穩(wěn)定性與李雅普諾夫.ppt

1、第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法,2020年9月10日,4.穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義 4.2 李雅普諾夫第一法 4.3 李雅普諾夫第二法 4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,穩(wěn)定性的幾個(gè)問(wèn)題,什么是系統(tǒng)的穩(wěn)定性？ 為什么要研究穩(wěn)定性？ 經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的判別方法？ 對(duì)于狀態(tài)空間表達(dá)式如何判斷穩(wěn)定性？,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為 x為n維狀態(tài)矢量；f為與x同維的矢量函數(shù)，并且是x與時(shí)間t的函數(shù)，一般為時(shí)變的非線性函數(shù)，如果不顯函t，則為定常非線性系統(tǒng)。 若存在

2、狀態(tài)矢量xe，對(duì)所有時(shí)間t都能使f (xe,t) 0 ，稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 平衡狀態(tài)需要滿足Axe 0 當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的平衡狀態(tài)xe0； 當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。 非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 可以有一個(gè)或者多個(gè),平衡狀態(tài),穩(wěn)定性的基本概念,穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身固有的，與輸入無(wú)關(guān)。,穩(wěn)定性的幾個(gè)定義,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 漸進(jìn)穩(wěn)定 大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定 不穩(wěn)定,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性,說(shuō)明： S() -定義一個(gè)以平衡狀態(tài)為中心半徑為的鄰域，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持在該鄰域內(nèi)； S( ) -定義一個(gè)以平衡狀態(tài)為中心半徑為的鄰域，為了滿足系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

3、狀態(tài)保持在S() 內(nèi)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)應(yīng)該在S( ) 內(nèi)。,漸進(jìn)穩(wěn)定,大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定,不穩(wěn)定,穩(wěn)定 漸進(jìn)穩(wěn)定 不穩(wěn)定,分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性,表面有摩擦,李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法,第一法（間接法）：先求解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第二法（直接法）：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。適用與任何復(fù)雜系統(tǒng),4.2 李雅普諾夫第一法（間接法）,線性定常系統(tǒng),提問(wèn)：有沒(méi)有可能出現(xiàn)狀態(tài)不穩(wěn)定而輸出穩(wěn)定的情況？有沒(méi)有可能出現(xiàn)輸出不穩(wěn)定而狀態(tài)穩(wěn)定的情況？,非線性系統(tǒng),xe為平衡狀態(tài)，f(x,t)為與x同維的矢量函數(shù)，且對(duì)x具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。,將非線性矢量函數(shù)f(x

4、,t)在xe鄰域內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),其中R(x)為級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的髙階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,若令 則可以得到系統(tǒng)的線性化方程,在線性近似的基礎(chǔ)上，用線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別定理。,舉例：用李雅普諾夫第一法判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性,第一步：令,求得系統(tǒng)的平衡狀態(tài),第二步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x1e附近線性化,求近似線性系統(tǒng)的特征根：1，+1， 所以系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x1e不穩(wěn)定,第三步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x2e附近線性化,求近似線性系統(tǒng)的特征根：j，+j，實(shí)部為0；所以系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x2e的穩(wěn)定性用線性化方程無(wú)法判斷。,課堂練習(xí)：用李雅普諾夫第一法判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性,第一步：令,求得系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài),第二步：將系統(tǒng)在平衡狀態(tài)

5、附近線性化,第三步：求近似線性系統(tǒng)的特征根：1，2 所以系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。,4.3 李雅普諾夫第二法（直接法）,基本思路： 一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，當(dāng)能量最小時(shí)，達(dá)到平衡狀態(tài)，那么這個(gè)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，存儲(chǔ)能量的能量越來(lái)越大，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。,李雅普諾夫函數(shù)： 一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x) 虛擬的廣義能量函數(shù) 根據(jù)dV(x)/dt的符號(hào)（能量的變換規(guī)律）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，,4.3.1預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì),設(shè)V(x)為n維矢量x所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在x=0處，恒有V(x)=0。對(duì)于所有在域 中的任

6、何非零矢量x，如果： 1）V(x) 0，則稱V(x)為正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) 0，則稱V(x)為半正定（或非負(fù)定）。例如V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) 0，則稱V(x)為負(fù)定。例如V(x)=(x12 +2x22)； 4）V(x) 0，則稱V(x)為半負(fù)定（或非正定）。例如 V(x)= -(x1 +x2)2； 5）V(x) 0或者V(x) 0，則稱V(x)為不定的。例如V(x)=x1 +x2；,2二次型標(biāo)量函數(shù),設(shè)x1，x2， ，xn為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為,如果pij=pji，則稱P為實(shí)對(duì)稱陣。,對(duì)于二次型函數(shù)， 若P為實(shí)對(duì)稱陣，則必存在正交

