夫瑯禾費單縫衍射光強分布MATLAB分析畢業(yè)論文絕對精品

1、衍射為人們所熟悉的現(xiàn)象，對于光的這種特殊現(xiàn)象在很多方面有著應用。在光的衍射的基礎上，介紹了什么是夫瑯禾費衍射，幾種實現(xiàn)夫瑯禾費衍射 的方法和原理及光強分布特點，以基爾霍夫積分定理為基礎，利用衍射公式的近 似對基爾霍夫衍射公式進行了推導，從理論上得出了夫瑯禾費單縫衍射的光強公 式，利用Matlab軟件進行了光強分布的圖樣仿真，并用實驗采集到的圖樣對理論 和仿真的結論進行了驗證，采用對觀察屏上各點的光強進行計算的方法，對衍射 條紋分析對比研究，重點研究了夫瑯禾費單縫衍射光強分布以及衍射的條紋分析, 計算結果與實驗結果得到了很好的吻合。關鍵詞：夫瑯禾費單縫衍射；光強分布；衍射條紋；對比分析Abstr

2、actDiffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phenomenon has applications in many areas.In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribution of li

3、ght intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffraction similar to the formula derived from the theory that the Fraunhofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the images collecte

4、d on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffraction fringes of comparative study, focused on the Fraunhofer single-slit diffraction intensity distribution and diffraction analysis of the fringe The

5、results with the experimental results have been very good anastomosis.Key words： Fraunhofer single-slit diffraction； light distribution； diffraction fringes ; comparative analysis畢業(yè)設計（論文）g錄第1章概述11.1光的衍射11.2研究的內(nèi)容與目的2第2章 夫瑯禾費衍射原理32.1惠更斯一菲涅耳原理32.2夫瑯禾費衍射42.3實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法52.4菲涅耳半波帶分析法72.5夫瑯禾費衍射光強圖樣特點102.

6、6本章小結12第3章光強分布的推導133.1基爾霍夫積分定理133.2基爾霍夫衍射公式153.3基爾霍夫衍射公式的近似173.4夫瑯禾費單縫衍射光強分布193.5本章小結20第4章條紋分析214.1理論分析214.2仿真分析234.3實驗分析264.4對比分析284.5本章小結29結論錯誤！未定義書簽。參考文獻30致謝錯誤！未定義書簽。I畢業(yè)設計（論文）1.1光的衍射1.1.1衍射特點光波遇到障礙物以后會或多或少地偏離幾何光學傳播定律的現(xiàn)象。幾何光學 表明，光在均勻媒質(zhì)中按直線定律傳播，光在兩種媒質(zhì)的分界面按反射定律和折 射定律傳播。但是，光是一種電磁波，當一束光通過有孔的屏障以后，其強度可

7、以波及到按直線傳播定律所劃定的幾何陰影區(qū)內(nèi)，也使得幾何照明區(qū)內(nèi)出現(xiàn)某些 暗斑或暗紋。光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn) 象。光的衍射，也可以叫做光的繞射，即光可以繞過障礙物，傳播到障礙物的幾 何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強的不均勻分布。通常將觀察 屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。(b)如圖11所示，讓一個足夠亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔工，照射到屏 幕K上，并且逐漸改變圓孔的大小，就會發(fā)現(xiàn)：當圓孔足夠大時，在屏幕上看到 一個均勻光斑，光斑的大小就是圓孔的幾何投影，如圖1-1 (a)所示；隨著圓孔 逐漸減小，起初光斑也相應的變小，而后光斑開始

