分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)能力培訓(xùn)

1、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)能力培訓(xùn)培訓(xùn)教師：劉新民一、能力指導(dǎo)例1：有同樣大小的紅、黑、白三種顏色的珠子共89個(gè)，按1個(gè)紅珠、3個(gè)白珠、2個(gè)黑珠的順序排列。三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾？6個(gè)1組6個(gè)1組分析與解答：要求出三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾，應(yīng)先求出每種顏色的珠子各有多少個(gè)。三種顏色的珠子是按1個(gè)紅珠、3個(gè)白珠、2個(gè)黑珠的順序排列，周期為1+3+2=6（個(gè)），那么89個(gè)珠子共有896=14（組）5（個(gè)），如下圖：黑白白白紅黑黑白白白紅89=614+5從上圖中可看出89個(gè)珠子中共有14個(gè)周期，還剩5個(gè)，而每個(gè)周期中有1個(gè)紅珠、3個(gè)白珠、2個(gè)黑珠，那么14個(gè)周期中紅珠有114=14（個(gè)），白

2、珠有314=42（個(gè)），黑珠有214=28（個(gè)），剩下的5個(gè)珠子中有1個(gè)紅珠，3個(gè)白珠和1個(gè)黑珠，所以這89個(gè)珠子中共有紅珠14+1=15（個(gè)），白珠42+3=45（個(gè)），黑珠28+1=29（個(gè)），所以紅珠占總數(shù)的1589=，白珠占總數(shù)的4589=，黑珠占總數(shù)的2989=。例2：四名射擊運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練場(chǎng)進(jìn)行射擊訓(xùn)練。他們每人都打了6發(fā)子彈，且都打中了一次十環(huán)，三次九環(huán)，兩次八環(huán)。現(xiàn)在知道他們剩下的子彈總數(shù)等于他們出來時(shí)兩人所帶的子彈數(shù)。他們出發(fā)時(shí)，一共帶了多少發(fā)子彈？分析與解答：由他們剩下的子彈總數(shù)等于他們出來時(shí)兩人所帶的子彈數(shù)可知他們用的子彈數(shù)也等于他們出來時(shí)兩人所帶的子彈數(shù)，他們用了64=2

3、4（發(fā)）子彈，那么他們出來時(shí)每人帶了242=12（發(fā)）子彈，所以他們出發(fā)時(shí)一共帶了124=48（發(fā)）子彈。例3：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是42，如果分子加上8，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1.這個(gè)分?jǐn)?shù)原來是多少？分析與解答：如果分子加上8，這時(shí)分子、分母的和是42+8=50，這時(shí)這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1，說明此時(shí)分子與分母相等，即分子、分母各502=25，那么原來的分子是25-8=17，所以這個(gè)分?jǐn)?shù)原來是。例4：從2，3，5，7，11這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母，這樣的分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？分析與解答：根據(jù)組合的有關(guān)知識(shí)可知，從五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有1+2+3+4=10（種）不同的取法，也就是說

4、分子、分母不交換位置可以組成10個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，再把分子、分母交換位置有可以組成10個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，所以一共可以組成102=20（個(gè)）這樣的分?jǐn)?shù)。例5：一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母比分子大15，它的分?jǐn)?shù)值等于，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析與解答：由題意可知，原來的分?jǐn)?shù)的分子與分母的差是15，而分?jǐn)?shù)值的分子與分母的差是8-3=5，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把的分子與分母同時(shí)擴(kuò)大155=3倍，即=就是要求的這個(gè)分?jǐn)?shù)。例6：一個(gè)分?jǐn)?shù)，它的分子和分母同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)的，原分子與分母的和是80，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解答：原來分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)的，則原來分?jǐn)?shù)與的大小是相等的，因?yàn)樵謹(jǐn)?shù)的分子與分母的和是80，分子、分

5、母同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)后的分子與分母的和是9+7=16，分子與分母的和從80變成16，縮小了8016=5倍，那么將的分子與分母同時(shí)擴(kuò)大5倍就是原來的數(shù)，即=。例7：求9021和9991的最大公因數(shù)。分析與解答：這兩個(gè)數(shù)比較大，它們的公因數(shù)很難找，可以用輾轉(zhuǎn)相除法來求，先用較大數(shù)除以較小數(shù)，即99919021=1970，再用上次的除數(shù)除以所得余數(shù)，即9021970=9291，還是用上次的除數(shù)除以所得余數(shù)，即970291=397，還用上次除數(shù)除以余數(shù)，即29197=3，直到整除為止，那么最后一個(gè)除數(shù)97就是9021和9991的最大公因數(shù)。例8：張老師給全班同學(xué)帶來一些糖果。如果把110塊糖果平均分