7、矩陣T，通過(guò)變換,，使之化成,上式，為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型。它只包含變量的平方項(xiàng)，其中為對(duì)稱陣P的互異特征值，且均為實(shí)數(shù)。,二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型,二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形正定的充要條件式對(duì)稱陣P的所有特征值,均大于零。,矩陣P的符號(hào)性質(zhì),設(shè)P為nn的實(shí)對(duì)稱陣，V(x)=xTPx為由P所決定的二次型函數(shù)。 1）若V(x)正定，則P正定，記做P 0； 2）若V(x)負(fù)定，則P負(fù)定，記做P 0； 3）若V(x)半正定（非負(fù)定），則P半正定（非負(fù)定），記做P 0； 4）若V(x)半負(fù)定（非正定），則P半負(fù)定（非正定），記做P 0； 矩陣P的符號(hào)性質(zhì)與它所定義的二次型函數(shù)V(x)的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此判斷V(x

8、)的符號(hào)只要判斷P的符號(hào)即可（希爾維斯特判據(jù)，Sylvester）。,3希爾維斯特判據(jù),4.3.2 穩(wěn)定性判據(jù),李雅普諾夫第二法根據(jù) 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,4.3.3 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論,4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定判據(jù),證明,必要性證明,設(shè)對(duì)稱矩陣 令 顯然,李氏第一法,如何判斷？,P.61 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)五：微分,根據(jù),，則,因此,充分性證明：,因?yàn)锳的特征根有可能是復(fù)數(shù)，不妨在復(fù)數(shù)域上討論，在Cn中定義新的內(nèi)積,為A的對(duì)應(yīng),的特征向量，即,則,又存在,由于,，所以,即,。證畢。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù),線性定常連續(xù)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x

9、e = 0全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件：對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，若存在正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程： 則可取為 ，為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。,欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求 必須為負(fù)定,則，要求,為正定的。,判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng),（1）判別過(guò)程,判據(jù)應(yīng)用注意事項(xiàng),（2）Q的選取：盡量簡(jiǎn)單，常取Q=I； （3）若 沿任一軌跡不恒等于零，那么Q可取半正定。 （4）上述判據(jù)所確定的條件與矩陣A的特征值具有負(fù)實(shí)部的條件等價(jià)，因而判據(jù)是 充要條件。,李雅普諾夫方法判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例（1）,已知系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。,解,設(shè),，Q=I,帶入李雅普諾夫方程,將上式展開(kāi)，對(duì)應(yīng)元

10、素相等，解得,根據(jù)希爾維斯特判據(jù),P是正定的，因而系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。,李雅普諾夫方法判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例（2）,已知系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試確定系統(tǒng)增益K的穩(wěn)定范圍。,解 因detA0，故原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,為了說(shuō)明Q選取的正確，需要證明 沿任意軌跡應(yīng)不恒等于零。,顯然 的條件是 ，此時(shí) ， ，這表明只有在平衡狀態(tài) ，才能保證 ，而 沿任一軌線不會(huì)恒等于零。,取半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q為,求解李雅普諾夫方程,解得,為使P為正定矩陣的充要條件是： 12 2K 0 和K 0 即0 K 6,綜合上述，當(dāng)0 K 6系統(tǒng)在平衡狀態(tài)原點(diǎn)大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。,4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的

11、應(yīng)用,4.5.1 雅可比（Jacobian）矩陣法克拉索夫斯基（Krasovski）法,設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中，x為n維狀態(tài)矢量；f為與x同維的非線性矢量函數(shù)。 假設(shè)原點(diǎn)xe=0是平衡狀態(tài)，f(x)對(duì) 可微，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：,第一法如何判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性？,則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于任意正定實(shí)對(duì)稱陣P，使下列矩陣,為正定的；并且,是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。,如果當(dāng) 時(shí)，還有 ，則系統(tǒng)在xe=0是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。,證明：選取二次型函數(shù),為李雅普諾夫函數(shù)，其中P為對(duì)稱正定矩陣，因而 正定。,考慮到 是x的顯函數(shù)，不是時(shí)間t的顯函數(shù)，因而有下列關(guān)系,將 沿狀態(tài)軌跡對(duì)t求

12、全導(dǎo)，可得,上式表明，要使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定， 必須是負(fù)定的，因此 必須是正定的。,若 時(shí)， ，則系統(tǒng)在原點(diǎn)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。,推論 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ，若矩陣A非奇異，且矩陣（ATA）為負(fù)定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。,李雅普諾夫方法判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性示例,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，用克拉索夫斯基法分析xe=0出的穩(wěn)定性。,解：計(jì)算雅可比矩陣,取P = I，得 根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有 表明對(duì)于x 0，Q(x)是正定的。平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的 。,此外，當(dāng) 時(shí)， 因此，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。,1) 取 Q = I,2) 令對(duì)稱矩陣,3)將Q、P帶入李雅普諾夫方程,4) 解得,P的特征值為1.12, 10.55, 75.33 P正定,課堂練習(xí)：第二法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）,1) 取Q=I,2) 令對(duì)稱矩陣,3)將Q、P帶入李雅普諾夫方程,4) 解得 a=1.5 b=1 c=0.5,5）判斷P是否正定？,課堂練習(xí)：第二法判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）,a）特征值 b）各階順序主子式,特征方程？,1) 取Q=I,2) 令對(duì)稱矩陣,3)將Q、P帶入李雅普諾夫方程,4) 解