捕獲再捕獲模型的一個(gè)應(yīng)用

1、捕獲再捕獲模型的一個(gè)應(yīng)用胡桂華 *，!（*(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)，天津 !；!(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院，南寧 6）摘 要：! 世紀(jì) $ 年代初，捕獲再捕獲模型首次用來估計(jì)某一地區(qū)吸毒者總體規(guī)模。如同其它統(tǒng)計(jì)模型一樣，它也是建立在一些假設(shè)條件的基礎(chǔ)之上，如兩樣本獨(dú)立，總體封閉，總體中的每一個(gè)個(gè)體 有相同的捕獲概率等。關(guān)鍵詞：吸毒者；捕獲再捕獲模型；總體規(guī)模估計(jì)中圖分類號(hào)：10*文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：2 文章編號(hào)：*!3#405（!#）$3*03!1 模型構(gòu)建設(shè)吸毒者總體規(guī)模為 7，從中不重復(fù)隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立 樣本，第一樣本記作 2 樣本，第二樣本記作 8 樣本。第 9（9:*/!/ /7&個(gè)體落入兩樣本的概率見表 *。 按

2、個(gè)體落入兩樣本的實(shí)際情況，將個(gè)體分為四類：僅落入 2 樣本；僅落入 8 樣本；同時(shí)出現(xiàn)在 2 樣本和 8 樣本中；未落入 2 樣本和 8 樣本中。表 ! 中，;*:同時(shí)出現(xiàn)在 2 樣本和 8 樣本中的個(gè)體數(shù)；;*!:僅出現(xiàn)在 2 樣本中的個(gè)體數(shù)；;!*:僅在 8 樣本中的個(gè)體數(shù)；;!:未出現(xiàn)在 2 樣本和 8 樣本中的個(gè)體數(shù)。除 ;! 和含它的 ;!(，;(! 和 ;(外，其它所有單元都是可以觀 察到的。為估計(jì) 7，需要引入多項(xiàng)分布函數(shù) :%;*/;*!/;!*/;!&， 并且規(guī)定約束條件：型決策問題。決策者是決策問題的主體，因而風(fēng)險(xiǎn)型決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則應(yīng)將決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度考慮在內(nèi)；決策目標(biāo)有兩

3、 重含義：一是客觀的指標(biāo)%通常為最大收益或最小損失&；二是 決策者對(duì)客觀指標(biāo)的滿意程度，即決策目標(biāo)的客觀指標(biāo)數(shù)值 在決策者心目中的綜合效用的大小。效用值是后果值在決策 者心目中所對(duì)應(yīng)的的綜合效用，它既代表決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的 態(tài)度，又說明決策者對(duì)于收益或損失的獨(dú)特興趣、感受或取 舍反應(yīng)。因此，從決策的本質(zhì)來看，應(yīng)提倡使用期望效用值決 策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。( 從利用信息角度看，三種決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則對(duì)新信息的利 用方向不同由于對(duì)每一實(shí)際決策問題，貝葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則或選擇 期望后果值最優(yōu)或選擇期望效用值最大來評(píng)判決策方案的 優(yōu)劣，因此我們可將貝葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則劃分為兩種：貝葉 斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 ) （期望后果值）和貝

4、葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 )（期望效用值）。從信息角度來看，獲取表 * 中的信息是風(fēng)險(xiǎn)型決策分析 必備的基礎(chǔ)信息。期望后果值決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則在此基礎(chǔ)信息下 便可進(jìn)行決策分析，即不利用新信息。而其它決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 卻需要補(bǔ)充新的信息后才能進(jìn)行決策分析，但利用新信息的 方向各不相同：期望效用值決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則利用的新信息是決 策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度；貝葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 )（期望后果值） 利用了狀態(tài)概率分布的新信息；而貝葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 )（期望效用值）既利用了決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度的新信息，又圖 ! 風(fēng)險(xiǎn)型決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則利用新信息的方向利用了狀態(tài)概率分布的新信息。具體情況見圖 !。在風(fēng)險(xiǎn)型決策中，一般來說，因?yàn)楹篁?yàn)概率分布

