概率論的基礎(chǔ)知識.ppt

1、,概論論的基礎(chǔ)知識,6,目錄,第二部分,隨機(jī)變量及其分布,第一部分,概率基礎(chǔ)知識,概率基礎(chǔ)知識,事件 （一）隨機(jī)現(xiàn)象 1、定義：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)： 隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)； 至于哪一個(gè)出現(xiàn)，事先人們并不知道。 2、樣本點(diǎn)（抽樣單元）：隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，又稱為抽樣單元。 3、樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為（讀Omega ）。 認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要就是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。,概率基礎(chǔ)知識,事件 例 一天內(nèi)進(jìn)某超市的顧客數(shù): =0,1,2, 一顧客在超市購買的商品

2、數(shù): =0,1,2, 一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間: =t:t 0 一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù): =0,1,2, 新產(chǎn)品在未來市場的占有率: =0,1 一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間: =t:t 0 加工機(jī)構(gòu)軸的直徑尺寸: = 一罐午餐肉的重量： = Gg ,概率基礎(chǔ)知識,事件 （二）隨機(jī)事件 定義：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用 大寫字母A、B、C 等表示。 1、隨機(jī)事件的特征 任一事件A是相應(yīng)樣本空間中的一個(gè)子集； 當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生,那么事件A就發(fā)生； 事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用的語言應(yīng)是明確無誤的； 任一樣本空間都有一個(gè)最大子集，

3、這個(gè)最大子集就是，它對應(yīng)的事件就是必然事件，仍用表示； 任一樣本空間都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為（讀作fai ）。,概率基礎(chǔ)知識,事件 2、隨機(jī)事件之間的關(guān)系 包含：【在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A和B，若事件A中的任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或者B包含A，記為A B,或者B A 互不相容： 【若事件A與B沒有相同樣本點(diǎn)，則稱事件A與B互不相容?！浚ɑコ猓?兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容。,概率基礎(chǔ)知識,事件 相等：【若事件A與B有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記著A=B】 例 擲骰子：=1，2，3，4，5

4、，6，設(shè)事件A =“等于小于4的數(shù)”=1，2，3，4，事件B =“偶數(shù)”=2，4，6，顯然A與B有相同的樣本點(diǎn)2，4，但事件A與B 并不相等?？啥x為“若事件A與B有完全相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B 相等” 若兩個(gè)事件相當(dāng)，他們必定互相包含，即A=B，則有A B ，A B；反之，若兩個(gè)事件互相包含，則它們相等。,概率基礎(chǔ)知識,事件 （三）事件的運(yùn)算 對立事件（又稱為互逆事件或逆事件）【在一個(gè)隨機(jī)想象中，是樣品空間，A為事件，由在中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的（互逆事件）。記為 （讀非A）?！?事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A與B的并，記為A

5、B或A+B。并事件意味著事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生?！?概率基礎(chǔ)知識,事件 （三）事件的運(yùn)算 事件A與B的交（又稱為積事件）【由事件A與事件B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交，記為AB，簡記為AB。交事件意味著事件A與事件B同時(shí)發(fā)生?！?事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差，記為AB?！?概率基礎(chǔ)知識,事件,事件運(yùn)算具有如下性質(zhì)： 1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC) 4、對偶律： 以上性質(zhì)都可推廣到多個(gè)事件運(yùn)算中去。,概率

6、基礎(chǔ)知識,概率,（四）概率 事件發(fā)生可能性大小的度量 一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P（A）來表示。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。 特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。即： P() = 0 P() = 1,概率基礎(chǔ)知識,概率,二、概率的古典定義 古典定義 用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下： （1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有 n 個(gè)樣本點(diǎn)； （2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）； （3）若被考察的事件A含有 k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為：,概率基礎(chǔ)知識,概率,乘

7、法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1*n2種方法。 例如：從A城去B城有3條旅游路線，從B城去C城有2條旅游路線，那么，從A城經(jīng)B城到C城有3 X 2 = 6 條旅游路線。 加法原理：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。 例如：從A城到B城有三類交通工具，汽車，火車和飛機(jī)。汽車有5個(gè)班次，火車有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從A城到B城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。 可以推廣到多個(gè)步驟和途徑事件。,概率基礎(chǔ)知識,概率,概率基礎(chǔ)知識,概率,概率基礎(chǔ)知識,概率,（二

