自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破

1、線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)逐個(gè)擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1二階行列式由4個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為2三階行列式由9個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對(duì)任何一個(gè)元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記

2、，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開(kāi)式，經(jīng)常簡(jiǎn)寫(xiě)成4n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說(shuō)，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào).推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開(kāi).性質(zhì)

3、5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開(kāi)式，后一式稱為D按第j列的展開(kāi)式.本定理說(shuō)明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即或（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的

4、行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開(kāi)：例1計(jì)算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開(kāi).例2 計(jì)算行列式 解：方法1這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，因?yàn)槲淖挚赡苋?值.要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到

5、第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：方法2 觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們采用“加邊法”來(lái)計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說(shuō)，若齊次線

6、性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章 矩陣（一）矩陣的定義1矩陣的概念由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表稱為一個(gè)m行n列矩陣或矩陣當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示23個(gè)常用的特殊方陣：n階對(duì)角矩陣是指形如 的矩陣n階單位方陣是指形如 的矩陣n階三角矩陣是指形如 的矩陣3矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，只有一階方陣是一個(gè)數(shù)，而且行列式記號(hào)“”與矩陣記號(hào)“”也不同，不能用錯(cuò).（二）矩陣的運(yùn)算1矩陣的同型與

7、相等設(shè)有矩陣，若，則說(shuō)A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當(dāng)兩個(gè)矩陣從型號(hào)到元素全一樣的矩陣，才能說(shuō)相等.2矩陣的加、減法設(shè)，是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律.3數(shù)乘運(yùn)算設(shè)，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律.4乘法運(yùn)算設(shè)，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)

8、相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對(duì)應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：不滿足交換律，即在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.5方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣6矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個(gè)矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：，由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱矩陣，

9、反對(duì)稱矩陣的定義設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對(duì)稱矩陣.7方陣的行列式矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則；（三）方陣的逆矩陣1可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說(shuō)A為一個(gè)可逆矩陣，意指A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則是

10、可逆矩陣，且；AB是可逆矩陣，且；kA是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè)P為可逆矩陣，則 2伴隨矩陣設(shè)為一個(gè)n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）3n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且， 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求 解：（1）對(duì)二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號(hào)”即（2）由，故當(dāng)時(shí)，即，A為可逆矩陣此時(shí)（四）分塊矩陣1 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對(duì)于行

11、數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來(lái)看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對(duì)應(yīng)的子塊.2準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1 初等變換對(duì)一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換

12、，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過(guò)程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過(guò)程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見(jiàn)的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣.2初等方陣由單位方陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任

13、一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換.4矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為對(duì)任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.即對(duì)任一個(gè)矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換. 例2 求的逆矩陣 解： 則 例3 求解矩陣方程解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變

14、換法，不用求出，而直接求則 （六）矩陣的秩1 秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對(duì)n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)任一個(gè)矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3與滿秩矩陣等價(jià)的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對(duì)任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān) A的行（列）

15、向量組為的一個(gè)基 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對(duì)任一個(gè)線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對(duì)應(yīng).對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章 向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1 n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列

16、向量，即矩陣與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律.2向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.4線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù).例1問(wèn)能否表示成，的線性組合？解：設(shè)線性方程組為 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的

17、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1 線性相關(guān)性概念設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量線性無(wú)關(guān).由定義可知，線性無(wú)關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.特別 單個(gè)向量線性相關(guān)； 單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)2求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為令，得一個(gè)非零解為則3線性相關(guān)性的若干基本定理定理1 n維向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.即線性無(wú)關(guān)任一個(gè)向量都不

18、能表示為其余向量的線性組合.定理2 如果向量組線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4 無(wú)關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩1向量組等價(jià)的概念若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).2向量組的極大無(wú)關(guān)組設(shè)T為一個(gè)向量組，若存在T的一個(gè)部分組S，它是線性無(wú)關(guān)的，且T中任一個(gè)向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T(mén)的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.顯然，線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身.對(duì)于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無(wú)關(guān)組

19、不是唯一的，但有以下性質(zhì)：定理1 向量組T與它的任一個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，因而T的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).定理2 向量組T的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同.3向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系把向量組T的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組中的所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對(duì)任一個(gè)矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說(shuō)明，對(duì)于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個(gè)矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來(lái)求出向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組.例3 求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表出：解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個(gè)

20、矩陣，再用初等行變換把它化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣易見(jiàn)B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，而且（四）向量空間1 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作定義2 設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對(duì)于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2 向量空間的基與維數(shù)設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是的一個(gè)基.3 向

21、量在某個(gè)基下的坐標(biāo)設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).第四章 線性方程組（一） 線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理1 設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當(dāng)n元非齊次線性方程組有解時(shí)，即時(shí)，那么（1）有唯一解；（2）有無(wú)窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間首先對(duì)任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡(jiǎn)稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向量，即