5、是對(duì)先 驗(yàn)概率分布和關(guān)于多種自然狀態(tài)概率分布的補(bǔ)充信息進(jìn)行 科學(xué)綜合的結(jié)果，所以后驗(yàn)概率分布較先驗(yàn)概率分布更接近 實(shí)際情況，也就是說，從狀態(tài)概率分布這一信息角度來看，貝 葉斯決策評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 )（期望后果值）優(yōu)于期望后果值決策評(píng)價(jià) 準(zhǔn)則。綜上所述，從利用信息量的角度來看，貝葉斯決策評(píng)價(jià) 準(zhǔn)則 )（期望效用值）將是其中的最佳者。參考文獻(xiàn)：+*,涂葆林(統(tǒng)計(jì)與管理決策%上冊& +-,( 武漢.中國地質(zhì)大學(xué)出版社/*$0$(（責(zé)任編輯 ! 亦 民）%&%&!%!&%! +！/ 0+8/6$#%&(%&!)%!&)%!*+$%&*,&! ，-./0%&1%1&2%&1，然后使用似然函數(shù) b（+）*是二項(xiàng)分

6、布的反問題。/70+8/670&85! 6 5!估計(jì) +，這表 &個(gè)體落入兩樣本概率+ 理解為多項(xiàng)分布+h *%h 11* /5!*/&80&85&160&851&6;（#）r在 s 樣本中不在 s 樣本中總和在 樣本中5.&5.&!5.&1不在 r 樣本中5.!&5.!5.!1總和5.1&5.1!5.11在 s 樣本中不在 s 樣本中總和在 r 樣本中%&%&!%&1不在 r 樣本中%!&%!%!1總和%1&%1!%11表 !個(gè)體落入兩樣本數(shù)目%&%&!%!&%!的 + 次 獨(dú) 立實(shí)驗(yàn)，%&%&!%!&%! 理 解 為 + 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中 落 入 四 類的 個(gè) 體 數(shù)目。將5h &1*%& c

7、 %1&，5h 1&*%& c %&1代入（#）式，得+h *%h 11*%&1%1& c %&（i） 希爾和戴明還使用 法推導(dǎo)出%h 11的漸近方差： jkl0+h 6*%&1%1&%&!%!& c %&（m） 查普曼 &$f& 年對(duì)（i）式估計(jì)的+h 的分布特性作了詳細(xì)的討論。他指出，當(dāng) +(n 時(shí)，+h 是 + 的最佳漸近正態(tài)估計(jì)量， 但卻是有偏的，并且樣本規(guī)模很小時(shí)，偏差很大。然而，當(dāng) %&1(+75& 5&! 5!& 5!，%&時(shí)，并且第二個(gè)樣本不重復(fù)抽取，它的修正估計(jì)30%&%&!%!&%!4+5&5&!5!&5!6* %7% 7% 7%（&）7%1&!+!m如果兩樣本獨(dú)立，那么5

8、&*5&151&5&!*5&151!*5&10&851&65!&*5!151&*0&85&1651&5!*5!151!*0&85&160&851&6& &! !& !量幾乎是無偏的，即+h o* g%&1)&6g%1&)&6 8& （$）g%&)&6+h o 服從漸近正態(tài)分布，希伯（&$i 年）建議使用區(qū)間估 計(jì)法估計(jì) +，$fp概率把握程度下的 + 的置信區(qū)間為：代入（&）式，得：+h oq&1$# )jklg+h 6e（&）30%&,%&!,%!&,%!9+,3&,5&!,5!&,5!6其中，jklg+h 6e*g%&1)&6g%1&)&6g%&18%&6g%1&8%&6 c g%&)&6

9、!g%&)!6%&* +705&151& 6%&!:5&10&851& 6;%!&0&85&1651& =%!?%&,%!,%,%a95&,5&!,5!&,5!6*5& 5&! 5!& 5!%&,%!,%,%a* 或 &抽取容量為 + 的簡單隨機(jī)樣本 !&，!， ，!+，建立似然函 數(shù)：+!+.&2 模型假設(shè)像許多其它統(tǒng)計(jì)模型一樣，捕獲再捕獲模型也是建立 在一些假設(shè)條件的基礎(chǔ)之上。在所有科學(xué)研究領(lǐng)域中，為便 于研究問題，經(jīng)常做出某些假設(shè)。受各種條件限制，研究者 常常只能假設(shè)他們所看到的和沒有看到的情況是一樣的。 當(dāng)然，假設(shè)不能完全脫離實(shí)際，應(yīng)該與現(xiàn)實(shí)情況盡可能吻合，否則，建立在假設(shè)基礎(chǔ)之上的理