8、）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性 （1）條件概率與概率的乘法法則 條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為： 性質(zhì)6：（乘法法則）對任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，有 P（AB）=P(B)P（A|B） P(B) 0 =P(A)P（B|A） P(A) 0,概率基礎(chǔ)知識,概率,例 一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示 從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求 (1) 取出的一個(gè)為正品的概率 (2) 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率 (3) 取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率 (4) 如果取

9、出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,概率基礎(chǔ)知識,概率,解：設(shè) A = 取出的一個(gè)為正品 B = 取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 （1） （2） （3） （4）,概率基礎(chǔ)知識,概率,（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率 設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。 性質(zhì)7：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為 性質(zhì)8：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。,隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量,1、定義：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X、Y、

10、Z等表示隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的值用小寫字母 x、y、z表示 。 例如，在燈泡壽命試驗(yàn)中，令X為“燈泡壽命”(小時(shí))，則X為一隨機(jī)變量。 X500，X1000，800X1200等表示了不同的隨機(jī)事件。 2、分類：,假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量。,假如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間（a，b），則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量。,產(chǎn)品質(zhì)量特性是表征產(chǎn)品性能的指標(biāo)，產(chǎn)品性能一般具有隨機(jī)性，所有質(zhì)量特性就系一個(gè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量分布,隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量分布,隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量分布,隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量均值和方

11、差的運(yùn)算性質(zhì),隨機(jī)變量及其分布,常用離散分布二項(xiàng)分布,1）重復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn)； 2） n 次試驗(yàn)間相互獨(dú)立； 3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果； 4）成功的概率為p，失敗的概率為1-p； 在上述四個(gè)條件下，設(shè)x表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則有概率密度函數(shù)為： 這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n，p）。 均值：E(x)=np 方差： Var(x)= np (1-p),隨機(jī)變量及其分布,常用離散分布二項(xiàng)分布,隨機(jī)變量及其分布,常用離散分布泊松分布,隨機(jī)變量及其分布,常用離散分布超幾何分布,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,1、正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 它的圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)

12、曲線。 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)和，常記為N（ ，2）。 其中為分布的均值 （ 讀作miu） 為分布的標(biāo)準(zhǔn)差,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,0.9357,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些運(yùn)算公式 P( Ua ) = P(U a ) = 1-(a) ( - a) = 1-(a) P(a U b) = (b) -(a) P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a) = 2 (a) -1,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) 一般說來，對任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

13、N（0，1）的分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為，它的右側(cè)面積恰好為1-，用概率的語言來說， U的分位數(shù)u 是滿足下列等式的實(shí)數(shù) P( U u ) = ,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,2、正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化 某產(chǎn)品的質(zhì)量特性 X N(16, 2 ) ,若要求P(12 X 20)0.8，則 最大值應(yīng)為（ ） A、u 0.9 / 4 B、4 / u 0.9 C、 u 0.9 / 2 D、2 / u 0.9 解：,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,2、正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化 產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率的計(jì)算 1、質(zhì)量特性 X 的分布，在受控的情況

14、下，常為正態(tài)分布； 2、產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL。 產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率為： p = pL +pU,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布正態(tài)分布,計(jì)算上下規(guī)格限： USL=70+3=73 LSL =70-3=67,(1-(2)+(1-(2)=2-2(2),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表的(2)=0.9772,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布均勻分布,均勻分布在兩端點(diǎn)a,b之間有一個(gè)恒定的概率密度函數(shù)，即在（a，b）上概率密度函數(shù)是一個(gè)常數(shù)，見下公式。則稱“在區(qū)間（a，b）上的均勻分布” 其均值、方差為：,隨機(jī)變量及其分布,常用連續(xù)分布均勻分布,例 某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30，7:45 等時(shí)刻，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率。 解：依題意可知，X U (0 ,30)，即 為使候車時(shí)間 X 少于