應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程第3章--隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換2016

1、,主講教師：何松華 教授 聯(lián)系電話(huà)：(0731）82687718電子信箱：,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程(通信專(zhuān)業(yè)) Applied Statistics and Random Process,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,3. 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換(6學(xué)時(shí)),3.1,線(xiàn)性變換的基本概念與定理,3.2,隨機(jī)過(guò)程的微分與積分,3.3,隨機(jī)微分方程,3.4,連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)連續(xù)線(xiàn)性系統(tǒng),3.5,離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)離散線(xiàn)性系統(tǒng),線(xiàn)性變換的基本概念與定理,3.1,1.問(wèn)題的提出 (1)在信號(hào)與系統(tǒng)課程中學(xué)習(xí)了確定信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后的特性(確定性規(guī)律)

2、； (2)在本課程的本章中，將學(xué)習(xí)隨機(jī)信號(hào)(隨機(jī)過(guò)程)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后的特性(統(tǒng)計(jì)特性)； (3)系統(tǒng)分析方法包括時(shí)域分析方法以及頻域分析方法，將分別從時(shí)域及頻域兩個(gè)角度分析隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換特性； (4)系統(tǒng)包括離散時(shí)間系統(tǒng)及連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，將分別學(xué)習(xí)連續(xù)/離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)離散變換特性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,2.函數(shù)(信號(hào))的線(xiàn)性變換的基本概念,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，L為信號(hào)的一種變換(或運(yùn)算)；對(duì)X(t)的任意樣本函數(shù)x(t)，得到變換結(jié)果Lx(t);顯然，對(duì)于不同的觀(guān)測(cè)試驗(yàn)，X(t)的樣本

3、函數(shù)是不同的、隨機(jī)的，則得到的變換結(jié)果也是不同的、隨機(jī)的；以X(t)的樣本函數(shù)的L變換作為樣本函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程Y(t)定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的L變換，記為,設(shè)x1(t),x2(t)為隨機(jī)過(guò)程X1(t),X2(t)的任意樣本函數(shù)X1(t),X2(t)可以是同一隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)于任意的系數(shù)A1,A2(可以是隨機(jī)變量),滿(mǎn)足,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,則稱(chēng)L為隨機(jī)信號(hào)的線(xiàn)性變換，記為,更進(jìn)一步，如果對(duì)于X(t)的任意樣本函數(shù)x(t)，令,如果對(duì)任意的，滿(mǎn)足：,則稱(chēng)L為隨機(jī)信號(hào)的線(xiàn)性時(shí)不變變換，記為,常見(jiàn)的變換：函數(shù)的微分、函數(shù)的無(wú)窮積分、函數(shù)的差分都滿(mǎn)足上述特性,3.

4、線(xiàn)性變換的基本定理,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,定理1：如果,證：設(shè)x1(t),x2(t),xn(t)為X(t)的任意樣本函數(shù)，記yi(t)=Lxi(t),則yi(t)為Y(t)的樣本函數(shù);根據(jù)線(xiàn)性變換的定義得到,L為線(xiàn)性變換，則,不一定要時(shí)不變,數(shù)學(xué)期望與線(xiàn)性變換可交換順序,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,定理2：如果,式中，,證：根據(jù)線(xiàn)性變換定義，對(duì)于任意的隨機(jī)系數(shù)X(t1),有,L為線(xiàn)性變換，則,分辨表示對(duì)以t2,t1為自變量的函數(shù)進(jìn)行變換,定理1,令t=t2,并記,得到,先以t為變量進(jìn)行變換，再取t=t2,怎么記?,湖南大學(xué)教

5、學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,同理，對(duì)于任意的隨機(jī)系數(shù)Y(t2),有,乘法交換律,令t=t1,并記,得到,定理1,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,練習(xí)：注意區(qū)別并推導(dǎo),與定理2區(qū)分：,同理可以推導(dǎo)得到(練習(xí))：,怎么記?,4.線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的平穩(wěn)性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,證:如果L是線(xiàn)性時(shí)不變變換，X(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，EX(t)為常數(shù)，則EY(t)=LEX(t)也為常數(shù)；對(duì)任意的時(shí)間平移量t，令,(1)定理:若L為線(xiàn)性時(shí)不變變換，X(t)是廣義平穩(wěn)的， 則Y(t)=LX(t)也是廣義平穩(wěn)的,則,X(t

