光波導第三章

1、第三章 光波導光線理論,程函方程和光線路徑方程 均勻介質波導中光線的傳播 階躍光纖中光線的傳播 梯度光纖中光線的傳播 導波模與特征方程 特征模與色散方程 多模波導的傳輸特性,光線理論：當光線在傳播過程中可以不考慮波長的有限大?。囱苌洮F(xiàn)象），則能量可以看作沿一定曲線傳播，電磁波的傳播可以近似為平面波。 方法：確定光線路徑，計算相關聯(lián)的強度和偏振： 程函方程 光線傳播路徑方程,3.1 程函方程,光程：波面走過的幾何路徑與折射率的乘積。 平面波在任意方向傳輸?shù)牟ê瘮?shù)： 相位因子 對非均勻介質，相位既與位置有關，又與傳播路徑上的折射率有關，用光程函數(shù)表示 波函數(shù)略去時間因子 相位梯度 ：表示光線傳播

2、過程中相位的變化率 由麥克斯韋方程推導程函方程:,由： 等式左邊： 與等式左邊相等：,由麥克斯韋方程其他三個方程同樣處理，得到： 三個矢量正交，相位梯度與波面法線方向一致。 條件： 將（3.1a）代入（3.1b） ， 利用矢量恒等式,電場矢量振幅不能處處為零，因而必然有： 或者： 式（3.2a）稱為程函方程； 相位梯度 方向與光波傳播方向一致，其模等于介質折射率； 程函方程給出波面變化規(guī)律： 在均勻介質中，光波傳輸方向不變； 在非均勻介質中，光波傳輸方向隨折射率變。,（3.2a）,（3.2b）,3.2 光線傳播路徑方程,r ：光線傳播路徑S上某點的矢徑 dr/ds:傳播路徑切線方向上單位矢量,

3、 根據(jù)相位梯度的定義，矢量dr/ds方向與相位梯度方向一致，大小等于： 由程函方程,因此,相位梯度等于路徑切線方向上的單位光程,上式對路徑 S 求導,光線方程是矢量方程，表示光線向折射率大的方向彎曲。,等式右邊：,（3.4),故對 S 求導式為：,切線方向上的單位光程沿路徑變化率,折射率梯度,光線方程,例1：光線在均勻媒質中的傳播,光線方程： 因 n = 常數(shù) 改寫成： 其解為矢量直線方程： a和b是常矢量，在均勻介質中光線路經(jīng)沿矢量a前進，并通過r=b點。 物理意義： 表示光線路徑的曲率變化量。 表示光線路徑為直線。,例2：光線在折射率具有球對稱分布媒質中的傳播,球對稱：折射率僅僅是球半徑r

4、的函數(shù)，如地球大氣， 光線方程： 推導光線走向的表達式如下： 展開光線方程：,據(jù)微分幾何，等式左側 是光線路徑的曲率矢量，其大小就是路徑曲線的曲率。 令曲率矢量為： 代入光線方程展開式： 用 n 乘 K 有: 上式表明折射率梯度矢量位于光線的切面內；,重寫曲率矢量和光線方程展開式： 上兩矢量式點乘，第二項因兩矢量正交為零，故有 因曲率半徑總是正的，所以等式右邊必須為正： 即光線前進時，向折射率高的一側彎曲。,光線方程在圓柱坐標中可分解成三個標量方程：,光線方程：,設折射率分布橫截面為中心對稱分布，縱向不變，則：dn /d =0, dn /dz =0,例3：光線在圓柱體中的傳播,由上三式得光線軌

5、跡（路徑與z 的關系）：,只要光纖折射率分布和入射點確定，就可計算光線軌跡。,（ 3.6 ）,小結,程函方程：表示光波相位變化與介質折射率分布的關系 光線在均勻介質傳播路徑上無方向變化；在非均勻介質傳播路徑上有方向變化。 光線方程： 光線向折射率大的方向彎曲。 相位梯度方向與波矢量k方向一致，其模等于該點鄰近單位距離內的相移。(弧度/米）,3.3 均勻介質波導中光線的傳播,薄膜波導： 結構：芯層n1，襯底n2，敷層n3，芯層可以做成各種形式。 工藝：薄膜成型法（離子擴散、晶體生長） 襯底材料：玻璃、電光晶體、半導體材料 應用：集成光路、光波導器件。,圓柱波導光纖 結構：芯層n1，包層n2，緩沖

