概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程設(shè)計_

1、成 績 評 定 表學生姓名孫康班級學號專 業(yè)信息與計算科學課程設(shè)計題目某種塑料繩的韌度與化學添加劑的線性回歸分析評語組長簽字：成績?nèi)掌?2015 年 6月5日課程設(shè)計任務(wù)書學 院理學院專 業(yè)信息與計算科學學生姓名孫康班級學號課程設(shè)計題目某種塑料繩的韌度與化學添加劑的線性回歸分析課程設(shè)計目的：通過本課程設(shè)計，使學生進一步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法?；菊莆誐ATLAB、SAS、SPSS等任何一種具有統(tǒng)計分析功能軟件的使用；具備初步的運用計算機完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂知識得以在生活實踐中應(yīng)用。設(shè)計任務(wù)（二選一）：1、一元、多元線性回歸模型：首先做樣本數(shù)據(jù)的散點圖；其次對回歸參數(shù)做

2、點估計及區(qū)間估計；三對回歸系數(shù)、回歸方程做顯著性檢驗，并對擬合效果做擬合優(yōu)度檢驗，利用殘差圖檢驗歸回效果；最后利用回歸方程做點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測。2、單因素、雙因素方差分析：首先對總體做正態(tài)分布檢驗和方差齊性檢驗；然后檢驗單因素或雙因素對實驗指標是否有顯著影響，最后選擇合適的方法進行多重比較。工作計劃與進度安排：周一：選題；周二、周三：進行設(shè)計；周四：完成設(shè)計報告；周五；答辯。指導(dǎo)教師： 2015 年 6月5日專業(yè)負責人：2015年6月 日學院教學副院長：2015年6月 日摘要數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學分支，在生產(chǎn)過程和科學實驗中，總會遇到多個變量，同一過程中的這些變量往往是相互依賴，相互制約的

3、，也就是說他們之間存在相互關(guān)系，這種相互關(guān)系可以分為確定性關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。變量之間的確定性關(guān)系和相關(guān)關(guān)系在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。本來具有函數(shù)關(guān)系的變量，當存在試驗誤差時，其函數(shù)關(guān)系往往以相關(guān)的形式表現(xiàn)出來相關(guān)關(guān)系雖然是不確定的，卻是一種統(tǒng)計關(guān)系，在大量的觀察下，往往會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種函數(shù)稱為回歸函數(shù)或回歸方程?；貧w分析是一種處理變量之間相關(guān)關(guān)系最常用的統(tǒng)計方法，用它可以尋找隱藏在隨機后面的統(tǒng)計規(guī)律。確定回歸方程，檢驗回歸方程的可信度等是回歸分析的主要內(nèi)容。按回歸模型類型可劃分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本文利用概率綸與數(shù)理統(tǒng)計中的所學的回歸分析知識，測量某種塑料繩的韌度與化學

4、添加劑的關(guān)系建立數(shù)學模型，利用這些數(shù)據(jù)做出化學添加劑和塑料繩子韌度的線性回歸方程，并MATLAB 軟件對驗數(shù)據(jù)進行分析處理，得出線性回歸系數(shù)與擬合系數(shù)等數(shù)據(jù)，并用F檢驗法檢驗了方法的可行性，同時用分布參數(shù)置信區(qū)間和假設(shè)檢驗問題 ，得出了化學添加劑和繩子韌度的線性關(guān)系顯著，并進行了深入研究，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗的解決方法。關(guān)鍵詞：置信區(qū)間；假設(shè)檢驗；線性關(guān)系；回歸分析目錄1設(shè)計目的12設(shè)計問題13設(shè)計原理14方法實現(xiàn)65設(shè)計總結(jié)10參考文獻11一設(shè)計目的了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗方法及應(yīng)用一元回歸方程進行預(yù)測的方法；學會應(yīng)用MATLAB軟件進行一元回歸實驗的分析方法

5、。同時更好的了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計在實際問題上的應(yīng)用，并將所學的知識結(jié)合Excel對數(shù)據(jù)的處理解決實際問題。本設(shè)計是利用一元線性回歸理論對某種塑料繩的韌度與化學添加劑的關(guān)系建立數(shù)學模型，并用matlab分析軟件進行解算。2 設(shè)計問題 某塑料繩子與化學添加劑含量有關(guān)，研究人員在生產(chǎn)試驗中收集了該塑料繩的韌度y與化學添加劑的含量x的數(shù)據(jù)如下表2.1。檢測模型的可行度，檢查數(shù)據(jù)中有無異常點。表2.1 塑料繩的韌度y與化學添加劑的含量x數(shù)據(jù)x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.23y40.141.542.145.04