6、)平穩(wěn),時(shí)不變,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(2)(擴(kuò)展,自學(xué))如果L是線(xiàn)性時(shí)不變變換，X(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則Y(t)=LX(t)也是嚴(yán)格平穩(wěn)的,證明提要(練習(xí))：對(duì)于線(xiàn)性變換L，容易得到,根據(jù)線(xiàn)性變換的定義,根據(jù)線(xiàn)性變換定理1,如果L是時(shí)不變的，定義,令,相關(guān)函數(shù)只與時(shí)刻差有關(guān),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,進(jìn)一步可得到：隨機(jī)過(guò)程Y(t)的任意維、任意階聯(lián)合矩與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，由于其多維特征函數(shù)可以表示為以矩為系數(shù)的泰勒展開(kāi)，則其任意維的特征函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，任意維的概率密度函數(shù)特征函數(shù)的多維傅立葉變換也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。,

7、n維的1+1+1階矩,則根據(jù)時(shí)不變定義,有,根據(jù)上述已證明的性質(zhì),有,根據(jù)X(t)的嚴(yán)格平穩(wěn)性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,根據(jù),參照前面的證明過(guò)程容易得到,參照前面的證明過(guò)程容易得到(練習(xí)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄: 線(xiàn)性時(shí)不變變換舉例，卷積變換,信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性時(shí)不變因果系統(tǒng)，輸入從-時(shí)刻開(kāi)始,(1)線(xiàn)性性質(zhì),(2)時(shí)不變性質(zhì),X(t)平穩(wěn)，則Y(t)平穩(wěn),積分變量置換：-t0,卷積的性質(zhì),變換的描述?,變換的描述?,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄: 線(xiàn)性時(shí)變變換舉例,信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性時(shí)不變

8、因果系統(tǒng)，輸入從0時(shí)刻開(kāi)始,(1)滿(mǎn)足線(xiàn)性性質(zhì),(2)不滿(mǎn)足時(shí)不變性質(zhì),X(t)平穩(wěn)，則Y(t)非平穩(wěn)，但漸近平穩(wěn)(見(jiàn)3.4),變換的描述?,隨機(jī)過(guò)程的微分與積分,3.2,1.問(wèn)題的提出 (1)微分與積分運(yùn)算是線(xiàn)性變換中的基本運(yùn)算； (2)對(duì)于確定信號(hào)的微分與積分運(yùn)算，已有很多的方法，這些方法不一定全部適用于隨機(jī)信號(hào)的微分與積分； (3)隨機(jī)信號(hào)的微分與積分特性需要按照隨機(jī)過(guò)程的特殊性進(jìn)行重新的定義與推導(dǎo)； (4)在微積分的定義中，牽涉到連續(xù)性(可微)以及t0的極限問(wèn)題，在定義隨機(jī)信號(hào)的微積分之前，必須先定義隨機(jī)過(guò)程的極限及連續(xù)性。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,

9、2.隨機(jī)過(guò)程的極限,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(1)離散時(shí)間隨機(jī)變量的極限 設(shè)X1,X2,Xn為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，都存在二階矩(不是無(wú)窮大)，如果,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列Xn依均方收斂于隨機(jī)變量X，X為該序列的均方極限。記做,根據(jù)概率論中的切比雪夫不等式：對(duì)于任意小的正數(shù)，滿(mǎn)足,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,則,時(shí)，必有,概率,即依均方收斂必然依概率收斂(反之不然)；因此隨機(jī)過(guò)程關(guān)于收斂的定義一般采用依均方收斂。,(2)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)(過(guò)程)的極限 設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，Y為某個(gè)隨機(jī)變量，如果,則稱(chēng)Y為X(t)在t0時(shí)刻的極

10、限，記做,對(duì)比確定性信號(hào)情況,為什么這么定義?,3.隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(1)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)性的定義 設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，如果,則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻依均方連續(xù)。記,(2)性質(zhì)：如果RX(t1,t2)在二維平面的t1=t2=t處連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程X(t)在t處連續(xù)。證：,根據(jù)RX(t1,t2)連續(xù)性定義,右邊趨于0,t1=t2=t處任意方向的極限存在,均為RX(t,t),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(3)性質(zhì)：(依均方)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)是連續(xù)的(普通意義上的連續(xù)),證：對(duì)于任意隨機(jī)變量Z,令,上式兩邊

