2018-19學(xué)年八年級數(shù)學(xué)第15課圖形與證明例題課件.pptx

1、重點中學(xué)與你有約,例1.如圖，已知D是AC上一點，AB=DA，DE/AB，B=DAE.求證：BC=AE.,解題技巧,DE/AB， CAB=ADE,BC=AE.,在ABC和DAE中，,舉一反三,思路分析:由垂直的性質(zhì)就可以得出B=EAD，再根據(jù)AAS就可以得出ABCEAD，就可以得出AB=AE,如圖，在ABC中，ACB=90，D是AC上的一點，且AD=BC，DEAC于D，EAB=90求證：AB=AE,失誤防范,全等三角形的判定： SSS(邊邊邊):三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形； SAS(邊角邊):兩邊及其夾角對應(yīng)相等的三角形是全等三角形； ASA(角邊角):兩角及其夾邊對應(yīng)相等的三角形全等；

2、 AAS(角角邊):兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的三角形全等； HL定理(斜邊、直角邊):在一對直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等.,例2.如圖，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90，點B,C,E在同一直線上，AC=AB,AD=AE,且AE與BD交于點F，你能判斷出CE與BD的關(guān)系嗎？請說明理由.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,BD=CE，BDCE，理由是： DAE=BAC=90， CAE=BAD，,ACEABD（SAS）， CE=BD，ACE=ABD,在ACE和ABD中，,在RtABC中，ABC+ACE=90， ABD+ABC=90,即CBD=90 , BDCE,舉一反三,思路分析:（1）

3、求出BAD=CAE，根據(jù)SAS推出ABDACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BDA=E，根據(jù)E+ADE=90求出BDA+ADE=90即可,如圖，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，點C、D、E在同一直線上，連結(jié)BD（1）求證：BD=EC； （2）BD與CE有何位置關(guān)系？請證你的猜想,失誤防范,全等三角形的性質(zhì)： 1.全等三角形的對應(yīng)角相等； 2.全等三角形的對應(yīng)邊相等； 3. 能夠完全重合的頂點叫對應(yīng)頂點； 4.全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等； 5.全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等； 6.全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等； 7.全

4、等三角形面積和周長相等； 8.全等三角形的對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等.,例3.如圖，在ABC中，BAC=108，AB=AC，BD平分BAC，交AC于D.求證：BC=CD+AB.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,法1：（截長法）在BC上取點E使BE=BA，連接DE，如圖1 BD平分ABC， ABD=EBD，,在ABD和EBD中， AB=EB，ABD=EBD,BD=BD ABDEBD（SAS）， BAC=BED=108，AD=DE，DEC=72，,AB=AC， C=ABC=36，CDE=72， CDE=CED=72，CD=CE， 則BC=BE+EC=AB+CD；,解題技巧,法2：（補短法）延長BA至E，使

5、BE=BC，連接DE，如圖2 BD平分ABC， EBD=CBD，,在EBD和CBD中， EB=CB，EBD=CBD,BD=BD EBDCBD（SAS）， DE=DC，E=C=36，,EAD=72， EDA=EAD=72， EA=ED， CD=DE=AE， 則BC=BE=AB+AE=AB+CD,舉一反三,思路分析:延長AD、EF交于點G，DE=BD，再根據(jù)BDA=EDG，BD=ED，證出ABDGED，得出AB=GE，又因為BAD=DAC，所以FGD=DAC，AF=GF，即可證出AF+EF=AB,在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，且DE=BD，過E作EFA

6、B交AC的延長線于F 求證：AF+EF=AB.,失誤防范,截長補短法： 截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想. 截長:1.過某一點作長邊的垂線2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等. 補短:1.延長短邊2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起.,例4.已知，點C是線段AB上除點A,B,外的任意一點，分別以AC,BC為邊在線段AB的同旁作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN （1）求證：AE=BD； （2）求證：MNAB,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）ACD和BCE是等邊三角形， A

7、C=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60， DCA=ECB=60， DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB， 在ACE與DCB中， AC=DC，ACE=DCB，CE=CB, ACEDCB，AE=BD； （2）由（1）得，ACEDCB，而A、C、B三點共線，DCN=60， 在ACM與DCN中， CAM=NDC, AC=DC，ACM=DCN， ACMDCN，MC=NC， MCN=60，MCN為等邊三角形， NMC=MCA=60，MNAB,舉一反三,在ABC中，AD是ABC的角平分線 （1）如圖1，過C作CEAD交BA延長線于點E，若F為CE的中點，連接AF，求證：AFAD； （2）

8、如圖2，M為BC的中點， 過M作MNAD交AC于點N， 若AB=4，AC=7，求NC的長,舉一反三,思路分析:（1）推出3=E，推出AC=AE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出AFCE，根據(jù)平行線性質(zhì)推出即可； （2）延長BA與MN延長線于點E，過B作BFAC交NM延長線于點F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x得出方程4+7x=x求出即可,答案：（1）證明：AD為ABC的角平分線，1=2 CEAD，1=E，2=3E=3AC=AE F為EC的中點，AFEC，ADEC， AFE=FAD=90AFAD （2）解：延長BA與MN

9、延長線于點E，過B作BFAC交NM延長線 于點F，3=C，F(xiàn)=4 M為BC的中點,BM=CM 在BFM和CNM中，3=C，F(xiàn)=4，BM=CM, BFMCNM，BF=CN， MNAD，1=E，2=4=5 E=5=FAE=AN，BE=BF 設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x 4+7x=x解得 x=5.5CN=5.5,失誤防范,中考題中與三角形有關(guān)的綜合題: 類型一：構(gòu)造法添加輔助線 當(dāng)題目中的結(jié)論在現(xiàn)有圖形中難以解決時，我們自然會考慮添加輔助線，而構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化線段或角是我們常用的方法之一 類型二：在變化的圖中探究同一類問題這類問題往往是方法的延續(xù)