6、5.547.549.055.050.055.055.560.5三設(shè)計原理在實際問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性的（即直線型），而是非線性的（即曲線型）。設(shè)其中有兩個變量與，我們可以用一個確定函數(shù)關(guān)系式：大致的描述與之間的相關(guān)關(guān)系，函數(shù)稱為關(guān)于的回歸函數(shù)，方程稱為關(guān)于的回歸方程。一元線性回歸處理的是兩個變量與之間的線性關(guān)系，可以設(shè)想的值由兩部分構(gòu)成：一部分由自變量的線性影響所致，表示的線性函數(shù) ；另一部分則由眾多其他因素，包括隨機因素的影響所致，這一部分可以視為隨機誤差項，記為。可得一元線性回歸模型 (1)式中，自變量是可以控制的隨機變量，成為回歸變量；固定的未知參數(shù)a,b成為回

7、歸系數(shù)；稱為響應(yīng)變量或因變量。由于是隨機誤差，根據(jù)中心極限定理，通常假定，是未知參數(shù)。確定與之間的關(guān)系前，可根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，選擇適當?shù)那€回歸方程，而這些方程往往可以化為線性方程或者就是線性方程，因此我們可以用線性方程：大致描述變量與之間的關(guān)系；1)模型回歸系數(shù)的估計為了估計回歸系數(shù)，假定試驗得到兩個變量 與 的 個數(shù)據(jù)對我們將這對觀測值代入式（1），得 這里互獨立的隨機變量，均服從正態(tài)分布，即 回歸系數(shù)估計的方法有多種，其中使用最廣泛的是最小二乘法，即要求選取的， 的值使得述隨機誤差 的平方和達到最小，即求使得函數(shù) 取得最小值的，。由于是，的二元函數(shù)，利用微積分中的函數(shù)存在極值的必要條

8、件，分別對求，偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，構(gòu)成二元一次方程組，化簡后得到如下正規(guī)方程組 a解方程組得到總體參數(shù)估計量,這里， 均已有的觀測數(shù)據(jù)。由此得到回歸方程帶入觀測，得到值稱為回歸預(yù)測值。方程的直線稱為回歸直線。2)回歸方程顯著性檢驗建立一元線性回歸方程當且僅當變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時才是有意義的，因此必須對變量之間的線性相關(guān)的顯著性進行檢驗，即對建立的回歸模型進行顯著性檢驗。我們首先引入幾個概念：（1） ，稱為總偏差平方和，它表示觀測值總的分散程度；（2） ，稱為回歸平方和，它是由回歸變量的變化引起的，放映了回歸變量對變量線性關(guān)系的密切程度；（3） ，稱為殘差（剩余）平方和，它是由觀測誤差等其

9、他因素起誤差，它的值越小說明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好?？梢宰C明下列關(guān)系成立 即 =+ 我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記。(0=R F（1,n-2）,則認為y與x之間的線性關(guān)系顯著；如果F= F（1,n-2），則認為y與x之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實際應(yīng)用中也可以通過F對應(yīng)的概率P來說明y與x之間的線性相關(guān)性顯著。3)回歸系數(shù)的置信區(qū)間回歸方程（1）的回歸系統(tǒng),是一個點估計值，給定置信水平1-后，可得到他們對應(yīng)的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果摸個回歸系數(shù)的置信區(qū)間包含0點，則說明該回歸變量的影響不顯著，需要進一步地修改回歸方程，盡量是每個回歸系數(shù)的置信區(qū)間

10、都不包含0點。4)利用模型預(yù)測在對所建立的回歸模型進行相關(guān)程度檢驗與分析之后，如果預(yù)測變量y與相關(guān)變量x的每一個給定值x，帶入回歸模型，就可以求得一個相對應(yīng)的回歸預(yù)測值,稱為模型的點估計值。四方法實現(xiàn)（1）輸入數(shù)據(jù)，并輸入作散點圖命令：y=42.0 41.5 40.1 45.5 45.0 47.5 49.0 49.5 50.0 55.0 55.5 60.5;x=0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23;plot(x,y,+);n=length(y);X=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,s=regr

11、ess(y,X);b,bint,s運行結(jié)果：b = 25.0168 150.7361bint = 19.6522 30.3814 117.8538 183.6184s = 0.9125 104.3263 0.0000 4.0437整理結(jié)果如下：回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計值回歸系數(shù)置信區(qū)間a25.016819.6522，30.3814b150.7361111.8538,183.6184 =0.9125 F=104.3263 P=0.0000 t1=29.45023-norminv(0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.2)/16)t1 =30.0742 t2=29.45023+norminv(

12、0.0975,0,1)*sqrt(sum(r.2)/16)t2 = 19.0520即碳含量為0.13時測試中，刀具厚度的置信度為0.95的預(yù)測區(qū)間為。也可以用命令： y=42.0 41.5 40.1 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5;x=0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23; polytool(x,y,1,0.05)作出散點圖及擬合曲線，并對時的y進行預(yù)報，結(jié)果如圖 3 所示。圖 2 散點圖及擬合曲線 如圖3所示，紅線表示為數(shù)據(jù)離合區(qū)間，藍色“+”表示為數(shù)據(jù)散點分布，綠色表示為擬合曲線。五設(shè)計總結(jié)通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的這道實際問題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，而且使我對這些知識在實際中的應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚的興趣，同時對我學習好概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課有很大幫助。在實現(xiàn)這道題的過