8、模糊，并且在圓斑外面產(chǎn)生若 干圍繞圓斑的同心圓環(huán)，當使用單色光源時，這是一組明暗相見的同心環(huán)帶，如 圖1-1 (b)所示，當使用白色光源時，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使 圓孔變小，光斑及圓環(huán)不跟著變小，反而會增大起來，這就是光的衍射現(xiàn)象。1.1.2衍射與干涉的關系干涉現(xiàn)象和衍射現(xiàn)象都是光具有波動性的重要特征，那么，它們有怎樣的區(qū) 別和聯(lián)系呢，簡單地說，干涉是若干光束的疊加，更確切地講應該是，當參與疊 加的各束光本身的傳播行為可近似用幾何光學直線傳播的模型描寫時，這個疊加 問題是純干涉問題；若參與疊加的各束光本身的傳播明顯地不符合幾何光學模型, 則應該說，對每一束而言都存在著衍射，而各束

9、光之間則存在干涉聯(lián)系。在一般 問題中，干涉和衍射兩者的作用是同時存在的。從本質(zhì)上說，干涉和衍射都是波 的相干疊加的結果，只是參與相干疊加的對象有所區(qū)別，干涉是有限幾束光疊加， 而衍射則是無窮多次波的相干疊加。其次，出現(xiàn)的干涉和衍射花樣都是明暗相間 的條紋，但在光強分布上有間距均勻與相對集中的不同。1.1.3衍射的應用光的衍射決定光學儀器的分辨本領；氣體或液體中的大量懸浮粒子對光的散 射，衍射也起重要的作用。衍射應用大致可以概括為以下四個方面：1、光譜分析：如衍射光柵光譜儀。2、結構分析:衍射圖樣對精細結構有一種相當敏感的“放大”作用，故而利用圖 樣分析結構，如X射線結構學。3、成像:在相干光成

10、像系統(tǒng)中，引進兩次衍射成像概念，由此發(fā)展成為空間濾 波技術和光學信息處理。光瞳衍射導出成像儀器的分辨本領。4、波陣面再現(xiàn)：一種全新的兩步無透鏡成像法，也稱為波陣面再現(xiàn)術，這是 全息術原理中的重要一步。1.2研究的內(nèi)容與目的通過衍射現(xiàn)象進一步了解夫瑯禾費衍射，首先從原理出發(fā)，掌握夫瑯禾費單 縫衍射的原理，利用三角公式和積分處理，通過對光強的計算和對其分布特點的理 論研究，從中找出光強分布規(guī)律，再利用matlab軟件描繪出其光強分布，最后通 過實驗采集的圖樣進行驗證，對比研究分析衍射條紋的特點。第2章夫瑯禾費衍射原理2.1惠更斯一菲涅耳原理最早成功地用波動理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳，他將惠更斯原理

11、用光的干 涉理論加以補充，并予以發(fā)展。圖2-1惠更斯原理圖2-2單色點光源S對P點的光作用惠更斯原理是描述波動傳播過程的一個重要原理，其主要內(nèi)容是：如圖2-1 所示的波源S,在某一時刻所產(chǎn)生波的波陣面為工，則工面上的每一點都可以看作 是一個次波源，它們發(fā)出球面次波，其后某一時刻的波陣面即是該時刻這些球 面次波的包跡面，波陣面的法線面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖?能夠很好地解釋光的直線傳播，光的反射和折射方向，但不能說明衍射過程及其 強度分布。菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后，考慮到次波來自于同一光源，應該相干， 因而波陣面上每一點的光振動應該是在光源和該點之間任一波面上的各點發(fā)出 的次

12、波場疊加的結果。這就是惠更斯一菲涅耳原理。利用惠更斯一菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻，任一波面 上的點都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點上的 光強分布，即是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結果。根據(jù)惠更斯一菲涅耳原理，圖2-2所示的一個單色光源S對于空間任意點P 的作用，可以看作是S和P之間任一波面工上各點發(fā)出的次波在P點相干疊加的結 果。假設波面Y上任意點Q的光場復振幅為E（Q）,在Q點取一個面元力，則力 面元上的次波源對P點光場的貢獻為ikrJE（P）= CK（0）E（Q） dcr式中，C是比例系數(shù)；r = QP, K（0）稱為傾斜因