10、，而第一問是很容易入手的，因此對比第一問，利用第一問的方法就可以解決后面的問題,例5.已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A,B重合），分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點. （1）如圖1，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是 ，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是 ； （2）如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （3）如圖3，當(dāng)點P在線段 BA（或AB）的延長線上時， 此時（2）的結(jié)論是否成立？ 請畫出圖形并給予證明,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）AEBF,QE=QF， （2）QE=QF， 證明：延長FQ

11、交AE于點D，如圖. AECP，BFCP，AEBF，1=2. Q為斜邊AB的中點，AQ=BQ， 3=4， AQDBQF，QD=QF. AECP，QE為RtDEF斜邊FD上的中線， QE= FD=QF. （3）（2）中結(jié)論仍然成立. 理由：如圖，延長EQ、FB交于點D， AEBF，1=D，2=3，AQ=BQ， AQEBQD，QE=QD，BFCP， FQ為RtDEF斜邊DE上的中線， QF= ED= QE,舉一反三,已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點 （1）當(dāng)點P與點O重合時如圖1

12、，求證：OE=OF （2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P在對角線AC上時，且OFE=30時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給予證明 （3）當(dāng)點P在對角線CA的 延長線上時，且OFE=30 時，如圖3，猜想線段CF、 AE、OE之間有怎樣的數(shù)量 關(guān)系？直接寫出結(jié)論即可,舉一反三,思路分析:（1）由AOECOF即可得出結(jié)論 （2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明EOAGOC，OFG是等邊三角形，即可解決問題 （3）圖3中的結(jié)論為：CF=OEAE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似,答案：（1）AEPB，CFBP，AEO=CFO

13、=90， 又AOE=COF，AO=OC，AOECOF，OE=OF （2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE 證明如下： 延長EO交CF于點G， AEBP，CFBP，AECF， EAO=GCO，又AO=OC，AEO=COG， EOAGOC，EO=GO，AE=CG， 在RtEFG中，EO=OG，OE=OF=GO， OFE=30，OFG=9030=60， OFG是等邊三角形，OF=GF， OE=OF，OE=FG， CF=FG+CG，CF=OE+AE,舉一反三,（3）圖3中的結(jié)論為：CF=OEAE證明如下： 延長EO交FC的延長線于點G， AEBP，CFBP，AECF， AEO=G，又AOE=GOC，A

14、O=OC， AOECOG，OE=OG，AE=CG， 在RtEFG中，OE=OG，OE=OF=OG， OFE=30，OFG=9030=60， OFG是等邊三角形，OF=FG， OE=OF，OE=FG， CF=FGCG，CF=OEAE,失誤防范,1.涉及中點常用到的定理： 三角形中位線定理；中位線判定定理；直角三角形斜邊中線定理；斜邊中線判定. 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合) 2.幾何圖形綜合題： 經(jīng)常會涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型,例6.如圖，已知四邊

15、形ABCD中，ADC=60，ABC=30,AD=CD,求證：BD2=AB2+BC2.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,如圖，將ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)60，使A與C點重合，B與E點重合，連接BE， ABD=CED，A=ECD，AB=CE，DB=DE， 又ADC=60，BDE=60， DBE為等邊三角形，DB=BE， 又ECB=360BCDDCE =360BCDA =360（360ADCABC）=60+30=90， ECB為直角三角形，EC2+BC2=BE2， BD2=AB2+BC2,6.如圖，已知四邊形ABCD中，ADC=60， ABC=30,AD=CD,求證：BD2=AB2+BC2.,舉

16、一反三,如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，若AB=5，BC=6，求BD的長（提示：把DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60到ACB，連BB）,思路分析:把DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60到ACB，連BB，由DCBACB，推出BD=AB，再證明ABB是直角三角形，利用勾股定理求出AB即可解決問題,答案：把DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60到ACB，連BB， AD=CD，ADC=60， ADC是等邊三角形，DC=AC，ACD=60， ACD=BCB=60，DCB=ACB， DCBACB，BD=AB， BC=CB，BCB=60，BCB是等邊三角形， CBB=60，ABC=30， ABB=ABC

17、+CBB=90， BD=AB=,失誤防范,1.用旋轉(zhuǎn)法作輔助線證明平面幾何題： 旋轉(zhuǎn)法就是在圖形具有等鄰邊特征時，可以把圖形的某部分繞等鄰邊的公共端點，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法. （1）旋轉(zhuǎn)方法主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件； （2）旋轉(zhuǎn)時要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的大小（三要素：中心、方向、大?。?； （3）旋轉(zhuǎn)方法常用于竺腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中. 2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)： 旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,例7.如圖，在ABC中，C=90，點M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN

18、=MC，AM與BN相交于P，求證：BPM=45.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,如圖，過M作MEAN，使ME=AN，連NE，BE， 則四邊形AMEN為平行四邊形， NE=AM，MEBC，1=2， ME=AN=CM，EMB=MCA=90，BM=AC， BEMAMC，得BE=AM=NE，3=4， 1+3=90， 2+4=90即BEN=90，而BE=NE， BEN為等腰直角三角形，BNE=45， AMNE，BPM=BNE=45,7.如圖，在ABC中，C=90，點M在BC 上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM與 BN相交于P，求證：BPM=45.,舉一反三,如圖所示，已知：ABC中，A=90，D是