數(shù)字濾波器的直接型結構。,解：,由H(z)可得其對應的差分方程為：,據此差分方程即可繪制出圖7.6.9所示的直接型數(shù)字濾波器結構。,圖7.

27、6.9例7.6.1的直接型結構,(3) 級聯(lián)型,級聯(lián)型結構是以系統(tǒng)函數(shù) 經過因式分解后的零點和極點為主要依據的數(shù)字濾波器形式。由式(7.6.13)可將系統(tǒng)的傳輸函數(shù)按零點、極點進行因式分解為式(7.6.21)的形式：,(7.6.21),由于原多項式的系數(shù)為實數(shù)，故 和 應為實數(shù)或共軛成對的復數(shù)，將其中共軛成對的零點或極點放在一起，構成一個二階多項式，使其系數(shù)仍為實數(shù)，之后將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網絡：,(7.6.22),此時， 即可分解為由一些一階和二階數(shù)字網絡相級聯(lián)的形式： 式中 表示一個一階或二階的數(shù)字網絡的系統(tǒng)函數(shù)，每個 的網絡結構均可采用直接型網絡結構來

28、實現(xiàn)。 級聯(lián)結構的特點是調整系數(shù) 就能單獨調整濾波器的第k對零點，而不影響其它零點、極點；同理，調整系數(shù) 就能單獨調整濾波器的第k對極點，而不影響其它零點、極點。所以這種結構能夠更為準確的實現(xiàn)濾波器的零點、極點，因而也更便于調整濾波器的頻率響應性能。,(7.6.23),【例7.6.2】設IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)：,對H(z)進行因式分解，可得：,解：,繪制該數(shù)字濾波器的級聯(lián)網絡結構。,據此分解形式，即可繪制出圖7.6.10所示的級聯(lián)型數(shù)字濾波器結構。,圖7.6.10由直接型構建的IIR數(shù)字濾波器級聯(lián)實現(xiàn),(4) 并聯(lián)型 對IIR濾波器的傳輸函數(shù)H(z)進行部分分式展開，即可得到II

29、R的并聯(lián)結構。 (7.6.25) 其中， 為一個一階網絡或二階網絡，網絡系數(shù)均為實數(shù)，其具體展開式形式如下：,(7.6.26),H(z)則是由 個一階系統(tǒng)、 個二階系統(tǒng)所組成的，它們均采用典范型結構實現(xiàn)，其結構實現(xiàn)如圖7.6.11所示。,圖7.6.11 IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)實現(xiàn),直接型結構設計簡單直觀，但對有限字長效應太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，因此對于三階以上的IIR濾波器設計，幾乎都不采用直接型結構，而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其它結構。由于基本網絡并聯(lián)，可同時對輸入信號進行運算，因此并聯(lián)型結構與直接型和級聯(lián)型相比，其運算速度最高。,7.6.2.2 FIR濾波器的基本結構 FIR數(shù)字濾波器有

30、以下幾個特點： 第一，系統(tǒng)的單位沖激響應 在有限個 值處不為零； 第二，系統(tǒng)函數(shù) 在 處收斂，在 處只有零點，即有限Z平面只有零點，而全部極點都在 處，即因果系統(tǒng)； 第三，結構上沒有輸出到輸入的反饋，即主要是非遞歸結構。 N階因果FIR數(shù)字濾波器可以用傳輸函數(shù) 來描述： (7.6.27) 在時域中，其輸入輸出關系表達如下： (7.6.28),FIR數(shù)字濾波器有以下幾種基本結構。 (1) 直接型 N階FIR濾波器要用N+1個系數(shù)描述，通常需要用N+1個乘法器和N個兩輸入加法器來實現(xiàn)。在該結構中，乘法器的系數(shù)剛好為傳輸函數(shù)的系數(shù)，故稱為直接型結構。以N=3為例，式(7.6.28)可化為：,(7.6

31、.29),圖7.6.12 FIR數(shù)字濾波器的直接型結構,依此可畫出FIR濾波器直接型結構如圖7.6.12所示。,(2) 級聯(lián)型 高階FIR傳輸函數(shù)也可以用一階或二階傳輸函數(shù)通過級聯(lián)來實現(xiàn)。與IIR濾波器相似，將式(7.3.17)進行因式分解如下:,(7.6.30),其中，若N為偶數(shù)，則K=N/2；若N為奇數(shù)，則K=(N+1)2，且 。,以N=4為例，用兩個二階FIR直接型網絡實現(xiàn)級聯(lián)結構如圖7.6.13所示。,圖7.6.13 FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結構,這種結構的每一節(jié)控制一對零點，因此在需要控制傳輸零點時，可以采用該結構。,【例7.6.3】設FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)：,繪制該濾

32、波器的直接型結構和級聯(lián)型結構。,解：,對H(z)進行因式分解，可得：,據此分解形式，即可繪制出圖7.6.14所示的直接型結構和級聯(lián)型結構。,(a) 直接型 (b) 級聯(lián)型,圖7.6.14 一個FIR數(shù)字濾波器的直接型結構和級聯(lián)型結構,(3) 線性相位FIR濾波器網絡結構 階線性相位FIR濾波器可以用對稱沖激響應,(7.6.31),或反對稱沖激響應來描述,(7.6.32),在FIR數(shù)字濾波器的直接型實現(xiàn)中，應用線性相位的對稱性質可以減少近一半數(shù)量的乘法器。例如，一個5階線性FIR濾波器的對稱沖激響應為：,繪制式(7.6.33)的網絡結構如圖7.6.15所示。,(7.6.33),通過比較可知，繪制

33、一個5階的FIR數(shù)字濾波器，用直接型結構需要5個乘法器，而線性相位結構則只需要3個乘法器。在繪制高階FIR線性相位濾波器的網絡結構時，這種方法可以有效節(jié)省乘法器資源。,圖7.6.15 線性相位FIR數(shù)字濾波器的網絡結構,7.7.1 IIR數(shù)字濾波器的結構實現(xiàn) (1) 直接型 在MATLAB中使用filter()函數(shù)來實現(xiàn)數(shù)字濾波器直接型結構，該函數(shù)的定義如下： filter(b, a ,x)，其中b和a分別表示系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)。,7.7 基于MATLAB的數(shù)字濾波器結構實現(xiàn),(2) 級聯(lián)型 MATLAB中提供了多個函數(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)及其零極點表示與級聯(lián)的二階子系統(tǒng)之間的相互轉換，具體介紹如下。, sos = zp2sos(z, p, k),zp2sos函數(shù)用來根據給定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)直接求解二階因式，由此產生以零極點形式確定的等效系統(tǒng)函數(shù)H(z)的各個二階因式的系數(shù)矩陣sos，sos是一個L行6列的矩陣。,矩陣的第j 行是指