高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.11 多面體與正多面體教案

1、9.11 多面體與正多面體知識梳理1.每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體.2.正多面體有且只有5種.分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.點擊雙基1.一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球面，作正方體的對角面，所得截面圖形是答案：B2.正多面體只有_種，分別為_.答案：5 正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，則直線AM與CN所成的角的余弦值是_.解析：過N作NPAM交AB于點P，連結(jié)C1P，解三角形即可.答案： 典例剖析【例1】 已知甲烷CH4的分

2、子結(jié)構(gòu)是中心一個碳原子，外圍有4個氫原子（這4個氫原子構(gòu)成一個正四面體的四個頂點）.設(shè)中心碳原子到外圍4個氫原子連成的四條線段兩兩組成的角為，則cos等于A. B. C. D. 解析：將正四面體嵌入正方體中，計算易得cos=（設(shè)正方體的棱長為2）.答案：A【例2】 試求正八面體二面角的大小及其兩條異面棱間的距離.解：如圖，設(shè)正八面體的棱長為4a，以中心O為原點，對角線DB、AC、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），設(shè)E為BC的中點，連結(jié)PE、QE、OE，則PEQ=2PEO即為所求二面角的平面角，OE=2a，

3、OP=2a，tanPEO=，PEQ=2arctan.設(shè)n=（x，y，z）是AB與PC的公垂線的一個方向向量，則有n=x+y=0，n=yz=0，解得n=（1，1，1），所以向量=（2a，2a，0）在n上的射影長d=即為所求.特別提示由于正多面體中的等量關(guān)系、垂直關(guān)系比較多，所以便于建立直角坐標(biāo)系，運用解析法處理.要注意恰當(dāng)選取坐標(biāo)原點，一般取其中心或頂點（如正四棱柱）.【例3】 三個1212 cm的正方形，如圖，都被連結(jié)相鄰兩邊中點的直線分成A、B兩片如圖（1），把6片粘在一個正六邊形的外面如圖（2），然后折成多面體如圖（3），求此多面體的體積.解法一： 補成一個正方體，如圖甲，V=V正方體=1

4、23=864 cm3.甲 乙解法二：補成一個三棱錐，如圖乙，V=V大三棱錐3V小三棱錐=864 cm3. 思考討論補形的方法可將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化成規(guī)則的幾何體，這是求多面體體積的常用方法.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.每個頂點處棱都是3條的正多面體共有A.2種 B.3種 C.4種 D.5種解析：正多面體只有5種.答案：B2.如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，E、F分別為AB、BC的中點，則異面直線C1O與EF的距離為_.答案： 培養(yǎng)能力3.四面體的一條棱長是x，其他各條棱長為1.（1）把四面體的體積V表示為x的函數(shù)f（x）；（2）求f（x）的值域；（3）求f

5、（x）的單調(diào)區(qū)間.解：（1）設(shè)BC=x，則S到平面ABC的垂足O是ABC的外心，連結(jié)AO并延長交BC于D，則D是BC的中點，且ADBC，求得AD=，S=.設(shè)ABC的外接圓的半徑為R，求得R=，SO=，V=SSO=（0x）.（2）f（x）= =，0x23，f（x）（0，）.（3）當(dāng)x=時，f（x）取得最大值， 又0x，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，遞減區(qū)間是，）.4.（文）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，O為AC與BD的交點，M為DD1的中點.（1）求證：直線B1O平面MAC；（2）求二面角B1MAC的大小.（1）證明：BB1平面ABCD，OBAC，B1OAC.連結(jié)MO、MB1，則

6、MO=，B1O=，MB1=3.MO2+B1O2=MB12，MOB1=90.B1OMO.MOAC=O，B1O平面MAC.（2）解：作ONAM于點N，連結(jié)B1N.B1O平面MAC，AM平面B1ON.B1NAM.B1NO就是二面角B1MAC的平面角.AM=，CM=，AM=CM.又O為AC的中點，OMAC.則ON=OAsinMAO= .在RtB1ON中，tanB1NO=，B1NO=arctan，即所求二面角的大小為arctan.說明：本題的兩問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的.第（2）問中構(gòu)造二面角的平面角的方法是典型的三垂線法.（理）在邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分