11、取極限t0,得到,可以寫(xiě)成,對(duì)于依均方收斂隨機(jī)過(guò)程，極限與數(shù)學(xué)期望可交換次序，但左右兩邊極限的定義不同,根據(jù)X(t)依均方連續(xù)的定義，右邊的極限為0,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(4)性質(zhì)：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，只要RX()在=0處連續(xù)(普通連續(xù))，則該隨機(jī)過(guò)程依均方意義連續(xù)。,證：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t),根據(jù)RX()在=0處連續(xù),(5)性質(zhì)(練習(xí),根據(jù)大數(shù)定理及定義證明)：如果隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)都是連續(xù)的,則隨機(jī)過(guò)程依均方連續(xù);反之則不一定例如:第二章舉例中的隨機(jī)電報(bào)過(guò)程,任意樣本函數(shù)均不連續(xù),但過(guò)程平穩(wěn)且RX()在=0處連續(xù),與(2)性質(zhì)的區(qū)別及聯(lián)

12、系,4.隨機(jī)過(guò)程的微分,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(1)隨機(jī)過(guò)程微分的定義 設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，如果存在某個(gè)隨機(jī)過(guò)程,則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程X(t)在t處可微,且導(dǎo)數(shù)為,或,(2)性質(zhì)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可微分的條件(證明見(jiàn)附錄):如果平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)在=0處存在二階導(dǎo)數(shù) 則其導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程存在。,記為,附錄(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,在t處連續(xù)等價(jià)。根據(jù)依均方連續(xù)的定義，要求(*),由于導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程 未知,根據(jù)柯西判別準(zhǔn)則,X(t)在t處可導(dǎo)與,由于 存在，則 均存在,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變

13、換,偶函數(shù),則(*)式左邊 =,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(4)性質(zhì)(證明過(guò)程自學(xué))：非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可微分的條件(證明:略):如果非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在二維平面的直線(xiàn)t1=t2=t上存在二階偏導(dǎo)數(shù),則其導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程存在。,(5)性質(zhì)：微分變換,為典型的線(xiàn)性時(shí)不變變換,(根據(jù)樣本函數(shù)證明：練習(xí)),根據(jù)線(xiàn)性變換的基本定理1得到：,均方收斂意義下的微分運(yùn)算與求均值運(yùn)算可交換次序，并在交換后轉(zhuǎn)化為普通微分運(yùn)算,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(6)性質(zhì)：若X

14、(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若導(dǎo)數(shù)過(guò)程存在,則其必為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變算子性質(zhì))，且是零均值的。,常數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)于任意的t1,t2,令 =t1-t2,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,即原過(guò)程與導(dǎo)數(shù)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，是廣義平穩(wěn)的，且與原過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)，記,則有,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué)):,則有,偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué)):也可跳過(guò)定理2,利用定義及定理1推導(dǎo),煩瑣,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性

15、變換,根據(jù)隨機(jī)過(guò)程極限與數(shù)學(xué)期望可交換次序特性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(7)若X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則其導(dǎo)數(shù)過(guò)程與該過(guò)程在同一時(shí)刻是互不相關(guān)的,對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程是相互獨(dú)立的。,顯然，由于RX()為偶函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)于可導(dǎo)的奇函數(shù)，在=0處的值必為0；即,為奇函數(shù)，且可導(dǎo)(可微分條件)，則,(8) 平穩(wěn)導(dǎo)數(shù)過(guò)程的功率譜密度函數(shù),根據(jù)功率譜密度的定義(相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換)以及傅立葉變換的微分性質(zhì)容易得到,導(dǎo)數(shù)過(guò)程零均值,互協(xié)方差與互相關(guān)等價(jià),存在,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,若,則,GX()為正偶函數(shù)，此也為正

16、偶函數(shù),兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜,(#)兩邊對(duì)求偏導(dǎo),利用變換對(duì)特性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過(guò)程舉例,設(shè)X(t)為正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為,解：(1) 記,正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換依然為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程(第4章),(1)求其一階導(dǎo)數(shù)過(guò)程的一維概率密度分布函數(shù)、二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)；求其一階導(dǎo)數(shù)過(guò)程與二階導(dǎo)數(shù)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù);求 ,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,矢量,零均值情況下的協(xié)方差矩陣,根據(jù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義(第2章),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,前面已經(jīng)求出:,根據(jù)性質(zhì):,根據(jù)第2