13、子，它是與元波面法線和沖的 夾角& （稱為衍射角）有關的量，按照菲涅耳的假設：當 =0時，K有最大值； 隨著&的增大，K迅速減??；當0ti/2時K=0。因此，途中波面工上只有ZZ，范 圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻。所以P點的光場復振幅為左（P） = C E（Q） K（0）dcr（2-1）zr這就是惠更斯一菲涅耳原理的數(shù)學表達式，稱為惠更斯一菲涅耳公式。當S是點光源時，Q點的光場復振幅為方（0）=呂嚴式中，R是光源到Q點的距離。在這種情況下，（0可以從積分號中提出來，但 是由于K（0）的具體形式未知，不可能由（2-1）式確切地確定E（P）值。因此，從理 論上來講，這個原理是不夠完善的。2.2夫瑯

14、禾費衍射在無成像的衍射系統(tǒng)中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之間距離的遠 近而將衍射分為兩類，一類是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離 均為有限遠，或其中之一是有限遠的情形；另類是夫瑯禾費衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠的情形。粗略地說，菲涅耳衍射是近場衍射, 光源O ,觀察屏E （或二者之一）到衍射屏S的距離為有限的衍射，如圖2-3所示。 夫瑯禾費衍射是遠場衍射，光源O，觀察屏E到衍射屏S的距離均為無窮遠的衍 射，如圖2-4所示。不過應當注意，在成像衍射系統(tǒng)中，像面的衍射場在一定條件 下也是夫瑯禾費衍射場，此時無論像面（接收屏位置）或光源位置，它們與衍射 屏的距離

15、都可以是很近的。當然，夫瑯禾費衍射是菲涅耳衍射的一個特例，其衍 射積分計算較為簡單，實驗上也不難實現(xiàn)，應用價值又很大，故它一直是衍射問 題的研究重點。尤其是現(xiàn)代光學中傅里葉光學的興起，賦予夫瑯禾費衍射以新的 重要意義。s0EPP。13圖2-3菲涅耳衍射2.3實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法無論是在實驗室中或者別的什么地方，都不可能將光源和衍射場放在無限遠， 實際接收夫瑯禾費衍射的裝置有以下四種：1、焦面接收裝置（以單縫衍射為例，下同）把點光源S放在凸透鏡厶的前焦平面上，在凸透鏡厶2的后焦平面上接收衍射 場，見圖25。圖2-6遠場接收裝置2、遠場接收裝置當滿足遠場條件時，狹縫前后也可以不用透鏡，而直接

16、獲得夫瑯禾費衍射圖 樣。遠場條件是： 光源離狹縫很遠，即R 匸,其中，R是光源到狹縫的距 2離,為狹縫寬度的一半；接收場距狹縫足夠遠，即乙牛，其中，z為衍 A射場距狹縫的距離。觀察點P在乙的條件下，只要求其滿足傍軸條件即可，2而這一般都是滿足的。圖2-6為遠場接收光路，假設一束平行光垂直入射到狹縫 o3、象面接收裝置（一）衍射屏處于透鏡的后方，如圖2-7所示。S在光軸上，Y代表點光源的象面，S為S的象點。理論上已經(jīng)證明了 Y面上呈現(xiàn)的圖樣為夫瑯禾費衍射圖樣，即屏上任一點爲的復振幅與角度&的函數(shù)關系符合夫瑯禾費衍射的積分形式。圖2-8象面接收裝置（二）4、象面接收裝置（二）衍射屏處于透鏡的前方，

17、如圖2-8所示。用點是場點馬的共軌點，S也在光 軸上。如果光路逆轉(zhuǎn)自右向左，S，變?yōu)辄c光源，衍射屏便處于透鏡的后方了，了面 上的衍射圖樣就同象面接收裝置（一）Y面上的情況，藝相應地取代乙所以實際 呈現(xiàn)在圖2-8的Y面上的衍射圖樣可由物面上設想的共軌衍射圖樣導出，二者為物 象關系O2.4菲涅耳半波帶分析法2. 4.1夫瑯禾費單縫衍射的零級大點圖2-9單縫衍射的零級極大如圖2-9,點光源S經(jīng)透鏡厶形成一束單色平行光垂直入射于單狹縫。此狹縫 的寬度為a,也就是說狹縫的兩側邊A與B的距離AB = a.狹縫的長度垂直于圖 面。把此狹縫的寬度a分割成許多個（設為N個）窄條，每個窄條的寬度都等于 AS=a/

