奇偶性與單調(diào)性及典型例題

1、最新 料推薦奇偶性與單調(diào)性及典型例題函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場(chǎng)( )設(shè) a0,f(x)= 是 r 上的偶函數(shù)， (1)求 a 的值； (2)證明：f(x) 在(0，+ )上是增函數(shù) .案例探究例 1已知函數(shù)f(x) 在 ( 1，1)上有定義， f()= 1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1 時(shí) f(x)0, 且對(duì)任意x、 y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x) 為奇函數(shù)； (2)f(x) 在 ( 1， 1)上單調(diào)遞減 .命題意圖：本題主要考查函

2、數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬題目.知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果 賦值 不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得 .技巧與方法：對(duì)于(1)，獲得f(0) 的值進(jìn)而取x= y 是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2) ，判定的范圍是焦點(diǎn) .證明： (1)由 f(x)+f(y)=f(), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= x,得 f(x)+f( x)=f()=f(0)=0. f(x)= f( x). f(x) 為奇函數(shù) .(2) 先證 f(x) 在(0， 1)上單調(diào)遞減 .令 0x1x21, 則 f(x2) f(x1

3、)=f(x2) f( x1)=f() 0x1x20,1 x1x20 ， 0,又 (x2 x1) (1 x2x1)=(x2 1)(x1+1)0 x2x11 x2x1, 01,由題意知 f()0 ，即 f(x2)f(x1). f(x) 在 (0， 1)上為減函數(shù)，又f(x) 為奇函數(shù)且f(0)=0. f(x) 在 (1， 1)上為減函數(shù) .例2 設(shè)函數(shù)f(x) 是定義在r 上的偶函數(shù)，并在區(qū)間( ,0) 內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a2 2a+1).求 a 的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=() 的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖： 本題主要考查函數(shù)奇偶性、 單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的

4、判定方法 .本題屬于級(jí)題目 .知識(shí)依托：逆向認(rèn)識(shí)奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.錯(cuò)解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識(shí)不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法： 本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考與認(rèn)識(shí)，通過本題會(huì)解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè) 0x1x2, 則 x2 x10 ， f(x) 在區(qū)間 ( ,0)內(nèi)單調(diào)遞增， f( x2)f( x1), f(x) 為偶函數(shù)，f( x2)=f(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)f(x1). f(x) 在 (0， +) 內(nèi)單調(diào)遞減 .由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3.又

5、a23a+1=(a )2 .函數(shù) y=() 的單調(diào)減區(qū)間是，+結(jié)合 0a3,得函數(shù) y=() 的單調(diào)遞減區(qū)間為，3).1最新 料推薦錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1) 判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對(duì)所列的 磁場(chǎng) 及 訓(xùn)練 認(rèn)真體會(huì)，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 .復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).(2) 加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一 .正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性

6、的應(yīng)用 .殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()a.f(x)=(x 1)b.f(x)=c.f(x)=d.f(x)=2.( )函數(shù) f(x)= 的圖象 ()a. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱b. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱c.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱d. 關(guān)于直線x=1 對(duì)稱二、填空題3.( )函數(shù) f(x) 在 r 上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|) 的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_.4.()若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x11).(1) 證明：函數(shù) f(x) 在 ( 1， + )上為增函數(shù) .(2) 用反證法證明方程 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 .6.( )求證函數(shù)

7、f(x)= 在區(qū)間 (1， + )上是減函數(shù) .7.( )設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足：(i)f(x1 x2)= ；(ii) 存在正常數(shù) a 使 f(a)=1. 求證：(1)f(x) 是奇函數(shù) .(2)f(x) 是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a.8.( )已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)閞，且對(duì)m、n r, 恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且f( )=0, 當(dāng) x時(shí)， f(x)0.(1) 求證： f(x) 是單調(diào)遞增函數(shù)；(2) 試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1) 解：依題意，對(duì)一切x r,有 f(x)=f( x),即+aex.整理，得 (a

8、 )(ex )=0.因此，有a =0, 即 a2=1,又 a0,a=1(2) 證法一：設(shè)0 x1 x2,則 f(x1) f(x2)=由 x10,x20,x2x1, 0,1 e 0,2最新 料推薦 f(x1) f(x2) 0,即 f(x1) f(x2) f(x) 在 (0,+ )上是增函數(shù)證法二：由 f(x)=ex+e x，得 f (x)=ex e x=ex(e2x 1).當(dāng) x (0,+ )時(shí)，e x0,e2x 10.此時(shí) f (x)0, 所以 f(x) 在 0， +)上是增函數(shù) .殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析： f( x)= = f(x) ，故 f(x) 為奇函數(shù) .答案： c2.解析： f(