6、給同學(xué)們，則多5塊；如果把210塊糖平均分給同學(xué)們。則正好分完；如果把240塊糖果平均分給同學(xué)們，則還少5塊。張老師的班級(jí)最多有多少名同學(xué)？分析與解答：把110塊糖果平均分給同學(xué)們，則多5塊，如果從中取出5塊，即110-5=105（塊）則正好分完，同理把240塊糖果平均分給同學(xué)們，則還少5塊，如果再加5塊，即240+5=245（塊）則正好分完，把210塊糖平均分給同學(xué)們，也正好分完，說明這個(gè)班的人數(shù)是105，245和210的公因數(shù)，最多有多少名同學(xué)，就是求這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，即105，245和210的最大公因數(shù)是35，故張老師的班級(jí)最多有35名同學(xué)。例9：將一塊長是120m、寬80m的長方形

7、土地劃分成面積相等的小正方形。小正方形的面積最大是多少？分析與解答：要使小正方形的面積最大，那么它的邊長要最大，由題意可知小正方形的邊長是120和80的公因數(shù)，最大的邊長是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，即最大邊長是40m，所以小正方形面積最大是4040=1600（m）。例10：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，約分后得，同時(shí)加上的這個(gè)數(shù)是多少？分析與解答：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加或減一個(gè)數(shù)，分子和分母的差不變。由于分?jǐn)?shù)的分子、分母的差是13-5=8，分子和分母的差是2-1=1，分子、分母的差從8變成1，說明原分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)縮小了81=8倍，那么分子和分母同時(shí)擴(kuò)大8倍就是原來的分?jǐn)?shù)，即原來分?jǐn)?shù)為=

8、，那么同時(shí)加上的這個(gè)數(shù)是8-5=3。例11：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3得，將它的分母加上1，則得，求原分?jǐn)?shù)是多少？分析與解答：由題意可知，新分?jǐn)?shù)的分子未變，那么可以把和根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把它們化成分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，即=；=，其中和，和，和均不符合題意，所以把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別化成和，所以原分?jǐn)?shù)的分母為12+3=15，16-1=15，則原分?jǐn)?shù)為。例12：是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，可以取的整數(shù)有多少個(gè)？分析與解答：要使是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，不能是24的因數(shù)，且24，即19，不能是2、3、4、6、8、12的倍數(shù)，則不能為1，3，4，5，7，9，10，11，13，15、16、17那么可以取0，2，6，8，12，14，18共7個(gè)。

9、例13：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？b1a115ba分析與解答：假設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a和b，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是15用短除法分解這兩個(gè)數(shù)，商為a1、b1最后根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是90分別求出這兩個(gè)數(shù)，具體過程如下：根據(jù)最小公倍數(shù)的求法，15a1b1=90，則a1b1=6=16=23。當(dāng)a1、b1分別為1和6時(shí)，a=151=15，b=156=90當(dāng)a1、b1分別為2和3時(shí)，a=152=30，b=153=45綜合上述，這兩個(gè)數(shù)分別是15和90或者30和45。例14：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是60，最小公倍數(shù)是720，其中一個(gè)數(shù)是180，另一個(gè)數(shù)是多少？分析與解

10、答：因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積，又因?yàn)樽畲蠊驍?shù)和最小公倍數(shù)的積是60720=43200，其中一個(gè)數(shù)是180，所以另一個(gè)因數(shù)為43200180=240。例15：一盒圍棋子，4顆，4顆地?cái)?shù)多3顆，6顆，6顆地?cái)?shù)多5顆，15顆，15顆地?cái)?shù)多14顆，這盒圍棋的數(shù)量在150至200之間，問這盒圍棋子共有多少顆？分析與解答：由已知條件可知，這盒圍棋子只要多加1顆，正好是4，6，15的公倍數(shù)是60，這盒圍棋的數(shù)量在150至200之間，則603=180（顆），從總數(shù)中減去加的1顆，所以這盒圍棋子共有180-1=179（顆）。例16：加工某種機(jī)器零件要經(jīng)過三道工序。第一道工序每