6、層（緩沖層：有彈性、耐腐蝕的塑料護套）。 材料和工藝：玻璃、拉絲 應用：光通信。 分類：據(jù)纖芯折射率分為階躍折射率和梯度折射率光纖；據(jù)傳輸信號分為單模和多模光纖、保偏光纖。,階躍折射率分布,梯度折射率分布,3.3.1 均勻介質波導傳播時延及時延差,設光線沿z方向傳播，在兩個界面上都滿足全反射條件： 光線在芯層中的傳播速度： 傳播距離為z時走過實際路徑的長度為： 所需時間： 定義光線傳播時延：沿z軸方向傳播單位距離的時間 與z軸夾角不同的兩條光線在z方向傳播單位距離產(chǎn)生的時延差為：,（ 3.7 ）,（ 3.8 ）,路徑最短的光線： 路徑最長的光線： 最大時延差： 定義相對折射率差： 最大時延差：

7、 可以估算不同路經(jīng)傳輸導致的光脈沖展寬,（ 3.10 ）,（ 3.9 ）,（ 3.11 ）,由光線沿軸向路徑的差異產(chǎn)生信號到達時間差； 最快光線（零級模式）： 最慢光線（臨界模式）： 例如： 單位長度（Km）零級模式傳輸時間: 臨界模式傳輸時間延遲（最大時延差）：,當：,3.3.2 階躍光纖中光線的傳播,相對折射率差： 多模光纖 = 0.01 - 0.03 單模光纖 = 0.002 - 0.01 傳播光線： 子午光線 ：播路徑始終在過光纖軸線的同一平面內； 偏斜光線：傳播路徑與光纖軸線不相交的光線。,（ 3.12 ）,子午光線的傳播,光線在纖芯與包層界面全反射： 因 處于空氣中的光纖端面： 子

8、午光線傳輸條件： 數(shù)值孔徑（孔徑角） 表示光纖收集光的能力，在光纖內滿足全反射的條件。,（ 2.13 ）,子午光線在子午面內傳播,斜光線傳播,光線傳播路徑不在一個平面內，也不與光纖軸線相交； 入射方向單位矢量 入射點矢徑,斜光線傳播應滿足什么條件？,為方向余弦,由上面三式可導出斜入射光線沿光纖軸線方向傳播的條件：,特殊情況：入射點在子午面上,有,式中無M0，入射光線與y軸夾角可為任意; 即使與y軸接近0，也會被限制在芯內，只是傳播速度慢; 斜光線更易被光纖收集。,限定入射點的位置與方向,斜光線傳播過程中總與一個圓柱面相切（內散焦面）,子午光線在子午面內傳播,3.3.4 梯度光纖子午光線路徑,梯

9、度折射率分布： 光線方程： 取子午面內的 x 與 z 兩個分量：,（z方向折射率為常數(shù)）,對 z 向分量積分求得 z 向路徑： 光纖沿z軸方向的幾何結構和折射率分布不變 路徑上任意點的折射率在z方向分量相等 在z向傳播的每個截面上，折射率由線芯 x=0 向兩側邊界單調下降，光線總是彎向折射率大的一側，所以光線與Z軸的夾角 隨 x 增大而減小。 不同的初始傾斜角 有不同的路徑。,束縛光線,折射光線,光線折返點 xtp: 最大初始傾斜角： 折射率分布確定后，光線是否被束縛在光纖芯內，完全取決于初始傾斜角。 光線在梯度折射率光纖內呈曲線狀傳播。 xtp大的光線盡管所走的路程較長，但因在邊緣部分的折射