9、 x)= f(x),f(x) 是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.答案： c二、3.解析：令 t=|x+1|, 則 t 在 ( , 1 上遞減， 又 y=f(x) 在 r 上單調(diào)遞增， y=f(|x+1|)在 ( , 1 上遞減 . 答案： ( , 14. 解 析 ： f(0)=f(x1)=f(x2)=0, f(0)=d=0.f(x)=ax(x x1)(x x2)=ax3 a(x1+x2)x2+ax1x2x ， b=a(x1+x2), 又 f(x) 在 x2,+ 單調(diào)遞增，故a0.又知 0 x1 x,得 x1+x20, b=a(x1+x2) 0.答案： ( ,0）三、 5.證明： (1）設(shè) 1 x1

10、x2 + ,則 x2 x10, 1 且0, 0,又 x1+10,x2+10 0,于是 f(x2) f(x1)=+ 0 f(x) 在 (1， +）上為遞增函數(shù).(2）證法一： 設(shè)存在 x0 0(x0 1)滿足 f(x0)=0, 則且由 0 1 得 0 1,即 x0 2與 x0 0 矛盾，故 f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 .證法二：設(shè)存在x0 0(x0 1)使 f(x0)=0, 若 1x0 0,則 2,1, f(x0) 1 與f(x0)=0 矛盾，若x0 1,則 0, 0， f(x0)0 與 f(x0)=0 矛盾，故方程f(x)=0 沒有負(fù)數(shù)根 .6.證明： x 0, f(x)=,設(shè) 1x1 x2+

11、,則 . f(x1)f(x2),故函數(shù) f(x) 在 (1， +）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）7.證明： (1）不妨令x=x1 x2,則 f( x)=f(x2 x1)=f(x1 x2)= f(x). f(x) 是奇函數(shù) .(2）要證 f(x+4a)=f(x), 可先計(jì)算f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=f x ( a) =. f(x+4a)=f (x+2a)+2a =f(x), 故 f(x) 是以 4a 為周期的周期函數(shù).8.(1）證明：設(shè)x1 x2,則 x2 x1 ,由題意 f(x2 x1 )0, f(x2) f(x1)=f (x2 x1)+x1 f(x1)=f(x2

12、x1)+f(x1) 1 f(x1)=f(x2 x1) 1=f(x2 x1)+f( ) 1=f (x2 x1) 0, f(x) 是單調(diào)遞增函數(shù) .(2) 解： f(x)=2x+1. 驗(yàn)證過程略 .難點(diǎn) 8奇偶性與單調(diào)性(二 )函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.3最新 料推薦本節(jié)主要幫助考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí).難點(diǎn)磁場(chǎng)( )已知偶函數(shù)f(x) 在 (0，+ )上為增函數(shù)，且 f(2)=0, 解不等式 f log2(x2+5x+4) 0.案例探究例 1已知奇函數(shù)f(x) 是定義在 ( 3，3)上的減函數(shù)， 且滿足不等式f(x

13、3)+f(x2 3)0,設(shè)不等式解集為a， b=a x|1 x, 求函數(shù) g(x)= 3x2+3x 4(x b)的最大值 .命題意圖： 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目， 考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，屬級(jí)題目 .知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.錯(cuò)解分析：題目不等式中的 f 號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域 .技巧與方法：借助奇偶性脫去 f 號(hào)，轉(zhuǎn)化為 xcos 不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值 .解：由且 x 0,故 0x,又 f(x) 是奇函數(shù)，f(x 3)3 x2, 即 x2+x 60,解得 x2 或 x 3,綜上得

14、2x, 即 a=x|2x, b=a x|1 x=x|1 xf(0) 對(duì)所有 0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù) m 的范圍，若不存在，說明理由 .命題意圖： 本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，屬題目.知識(shí)依托： 主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性， 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 .錯(cuò)解分析： 考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法 .技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.解： f(x) 是 r 上的奇函數(shù)，且在 0，+ )上是增函數(shù)， f(x) 是 r 上的增

15、函數(shù) .于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為 f(cos2 3)f(2mcos 4m),即 cos2 32mcos 4m,即 cos2 mcos +2m20.設(shè) t=cos ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m 2=(t )2 +2m 2 在 0， 1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在 0，1上的最小值為正.當(dāng) 0,即 m0m1 與 m0 4 2m4+2, 421,即 m2 時(shí)， g(1)=m 10m1. m2綜上，符合題目要求的m 的值存在，其取值范圍是m4 2.錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1) 運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕

16、馭知識(shí)的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2) 應(yīng)用問題 .在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)4最新 料推薦轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、 抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡(jiǎn)單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )設(shè) f(x) 是 ( ,+ )上的奇函數(shù)， f(x+2)= f(x), 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f(x)=x, 則 f(7.5)等于 ()a.0.5b. 0.5c.1.5d. 1.52.( )已知定義域?yàn)?( 1， 1)的奇函數(shù) y=f(x) 又是減函數(shù)，且f(a 3)+f(9 a2)