11、人每小時(shí)可完成6個(gè)零件，第二道工序每人每小時(shí)可加工5個(gè)零件，第三道工序每人每小時(shí)可加工15個(gè)零件。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾人？分析與解答：要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序加工的零件總數(shù)是相等的。根據(jù)題意可知，三道工序加工的零件總數(shù)應(yīng)是6，5，15的的公倍數(shù)，要求三道工序至少各分配幾人，應(yīng)先求出6，5，15的最小公倍數(shù)，即30。所以第一道工序至少要分配306=5（人），第二道工序至少要分配306=5（人），第三道工序至少要分配3015=2（人）。例17：一次會(huì)餐共用了75個(gè)碗，每人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)菜碗，三人一個(gè)湯碗，四人一碗水果，參加會(huì)餐的有多少人？分析與解答：根據(jù)題意，參加這次會(huì)餐的

12、人數(shù)是1，2，3，4的最小公倍數(shù)，即12人，這12人要121+122+123+124=25（個(gè)）碗，因?yàn)?5個(gè)碗里面共有7525=3（個(gè)）25（個(gè)）碗，所以參加會(huì)餐的有123=36（人）例18：、兩個(gè)自然數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1） （2）+=22求、的值。分析與解答：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)擴(kuò)大3倍，即=；=，因?yàn)?，則可以是和，滿足+=22的只有，所以=3，=19。例19：把0.和0.2化成分?jǐn)?shù)。分析與解答：（1）0.是純循環(huán)小數(shù)，可以移動(dòng)循環(huán)節(jié)把它轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)。0.= 0. 0.100=53. -得：0.100-0.= 53. -0.990.=53 則0.=（2）0.2是混循環(huán)小

13、數(shù)，同樣可以移動(dòng)循環(huán)節(jié)的方法把它轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)。0.210=2. 0.21000=231. -得：0.21000-0.210=231.- 2.9900.2=229 則0.2=總結(jié)：1. 純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：分子是又一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成；分母的各位數(shù)字都是9,9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。用字母表示為0.=。2. 混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：分子是小數(shù)點(diǎn)后面第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的前幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字是0,9的個(gè)數(shù)同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)同不循環(huán)部分的位數(shù)相同。用字母表示為0.a=。例20：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子縮小到原來的后，化成小數(shù)是0.04.

14、原分?jǐn)?shù)的分母擴(kuò)大到原來的幾倍后能化成小數(shù)0.02？分析與解答：分子縮小到原來的后，化成小數(shù)是0.04，即那么原來分?jǐn)?shù)為=，因?yàn)?.02=，所以原分?jǐn)?shù)的分母擴(kuò)大到原來的10025=4倍后能化成小數(shù)0.02。二、能力訓(xùn)練。1. 為慶祝中國共產(chǎn)黨成立90周年，張老師帶領(lǐng)手工小組的同學(xué)把40張彩紙平均分成了8份。折花朵用去了4份，做彩帶用去的彩紙是折花朵份數(shù)的一半，余下的做小旗。做彩帶、做小旗各用去彩紙的幾分之幾？2. 在一條長100米的甬路兩側(cè)，從頭到尾每隔2米栽一棵樹，按2棵楊樹、1棵柳樹的規(guī)律栽。楊樹、柳樹各占植樹總數(shù)的幾分之幾？3. 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子和分母的和是28，如果分子減去2，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等

15、于1，原分?jǐn)?shù)是多少？4. 一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子是47，把它化成帶分?jǐn)?shù)后，分子、分母和整數(shù)部分是3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。這個(gè)假分?jǐn)?shù)是多少？化成的帶分?jǐn)?shù)是多少？5. 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值是，如果分子加3，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于自然數(shù)1，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。6. 求8251和6105的最大公因數(shù)。7. 把38個(gè)蘋果和31個(gè)梨分給若干個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友分得的蘋果的個(gè)數(shù)相同。結(jié)果蘋果多2個(gè)，梨多3個(gè)，分到蘋果和梨的小朋友最多是幾個(gè)？每人分得幾個(gè)蘋果和幾個(gè)梨？8. 有三根木料，長度分別是120、180和300.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每根小棒最長是多少厘米？一共可以截成多少段？9. 的分子和分母同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是，減去的這個(gè)數(shù)是多少？10.一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加分母等于168；分子、分母都減去6，分?jǐn)?shù)變成，原分?jǐn)?shù)是多少？11. 兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？12. 有一車飲料，3箱3箱地?cái)?shù)剩1箱；5箱5箱地?cái)?shù)剩1箱；7箱7箱地?cái)?shù)剩1箱。這車飲料至少有多少箱？13. 學(xué)校在甬路的一旁栽了一行小樹，從第一棵到最后一棵的距離是80m，原來每隔2m栽一棵，現(xiàn)在小樹長大了，改為每