10、率較小，傳播速度要快些，沿中心線傳播的光線走的路程短，但折射率大，傳播速度要慢些。比階躍折射率光纖的時延要小。,（ 3.14）,階躍折射率光纖,梯度折射率光纖,焦散面,自聚焦光纖梯度折射率光纖特例,子午平面內，路徑上任意點的折射率在z方向分量相等; 光線軌跡在某點的切線斜率為,對確定折射率分布的光纖，由上式積分得到光線軌跡方程,徑向坐標用r表示,若折射率分布函數(shù)：,積分并取出發(fā)點在坐標原點，得到光線軌跡方程：,軌跡為正弦曲線，振幅,空間周期,不同入射角光線軌跡的空間周期（起始角 ）成正比,光線軌跡方程, 取不同值可以逼近多種折射率分布,（ 3.15a）,（ 3.15b）,（ 3.15c）,（平

11、方律光纖）,如果n=1.5，則最大入射角僅為0.07，所以在光纖端面實際能進入的不同光線起始角互相很接近，可以認為不同入射角光線的空間周期近似相等，,一般子午光線對應的數(shù)值孔徑,子午線軌跡方程,子午平面內不同入射角的光線，振幅不同，但呈周期性聚焦。,（ 3.16a）,（ 3.16b）,費馬原理描述光線傳播行為的原理：光線必定沿光程為平穩(wěn)值的路徑而傳播。（等光程條件） 成為傳輸模式的另一個條件是需滿足費馬原理，即每根光線的光程相等。 因此任何方向入射的子午光線在一個周期內的平均軸向速度相等，有固定的時間和空間周期。,可以證明： 子午光線滿足等光程條件，能成為穩(wěn)定的傳輸模。 斜射線光纖形成螺旋形軌

12、跡，也近似滿足等光程條件。,自聚焦光纖的焦點與焦距,由軌跡方程計算焦點位置 s 和焦距 f ； 焦距隨光纖特征常數(shù)和長度 z 變化。,自聚焦光纖棒的應用,OM 為物，O M 為像；考慮兩條光線 a 與 b；在光纖之外，沿直線傳播，在光纖內按正弦曲線軌跡傳播。 根據(jù)正弦軌跡可以算出像距、像高；得到它們和物距、物高以及光纖長的關系，與幾何光學成像公式相似。 用于顯微物鏡、內窺鏡、復印機、高速攝影系統(tǒng)、準直系統(tǒng),自聚焦光纖棒的應用,OM 為物，O M 為像；考慮兩條光線 a 與 b；在光纖之外，沿直線傳播，在光纖內按正弦曲線軌跡傳播。 根據(jù)正弦軌跡可以算出像距、像高；得到它們和物距、物高以及光纖長的

13、關系，與幾何光學成像公式相似。 用于顯微物鏡、內窺鏡、復印機、高速攝影系統(tǒng)、準直系統(tǒng),倒立實像,正立實像,有實像、虛像；放大像、縮小像；正立像、倒立像之分,中心點光源入射，光纖長度取1/4周期，則輸出為平行光，若用兩個1/4周期的光纖棒，則為平行光耦合，且為1:1傳輸。,優(yōu)點： 中間插入波片、偏振片、濾波片。 端面是平面，可和其他光纖或光學元件直接膠合，結構緊湊，穩(wěn)定，用于微光學。,光隔離器,由法拉第旋光器控制偏振方向，實現(xiàn)光開關。,光耦合器,由光纖與微移動反射棱鏡組成轉換開關； 利用準直光束特點，移動元件不需要高定位精度。,1,波分復用器,3.3.5 導波模與特征方程,空間傳播光（free

14、space wave）和導波光（guided wave ）； 導波光是一種特定的電磁場分布，其傳輸必須滿足一定條件，稱這種特定的電磁場分布為“?！薄?如圖所示，在滿足全反射條件下，在A點入射光線的波面與反射光線的波面干涉形成駐波SA，同樣再B點光線與反射光線的波面干涉形成駐波SB; 反射駐波在波導內各處都存在，但只有當SA與SB成為一個統(tǒng)一的駐波，且能擴展到整個波導，電磁場才能穩(wěn)定地傳播，否則就會因干涉相消而消失。 為了滿足穩(wěn)定傳播條件，對 波長、折射率、入射角、波 導的幾何尺寸都有要求。,3.3.5 導波模與特征方程,導波光的傳輸： 光線在A點和B點全反射，并產(chǎn)生相位差，考慮兩次反射后的相位