7、別為AB與C1D1的中點.（1）求證：四邊形A1ECF是菱形；（2）求證：EF平面A1B1C；（3）求A1B1與平面A1ECF所成角的正切值.（1）證明：取A1B1的中點G，連結(jié)C1G、GE.A1GFC1且A1G=FC1，A1GC1F是平行四邊形.A1FC1G.同理C1GCE.A1FCE.由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=a，四邊形A1ECF是菱形.（2）證明：連結(jié)C1B，E、F分別為AB與C1D1的中點，C1F=BE.又C1FBE，C1FEB為平行四邊形.C1BEF.而C1BB1C，EFB1C.又四邊形A1ECF是菱形，EFA1C.EF面A1B1C.（3）解：由（2）知，EF平面A1

8、B1C，又EF平面A1ECF，平面A1B1C平面A1ECF.B1在平面A1ECF上的射影在線段A1C上.B1A1C就是A1B1與平面A1ECF所成的角.A1B1B1C，在RtA1B1C中，tanB1A1C=.A1B1與平面A1ECF所成角的正切值為.探究創(chuàng)新5.（2003年煙臺診斷性測試）（B）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，且AC與BD交于點O，E為棱DD1的中點，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示.（1）求證：B1O平面EAC；（2）若點F在EA上且B1FAE，試求點F的坐標(biāo)；（3）求二面角B1EAC的正弦值.（1）證明：由題設(shè)知下列各點的坐標(biāo)：A（0，0，0），B

9、（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），B1（2，0，2）.由于O是正方形ABCD的中心，O（1，1，0）. =（1，1，2），=（2，2，0），=（0，2，1）.=（1，1，2）（2，2，0）=12+1220=0，=（1，1，2）（0，2，1）=10+1221=0.，.B1O平面ACE.（2）解：設(shè)點F的坐標(biāo)為F（0，y，z），則 =（2，y，z2），=（2，y，z2）（0，2，1）=2y+z2=0.又點F在AE上， =（R）.又=（0，y，z），（0，y，z）=（0，2，1）=（0，2，）.于是由可得=，y=，z=，F(xiàn)（0，）.（3）解：B1O平面EAC，B1

10、FAE，連結(jié)OF，由三垂線定理的逆定理得OFAE，OFB1即為二面角B1EAC的平面角.|=，又=（2，），|=.在RtB1OF中，sinB1FO=.故二面角B1EAC的正弦值為.思悟小結(jié)1.割補法是求多面體體積的常用方法.2.理解多面體、正多面體、凸多面體的概念，熟悉五種正多面體.教師下載中心教學(xué)點睛學(xué)習(xí)本節(jié)要使學(xué)生理解多面體、正多面體的概念.拓展題例【例1】 正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線CD1和BC1所成的角是A.60 B.45 C.90 D.120解析：連結(jié)D1A1、AC，知ACD1是等邊三角形，且D1ABC1，所以BC1與CD1所成的角是60.答案：A【例2】 邊長為a的

11、正三角形，要拼接成一個正三棱柱且不剩料，應(yīng)如何設(shè)計?（在圖中用虛線畫出）解：設(shè)O為ABC的中心，連結(jié)OA、OB、OC，并設(shè)OA、OB、OC的中點分別為A1、B1、C1，過A1、B1、C1分別向三邊作垂線，則所得三個矩形即為三個側(cè)面，三個角上的小四邊形拼在一起即為上底面.【變式】 ABC若為一般三角形，又如何拼接？【例3】 如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1B1和B1C1的中點.（1）求二面角B1BFE的大小.（2）求點D到平面BEF的距離.（3）能否在棱B1B上找到一點M，使DM面BEF？若能，請確定點M的位置；若不能，請說明理由.解：（1）過B1作B1GBF于G，連結(jié)EG，則由EB1面B1BCC1，可知EGBF.B1GE是二面角B1BFE的平面角.在RtBB1F中，B1B=a，B1F=，BF=a，B1G= a.在RtB1GE中，B1E=，B1G=a，tanB1GE=.B1GE=arctan.故二面角B1BFE的大小為arctan.（2）連結(jié)B1D1與EF交于N，則EFB1D1.又BB1EF，EF面BB1D1D.又EF面BEF，面BEF面BB1D1D，且面BEF面BB1D1