17、章正態(tài)過(guò)程兩個(gè)時(shí)刻不相關(guān)與相互獨(dú)立的等價(jià)性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,矢量,零均值情況下的協(xié)方差矩陣,注:,t1=t2=t情況,正態(tài)隨機(jī)過(guò)程線(xiàn)性變換后與原過(guò)程聯(lián)合正態(tài)(第4章),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,本小節(jié)作業(yè) 3.2 3.4 3.7,5.隨機(jī)過(guò)程的定積分,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(1)隨機(jī)過(guò)程定積分的定義 設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，a,b為時(shí)間區(qū)間,將該區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間,區(qū)間寬度t=(b-a)/n,ti為第i個(gè)小區(qū)間內(nèi)的任意時(shí)刻,如果存在某個(gè)隨機(jī)變量Y,滿(mǎn)足,則稱(chēng)隨機(jī)變量Y為隨機(jī)過(guò)程X

18、(t)在區(qū)間a,b上的均方意義上的積分,記為,隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)為隨機(jī)過(guò)程,但定積分為隨機(jī)變量,根據(jù)大數(shù)定理,任意樣本函數(shù)或樣本必須滿(mǎn)足,基本 定理 1,2 的可 用性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué)):兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相等的概念 物理理解：如果隨機(jī)變量X取什么值，則隨機(jī)變量Y也取 該值 數(shù)學(xué)定義：依均方意義相等,非負(fù),非負(fù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(2)積分算子,為線(xiàn)性算子,(練習(xí):根據(jù)樣本函數(shù)特性證明),(3)隨機(jī)過(guò)程定積分的數(shù)學(xué)期望 根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換定理1,數(shù)學(xué)期望與積分可交換次序; 交換次序后轉(zhuǎn)化為普通積分

19、,(4)隨機(jī)過(guò)程定積分的方差 基本定理2在這種情況下的應(yīng)用有一定特殊性,將隨機(jī)變量Y視為隨機(jī)過(guò)程 在t=b時(shí)刻的取值Y=Z(b)；根據(jù)基本定理2得到,Z(t)=LtX(t)的描述:將以t為變量的函數(shù)轉(zhuǎn)換為以u(píng)為變量的函數(shù)在a,t上積分,u可以是任意變量,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,將積分的平方化成可分離的二維積分,也可以利用下面的定理來(lái)求解：,理解這一點(diǎn)需要有較好數(shù)學(xué)思維,根據(jù)相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,隨機(jī)過(guò)程積分的乘積性質(zhì)定理:,若,依均方意義收斂于Y1；,依均方意義收斂于Y2；,則,證(自學(xué))：對(duì)于X1(t

20、)的任意樣本函數(shù)x1(s)(t)以及X2(t)的任意樣本函數(shù)x2(s)(t);有,隨機(jī)過(guò)程的積分的乘積可轉(zhuǎn)化為二維積分,都依均方收斂于Y1Y2,即二者相等。,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,例題：已知廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為0.5、0.25e-2|+0.25,求隨機(jī)變量Y的均值、方差,此處,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,解：根據(jù)隨機(jī)過(guò)程定積分的均值、方差特性,練習(xí),根據(jù)定積分的方差,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,(2)隨機(jī)過(guò)程的積分變換 設(shè)X(t)為隨機(jī)過(guò)程，h(t)為確定性函數(shù)，a,

21、b為時(shí)間區(qū)間,將該區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間, 寬度t=(b-a)/n,ti為第i個(gè)小區(qū)間內(nèi)的任意時(shí)刻,如果存在某個(gè)隨機(jī)過(guò)程Y(t),滿(mǎn)足,則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程Y(t)為隨機(jī)過(guò)程X(t)在均方意義上的積分變換，記為,類(lèi)似于線(xiàn)性系統(tǒng)卷積，為隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析作準(zhǔn)備,根據(jù)大數(shù)定理,任意樣本函數(shù)必須滿(mǎn)足,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,容易證明，上述變換為線(xiàn)性時(shí)不變變換，Y(t)=L X(t)可以描述為：ab(將以t為變量的函數(shù)轉(zhuǎn)化為以t-為變量的隨機(jī)函數(shù))h()d,根據(jù)線(xiàn)性變換基本定理1或積分/數(shù)學(xué)期望次序可交換性，得到：,Lt1：ab(t1t1- 1為變量的函數(shù))h(1)d1