15、變化： AA波面表示光線在A點反射后的相位； BB波面表示光線在AB反射后的相位； 如果AA波面與BB波面的相位相差2的整數(shù)倍，則反復反射形成的波面不會互相干涉而抵消。,確定滿足AA波面與BB波面相位相差2整數(shù)倍的條件：,光線從A點到B點的距離為L，相位變化量為： 設 分別是A點和B點全反射產(chǎn)生的相位變化，則光線在經(jīng)過兩次全反射后的相位變化需要滿足下式： 波導內有以下幾何關系：,傳播角與波導的折射率n1, n2、芯層半寬a、光源波長的關系必須滿足上式，才能維持等相位面存在。 光波在光纖中必須滿足邊界條件：只有每次到達邊界時保持相同相位的光波才能存在。 方程（ 3.17）稱為特征方程，滿足特征方

16、程的傳播角稱為特征值，一個特征值（傳播角）對應一種傳播模式。 每種傳播模式被離散化。,（i = TE 或 TM）,以TE波的相位變化為例：,（N = 0,1,2,-）,（ 3.17）,為什么在光纖中沒有連續(xù)模式光波，只有離散模式光波？,模式的傳播常數(shù),導波光的電磁場分布可以表示為： 其中 稱為傳播常數(shù)，表示為： 橫向傳播常數(shù) kx,模式數(shù)量,光線的傳播角從零到臨界角，傳播角越小模式級別越低，沿中心軸傳播的模式為零級，臨界傳播角模式最高； 模式數(shù)量與光纖直徑和數(shù)值孔徑成正比，和波長成反比； 單模光纖直徑4m 10 m，多模光纖直徑50 m ； 用特征波導參數(shù)定量表示模式數(shù)量（截止頻率、歸一化頻率

17、、V參數(shù)）：,例：漸變折射率光纖纖芯直徑 d = 62.5m，數(shù)值孔徑NA= 0.275，工作波長=1300nm，計算模式數(shù)量： V= (dNA)/ =( 3.1462.510-60.275 ) m /1300 10-9m =41.5 光纖中的模式數(shù)量：,階躍折射率光纖模式數(shù)量：,漸變折射率光纖模式數(shù)量：,減少模式數(shù)量的途徑： 減小纖芯直徑：多模光纖直徑50 m 100 m ，單模光纖直徑4m 10 m ； 控制相對折射率：多模光纖 = 0.01 - 0.03，單模光纖 = 0.002 - 0.01,模式的種類,導波模：被約束在纖芯或芯層內的模。 輻射模：傳播角大于臨界角而向包層輻射的模。 衰

18、減輻射模：全反射倏逝波產(chǎn)生的模。,特征模與色散曲線,特征方程中有4個參數(shù)（n1,n2,a,），改變任何一個結構參數(shù)都要對方程重新求解，不利于應用。為此作歸一化處理。 傳播常數(shù)范圍： 歸一化傳播常數(shù)： 波導參數(shù)V：,（ 3.17）,（ 3.18）,（ 3.19）,用b和V 表示的特征方程：,（N = 0,1,2,-）,（ 3.20）,色散曲線： 波導參數(shù)一旦確定，對應模的數(shù)量就確定； N=0模的傳播常數(shù)最大，隨著N的增大，傳播常數(shù)減??； 特征方程表示的是TE波（ S波），習慣用模的階數(shù)作為偏振光的下標，如TE0模，如TE1模等。,當給定V值后，波導中可能存在的導波模數(shù)量就確定了； b=0稱為截止，從圖中可見，TE1模的截止V值等于/2，如果V值小于/2，則只有一個模，稱其為單模區(qū)； 階躍折射率光纖的單模條件為： V值大于TE1模的截止V值，稱其為多模區(qū)； TM波的導波參