10、論模型就失去存在的意. * &b0!&,!+95&,5&!,5!&,5!6* &0!&,!+95&,5&!,5!&,5!6*5 & 5. * &義。+!.!. * &+!. * &+!.a. * &%&%&!%!&!%（）在吸毒者規(guī)模估計(jì)問題研究中，應(yīng)用上述兩樣本捕獲再&! 5!&5!*5& 5&! 5!& 5!捕獲模型或其估計(jì)量公式應(yīng)該滿足下面條件：（）右邊乘以（+8/）！%&7%&!7%!&7%!7 c +7bd0!&, ,!+95&,5&!,5!&,5!6（&）同質(zhì)性，即在吸毒者總體中，每個(gè)吸毒者有相等的捕 獲或再捕獲概率，也就是說，有相同的機(jī)會(huì)進(jìn)入 r 樣本或 s%&%&!%!&%!*

11、+75& 5&! 5!& 5! c 0+8/67%&7%&!7%!&7%!7（a）樣本容量為 +，但我們已經(jīng)知道的樣本容量 /*%&)%&!)%!&，于是落入第四類的個(gè)體數(shù)目是 %!*+8/，相應(yīng)概率 5!*&805&)5&!)5!&6，代入（a）式，得bd0!&, ,!+95&,5&!,5!&,5!6樣本，當(dāng)然不要求進(jìn)入這兩樣本的概率相等。（!）獨(dú)立性，即吸毒者進(jìn)入 s 樣本的概率，與他們是否已 經(jīng)進(jìn)入 r 樣本無關(guān)，換句話說，進(jìn)入或未進(jìn)入 r 樣本的個(gè)體 有相同的機(jī)會(huì)進(jìn)入 s 樣本。（）記錄能夠保留下來。出現(xiàn)在第一樣本中的吸毒者被* +7 0& 85/0+8/6 /7 %65ee登記后，調(diào)

12、查員應(yīng)該將登記的個(gè)人記錄檔案妥善保管，不要%&/70+8/67%&!%!&!&7%&!7%!&7%! 7丟失。如果丟失，就無法確認(rèn)同時(shí)進(jìn)入 r 樣本和 s 樣本的個(gè)體數(shù)（%&）。05&151& 65&10&851& 6;0&85&1651& ;/（f）（a）抽取兩樣本必須有時(shí)間間隔，使出現(xiàn)在第一樣本中0&85! 6若要同時(shí)估計(jì)出 +，5&1,51& 的最大似然估計(jì)量，需要對(duì)（f） 求最大值。雖然求最大值能做到，但很繁雜，因而采用一個(gè)相對(duì)簡單的方法，即先使用似然函數(shù) bg5&1,51&6*/7e%& 7%&! 7%!& 7%! 7的吸毒者有足夠長的時(shí)間與其他未出現(xiàn)在第一樣本中的吸 毒者在吸毒者總

13、體中混合均勻。（f）總體封閉，也就是說，在第一次抽樣、調(diào)查、登記后，沒有新生或遷入的吸毒者進(jìn)入該總體，也沒有死亡或遷出的 吸毒者離開該總體。如果新生或遷入吸毒者人數(shù)等于或近似%&05&151& 6%&!5&10&851& 6;%!&0&85&1651& ;估計(jì) 5 ,5 。5hh于死亡或遷出的吸毒者人數(shù)，也認(rèn)為總體封閉。/0&85! 6&1 1&1*%& c %1&，51&*%& c統(tǒng)計(jì)與決策 !# 年 $ 月（下）!#如果這些假設(shè)條件與研究問題的現(xiàn)實(shí)情況完全吻合，只 要不出現(xiàn)其它誤差，使用捕獲再捕獲模型得到的估計(jì)結(jié)果將 是非常準(zhǔn)確的。但是，現(xiàn)實(shí)情況與上述假設(shè)總是存在或多或少的差異。在這樣的情

14、況下，是否就不能夠使用上述模型呢%這要看這 個(gè)差異的程度，還要看研究總體規(guī)模的大小，比如說，如果在日)! 年 & 月 *& 日。（(）估計(jì)總體規(guī)模和標(biāo)準(zhǔn)差。第一樣本吸毒者人數(shù)用 3&2 表示，第二樣本用 32& 表示，同時(shí)出現(xiàn)在兩次捕獲中的吸毒人 數(shù)用 3& 表示，3&24+&，32&4&$&，3&4*。根據(jù)公式（$）和（&），得56 74 ,3&28&-,32&9&- )&4 ,+&9&-,&$&9&- )&4*.(研究期間有 &( 名吸毒者新生或從外地遷入，有 !)* 名死亡,3&9&-=,*9&-或遷出，而研究總體估計(jì)大概有 & 名左右的吸毒者，那么，可以使用該模型。 但是，如果差異超出