22、,Lt2：ab(t2t2-2為變量的函數(shù))h(2)d2,可以是任意變量,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,或者采用隨機(jī)過(guò)程積分的乘積性質(zhì)(參見(jiàn)前面的證明),顯然,若X(t)平穩(wěn),則Y(t)平穩(wěn),隨機(jī)微分方程,3.3,1.隨機(jī)微分方程的定義,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,設(shè)某一線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入X(t)與輸出Y(t)的關(guān)系可以用如下的微分方程表示：,其中an,an-1,a1,a0為常系數(shù),初始條件:,也可以給定其他初始條件,輸入從0時(shí)刻開(kāi)始加入,為什么不用0+時(shí)刻值作為初始條件,附錄.確定性微分方程的通解(復(fù)習(xí):高等數(shù)學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課

23、件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,對(duì)應(yīng)的特征方程為,設(shè)特征方程的n個(gè)根為z1,z2,zn;則通解(零輸入響應(yīng))為,其中系數(shù)B1,B2,Bn由初始條件 確定。,沒(méi)有重根情況,有根時(shí)參見(jiàn)高等數(shù)學(xué)教材,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,定義線(xiàn)性變換算子,舉例：,記,根據(jù)L的線(xiàn)性性質(zhì)以及初始條件限制(唯一解)容易證明：當(dāng)輸入為aX1(t)+bX2(t)時(shí),輸出為aY1(t)+bY2(t);其中 Y1(t)=L-1X1(t),Y2(t)=L-1X2(t),即L-1為線(xiàn)性變換;但同樣由于初始條件的限制, L-1并不滿(mǎn)足時(shí)不變性質(zhì),當(dāng)輸入X(t)為平穩(wěn)時(shí),Y(t)不一定

24、平穩(wěn)，但一般漸近平穩(wěn)。,對(duì)任意樣本函數(shù),L:線(xiàn)性時(shí)不變 L-1:線(xiàn)性時(shí)變,零輸入響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,輸入為x(t+)時(shí)，設(shè)輸出為z(t),顯然，當(dāng)輸入為平穩(wěn)(均值為常數(shù)mX)時(shí),輸出隨機(jī)過(guò)程的均值不為常數(shù)，非平穩(wěn),從側(cè)面說(shuō)明L-1為時(shí)變算子,初始條件不隨時(shí)間平移而平移,2.輸出隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,對(duì)隨機(jī)微分方程的兩邊求數(shù)學(xué)期望并利用dn/dt變換的線(xiàn)性性質(zhì)、基本定理1得到,由Y(t)的初始條件Y(i)(0)=0得到:,普通微分方程的求解問(wèn)題,高等數(shù)學(xué)已解決,注釋?zhuān)?基本定理1,

25、3.輸出隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)(兩次求解微分方程),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,由Y(t)的初始條件得到:,已知RX 高等數(shù)學(xué)普通微分方程的求解得到RYX,參見(jiàn)后頁(yè)注釋,根據(jù)L算子的線(xiàn)性性質(zhì)以及基本定理2,t1,t20,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,注釋?zhuān)焊鶕?jù)di/dt的線(xiàn)性性質(zhì)以及基本定理1(反過(guò)來(lái)用),由Y(t)的初始條件同樣可以得到:,已知RYX ,根據(jù)高等數(shù)學(xué)普通微分方程的求解得到RY,練習(xí)：利用EY(t1)Y(i)(0)=0,根據(jù)L算子的線(xiàn)性性質(zhì)以及基本定理2,t1,t20,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)