17、0,則 a 的取值范圍是 ()a.(2 ， 3)b.(3 ， )c.(2 ，4)d.( 2， 3)二、填空題3.( )若 f(x) 為奇函數(shù)，且在 (0， + )內(nèi)是增函數(shù)，又f( 3)=0,則 xf(x)lg.7.( )定義在 ( ,4上的減函數(shù)f(x) 滿足 f(m sinx) f( +cos2x)對(duì)任意xr都成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .8.( )已知函數(shù)y=f(x)=(a,b,c r,a0,b0) 是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)， f(x) 有最小值2，其中 b n 且 f(1) 1. f( )f( )f( 1), f() f() f(1).答案： f() f() f(1)三、 5.解：函數(shù)f(

18、x) 在 ( ,0）上是增函數(shù)，設(shè)x1 x20,因?yàn)?f(x) 是偶函數(shù)，所以f( x1)=f(x1),f( x2)=f(x2), 由假設(shè)可知 x1 x20, 又已知 f(x) 在 (0，+ )上是減函數(shù)， 于是有 f( x1) f( x2), 即 f(x1) f(x2), 由此可知，函數(shù) f(x) 在 ( ,0)上是增函數(shù) .6.解： (1）a=1.(2)f(x)= (x r)f -1(x)=log2 ( 1x 1.(3)由 log2log2log2(1 x) log2k, 當(dāng) 0 k2 時(shí)，不等式解集為x|1 kx 1;當(dāng) k2 時(shí)，不等式解集為x| 1 x 1.7.解：，對(duì) x r 恒成

19、立 ,m ,3 .8.解： (1) f(x) 是奇函數(shù)，f( x)= f(x), 即 c=0,a0,b0,x0, f(x)= 2，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)等號(hào)成立，于是2=2, a=b2,由 f(1) 得即 , 2b2 5b+2 0,解得 b 2，又 b n, b=1, a=1, f(x)=x+.(2) 設(shè)存在一點(diǎn) (x0,y0) 在 y=f(x) 的圖象上，并且關(guān)于 (1，0）的對(duì)稱點(diǎn) (2x0, y0) 也在 y=f(x)圖象上，則消去 y0 得 x02 2x0 1=0,x0=1 .y=f(x) 圖象上存在兩點(diǎn)(1+,2),(1 , 2)關(guān)于 (1， 0)對(duì)稱 .函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和

20、熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí).難點(diǎn)磁場(chǎng)( )已知偶函數(shù)f(x) 在 (0， + )上為增函數(shù)，且f(2)=0, 解不等式f log2(x2+5x+4) 0.案例探究例 1已知奇函數(shù) f(x) 是定義在 ( 3， 3)上的減函數(shù)，且滿足不等式 f(x 3)+f(x2 3)0, 設(shè)不等式解集為 a， b=a x|1 x , 求函數(shù) g(x)= 3x2+3x 4(x b)的最大值 .命題意圖： 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目， 考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，屬級(jí)題目 .知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題

21、.錯(cuò)解分析：題目不等式中的“ f ”號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域 .6最新 料推薦技巧與方法：借助奇偶性脫去“ f ”號(hào)，轉(zhuǎn)化為 xcos 不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值 .解：由且 x 0,故 0x ,又 f(x) 是奇函數(shù)， f(x 3)3 x2, 即 x2+x 60, 解得 x2 或 x 3,綜上得 2x , 即 a=x|2x , b=a x|1 x =x|1 xf(0) 對(duì)所有 0, 都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m 的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖： 本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)

22、算能力，屬題目.知識(shí)依托： 主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.錯(cuò)解分析： 考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.解： f(x) 是 r 上的奇函數(shù)，且在 0，+)上是增函數(shù)， f(x) 是 r 上的增函數(shù) .于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為 f(cos2 3)f(2mcos 4m),即 cos2 32mcos 4m,即 cos2 mcos +2m 20.設(shè) t=cos,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t) =t2 mt+2m 2=(t )2 +2m

23、 2 在 0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在 0， 1上的最小值為正 . 當(dāng) 0, 即 m0 m1 與 m04 2 m4+2 , 4 2 1, 即 m2 時(shí)， g(1)=m 10 m1. m2綜上，符合題目要求的m 的值存在，其取值范圍是m4 2 .錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1) 運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識(shí)的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2) 應(yīng)用問題 .在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡(jiǎn)單的式子去解

24、決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )設(shè) f(x) 是 ( ,+ )上的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x), 當(dāng) 0 x1 時(shí)， f(x)=x, 則 f(7.5)等于 ()a.0.5b. 0.5c.1.5d. 1.52.( )已知定義域?yàn)?( 1， 1)的奇函數(shù) y=f(x) 又是減函數(shù)，且f(a3)+f(9 a2)0, 則a 的取值范圍是 ()a.(2， 3)b.(3 ， )c.(2 ， 4)d.( 2， 3)二、填空題7最新 料推薦3.( )若 f(x) 為奇函數(shù)，且在(0， +)內(nèi)是增函數(shù)，又f( 3)=0,則 xf(x)lg .7.( )