15、模型使用的臨界標(biāo)準(zhǔn)，就要另行考慮。比如說，如果總體封閉假設(shè)不成立，就使用開放式的 喬利)希伯捕獲再捕獲模型；如果同質(zhì)性假設(shè)不成立，就先 對(duì)總體分層，將捕獲概率相同或相近的吸毒者歸入同一層，然后在各層內(nèi)獨(dú)立使用捕獲再捕獲模型；如果獨(dú)立性 假設(shè)不成立，就使用多樣本對(duì)數(shù)線性捕獲再捕獲模型，等 等。3 模型應(yīng)用&$+ 年以來，四川利山地區(qū)吸毒情況十分嚴(yán)重，引起四 川省省政府的高度重視。!& 年 & 月)! 年 & 月，四川 大學(xué)公共健康流行病研究所受省政府委托，奔赴該地區(qū)實(shí)地 調(diào)查吸毒情況。在當(dāng)?shù)亟涠局行呢?fù)責(zé)人的幫助下，從戒毒中 心抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本。兩樣本抽取的時(shí)間,即捕獲期-均為四 個(gè)月，抽取的時(shí)間

16、間隔,即間隔期-為八個(gè)月。第一樣本有 +& 名吸毒者，第二樣本 &$& 名，另外發(fā)現(xiàn) * 名吸毒者同時(shí)出現(xiàn) 在兩樣本中。（&）確定估計(jì)目標(biāo)。估計(jì)的是 !& 年 & 月 & 日!年 & 月 *& 日四川利山地區(qū)吸毒者人數(shù)。（!）收集吸毒者個(gè)人資料。每名吸毒者的個(gè)人資料應(yīng)該 包括：姓名、年齡、性別、職業(yè)、出生年月、出生地、當(dāng)前所在 地、婚姻狀況、經(jīng)濟(jì)收入水平，以及進(jìn)出戒毒中心的時(shí)間，等 等。（*）依據(jù)利山地區(qū)戒毒中心 &$+ 年 . 月 & 日)! 年& 月 *& 日提供的吸毒者進(jìn)出或停留在戒毒中的時(shí)間和人 次確定間隔期,/-和捕獲期,0-。表 * 表明，&$+ 年 . 月 & 日)! 年 & 月

17、 *& 日，共有表 * 吸毒者 ! 次或多次進(jìn)出戒毒中心時(shí)間間隔分布:; ,3&8&-!,3&8!-4,+&8&-,&$&8&-,+&)*-,&$&)*- ,*8&-!,*8!-4!1(*+=!:;,5 -7 4&.1# =$(?置信區(qū)間56 7&2$# !:;,5 -a 4,(.! #*#1-該估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確嗎%回答是肯定的。理由有下面幾點(diǎn)：第一，在 !& 年 & 月 & 日)! 年 & 月 *& 日期間，在利山 地區(qū)，沒有發(fā)現(xiàn)吸毒者死亡或遷出，也沒有發(fā)現(xiàn)新生或從其 它地區(qū)遷入的吸毒者。第二，調(diào)查前，進(jìn)行了宣傳，消除了吸毒者心理上的顧慮，積極主動(dòng)到戒毒中心戒毒，這樣一來，就保證了吸毒者進(jìn)入戒毒

18、中的概率相等。第三，捕獲期及捕獲 間隔期是依據(jù)實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)確定的。第四，該估計(jì)結(jié)果與當(dāng) 地警察局掌握的數(shù)據(jù)基本一致。值得說明的是，為什么不使用傳統(tǒng)的全面調(diào)查和抽樣調(diào)查呢%主要原因是吸毒人群是一個(gè)特殊群體，不被社會(huì)所接 納，調(diào)查員難以接近他們，此外，抽樣框也很難建立，不具備 進(jìn)行抽樣調(diào)查的基本條件。4 結(jié)論 捕獲再捕獲模型估計(jì)公式是依據(jù)抽樣理論推導(dǎo)出來的，因而是可信的。如同任何其他統(tǒng)計(jì)模型一樣，捕獲再捕獲模 型也是建立在一些假設(shè)條件的基礎(chǔ)上。如果模型中的假設(shè)與 所研究問題的現(xiàn)實(shí)情況不相吻合，模型使用的效果就比較 差。從國外實(shí)踐的情況來看，估計(jì)某一地區(qū)的交通事故人 數(shù)、無家可歸人數(shù)和吸毒人數(shù)，基本上都是在捕獲再捕獲模型所需要的假設(shè)條件未得到完全滿足的情況之下進(jìn)行的，而 本文吸毒人數(shù)估計(jì)，假設(shè)條件得到了很好的滿足，因