26、性變換,例題：設(shè)有隨機(jī)微分方程及 RX()=2+() (平穩(wěn)),解：,輸入X(t)從0時(shí)開(kāi)始,求Y(t)的均值函數(shù)及相關(guān)函數(shù),根據(jù)線(xiàn)性齊次微分方程解法(練習(xí)：復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)),將解代入方程：得到,漸近平穩(wěn)：當(dāng)t足夠大時(shí)，均值為常數(shù)/a,通解：,($)右邊在t=0處不含沖激,mY(t)在該處連續(xù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,由于RYX(t1,t2)求導(dǎo)后在t1=t2處有沖激，則相關(guān)函數(shù)在該處不連續(xù)；此外，右邊沒(méi)有沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，RYX(t1,t2)不包含沖激函數(shù);為利用初始條件(t1=0-處)，先考慮0t1t2,通解：,需要針對(duì)t1t2分別求解,微分方程兩邊在區(qū)間

27、0-t10+范圍內(nèi)積分,得到RYX(0+,t2)=0;為什么?,對(duì)于任意給定的t2,t20,關(guān)于t1的方程成立,與t1無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,原微分方程兩邊將變量t1在t2-,t2+鄰域積分，得到,代入原方程方程并利用初始條件,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,對(duì)于t1t2，運(yùn)用新的初始條件求解微分方程,代入原方程并利用t2+處的初始條件求B1,f1(t2)；得到,通解：,練習(xí),綜合得到:,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,為了利用t2=0處的初始條件,代入原方程,并利用的初始條件得到,先考察

28、t1t20,漸近平穩(wěn)性：t1,t2足夠大時(shí)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān),通解：,下面根據(jù)RYX(t1,t2)求RY(t1,t2),同樣需要分段求解?,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,本小節(jié)作業(yè) 3.10 3.12 3.13,t1t2時(shí)，考慮到,(t2t1)得到,綜合得到,連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)連續(xù)線(xiàn)性系統(tǒng),3.4,1.輸入信號(hào)起始時(shí)間為-的情況,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)為h(t)(-t);對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)h(t)=0(t0)；設(shè)輸入信號(hào)為隨機(jī)過(guò)程X(t)(-t)，輸出信號(hào)為隨機(jī)過(guò)程Y(t)，若輸入從

29、t=-開(kāi)始,根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)理論，有(參見(jiàn)附錄),等號(hào)表示均方收斂,線(xiàn)性卷積,容易證明，上述變換是X(t)的線(xiàn)性時(shí)不變變換變換的描述:以t為變量的函數(shù)變換為該函數(shù)與h(t)的卷積,附錄(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,根據(jù)線(xiàn)性變換的基本定理，得到:,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,當(dāng)輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，由于變換為時(shí)不變的，則輸入輸出聯(lián)合平穩(wěn)，輸出也是平穩(wěn)的,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué)):也可以利用相關(guān)函數(shù)定義及基本定理1推導(dǎo),湖

30、南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,在輸入X(t)平穩(wěn)情況下,有,即輸出Y(t)與X(t)的互相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，兩過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)，Y(t)的相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān),輸出平穩(wěn);記,則,連續(xù)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析方法,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,當(dāng)輸入信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程且輸入信號(hào)起始時(shí)間為-時(shí)，此時(shí)輸入輸出都平穩(wěn)，可以采用頻域分析方法。,設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(j),輸入平穩(wěn)過(guò)程的功率譜為GX(),二者的定義為,根據(jù)第2章,正偶函數(shù)，不含j,根據(jù),以及卷積的傅立葉變換性質(zhì),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)

31、性變換,可以得到(參見(jiàn)附錄),復(fù)共軛的概念,模方的概念及與平方差別,已知系統(tǒng)及輸入過(guò)程的頻域特性,求輸出過(guò)程的時(shí)域特性:,為的偶函數(shù),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué))：卷積的傅立葉變換等于傅立葉變換的乘積,積分變量置換 -ux,-uy,同理可得：,輸入與輸出的互相關(guān)、互譜及其性質(zhì),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,另有：,平穩(wěn),令t1=0,t2=- t1-t2=,因果系統(tǒng)(物理可實(shí)現(xiàn))情況(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,在前面的有關(guān)公式中，令h(t)=0(t0)；得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用

32、統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,當(dāng)輸入信號(hào)平穩(wěn)時(shí),其他頻域公式不變,2.輸入信號(hào)起始時(shí)刻為t=0且物理可實(shí)現(xiàn)情況,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,任何觀(guān)測(cè)試驗(yàn)都有確定的起始時(shí)間，定義試驗(yàn)的起始時(shí)刻為0;對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)h(t)=0(t0)；設(shè)信號(hào)X(t)從t=0開(kāi)始輸入，輸出信號(hào)為隨機(jī)過(guò)程Y(t)，則,容易證明，上述變換是X(t)的線(xiàn)性變換(變換的描述?不是標(biāo)準(zhǔn)的卷積)，但不是時(shí)不變的；根據(jù)線(xiàn)性變換的基本定理，得到,0,t-0,則積分區(qū)間為0,t,練習(xí):可以跳過(guò)定理2,利用定義及定理1得到,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,當(dāng)

33、輸入信號(hào)為平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，輸出信號(hào)是非平穩(wěn)的，但一般是漸近平穩(wěn)的。前面的3個(gè)式子變成,顯然不是常數(shù),除了與時(shí)間差有關(guān)外，還于時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)；t1,t2時(shí)，只與t1-t2有關(guān),注意t2,dv以及t1,du的內(nèi)外層積分對(duì)應(yīng)關(guān)系,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,例題1：設(shè)有隨機(jī)微分方程及 RX()=2+() (平穩(wěn)),(1)輸入X(t)從t=0加入，Y(0-)=0,運(yùn)用沖激響應(yīng)法求Y(t)的相關(guān)函數(shù)比較：應(yīng)與前節(jié)微分方程法一致及穩(wěn)態(tài)解；(2)輸入X(t)從t=-加入，分別運(yùn)用沖激響應(yīng)法及頻譜法求Y(t)的相關(guān)函數(shù)比較：應(yīng)與t=0輸入的穩(wěn)態(tài)解一致,解：先采用信號(hào)與系統(tǒng)方法求因果系

34、統(tǒng)的沖激響應(yīng),顯然，h(t)在t=0處不連續(xù)，但本身不含沖激；方程兩邊在0-,0+鄰域積分得到:h(0+)-h(0-)+a0=1;h(0+)=1,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,t0時(shí)方程變成,通解,利用,初始條件h(0+)=1得到,利用沖激函數(shù)的積分性質(zhì)(附錄),與方程右邊常數(shù)項(xiàng)不為0的比較?,與微分方程法的結(jié)果相同,積分區(qū)間內(nèi)是否存在沖激點(diǎn)的判斷,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(自學(xué)),必定存在,積分區(qū)間內(nèi)存在沖激點(diǎn),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)

35、性變換,也可以采用一次積分方法(拓展練習(xí),自學(xué)),在v的積分區(qū)間范圍內(nèi)沖激點(diǎn)存在條件為:0u+t2-t1t2,即: t1-t2ut1;顯然,當(dāng)t2t1時(shí),對(duì)0,t1范圍內(nèi)的所有u都滿(mǎn)足;而當(dāng)t2t1時(shí),則只對(duì)t1-t2,t1的u才滿(mǎn)足。,化簡(jiǎn)后得到同樣結(jié)果,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,當(dāng)t1,t2足夠大時(shí)，穩(wěn)態(tài)解為,(2)當(dāng)輸入從-開(kāi)始時(shí)，從X到Y(jié)的線(xiàn)性變換滿(mǎn)足時(shí)不變性質(zhì)，輸入平穩(wěn)時(shí)，輸出也平穩(wěn)，先采用時(shí)域法,因果,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,-u0,-u0,與t=0時(shí)刻輸入情況下的穩(wěn)態(tài)解一致,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)

36、程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,再采用頻域法,利用典型傅立葉變換對(duì)關(guān)系,比較:,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,附錄(練習(xí)/自學(xué)):常用基本電路的微分方程及沖激響應(yīng),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)離散線(xiàn)性系統(tǒng)(自學(xué)),3.5,1.輸入信號(hào)起始時(shí)間為-的情況,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為h(n)(-n);對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)h(n)=0(n0)；設(shè)輸入信號(hào)為隨機(jī)過(guò)程X(n)，輸出信號(hào)為隨機(jī)過(guò)程Y(n)，當(dāng)輸入從-時(shí)刻開(kāi)始,則有(參見(jiàn)附錄),等號(hào)表示均方收斂,線(xiàn)性卷積,容易證明，上述變換是X(n)的線(xiàn)性時(shí)不變變換，根據(jù)線(xiàn)性變換的基本定理，得到,附錄(自學(xué)),湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,對(duì)于X(n)的任意樣本序列x(n)，可以表示為,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變換,湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性變