18、N。當單色平行光的波陣面到達此狹縫中時，每個窄條可看成一個子波源, 它向各個方向發(fā)出子波。上述單縫后面放一個凸透鏡，此透鏡厶2的主軸垂直于單縫和屏，屏放在透鏡 的焦平面位置。從單縫發(fā)出的所有子波中、傳播方向與主軸平行的光線，被透鏡聚焦于主焦 點F （即主軸與屏的交點）。從單縫中任一點發(fā)出的上述光線、經(jīng)透鏡到F點的光 程都相等，因此F點成為這些子波干涉加強的最強點，稱為零級極大點，如果S 是一條與狹縫平行的直線光源，則在處顯出一條與狹縫平行的零級亮紋。2.4.2用菲涅耳半波帶法說明單縫衍射如圖2-10所示，在零級極大點的旁邊有一個干涉相消的第一級極小點Q o 現(xiàn)在要分析此極小點Q應滿足的條件。圖

19、2-10單縫衍射的一級極小設上述21點與透鏡的光心c的連線CQ與主軸成0角。此01角就是單縫發(fā)出 無數(shù)子波中、被透鏡會聚于Q點的那一組平行光線與主軸所成角度。此0角稱為 此組平行光線的衍射角o此組平行光線的垂直平面AD.與單縫AB的夾角也等于此 衍射角A，即ZBAD, = 0 o上述衍射角為01的平行光線，從人。垂直面中任一點經(jīng)透鏡到屏上Q點的光 程都相等。因此，上述任何兩條平行光線的光程差，就等于它們從單縫AB到 垂直面AD.的光程差。這一組光程差AL中的最大光程差（AL）ml應是單縫兩端B與 A的光程差BD. o按照干涉原理，兩個相干光疊加時，它們的光程差若為半波長，可得到干涉 相消的結果

20、。已知上述一組平行光線在屏上Q點形成第一級極小，也就是說，這 一組平行光線整體在Q點形成干涉相消。如果將這組平行光線平分成上下兩個半 組，當這兩組的平均光程差為半波長時，可達到整組干涉相消的結果。具體說來, 可在單縫AB的中點作一垂直于圖面的直線，將單縫平分成人與$上下兩部 分，同時也將上述平行光線分成上下兩組，這兩組平行光線到達Q點的平均光程 差、應等于半波長，即AL = f，于是這兩組平行光線一對一對地在Q形成干涉相 消。根據(jù)上述分析，可將屏上Q點應滿足的條件總結如下(2-2)(2-3)(2-4)(2-5)BD、=（AL）ml = 2（AL）=2x = ABDX = a sin 0、=九Q

21、oQi = ftg0QqQ i = xi此式的f是透鏡的焦距，坷是以為原點的位置坐標。-小是負一級極Q 的坐標。與Q對稱地分布在0的兩側。圖2-11表示在一級極小旁邊有二級極小Q。此0點所對應的平行光線的 衍射角 色，所對應的最大光程差為BD2 =（AL）m2 BD. o按照0點的特點，應將單縫平分成四個部分，即=人二 =3,并要求其中相鄰兩部分上述平行光線的平均光程差都等于半波長，即AL = -。因此,2從單縫中的側與兩部分發(fā)出的上述平行光線在0形成干涉相消;從坊與 礙8兩部分發(fā)出的平行光線也在0形成干涉相消。因此，參照（2-2）至（2-5）式, 可將此0成為二級極小的條件總結如下：BD?

22、=（AL）加 2 = 4（AZ）= 4 x = 22BD2 = a sin 0? 22。0。2 =兀2 = ftS/200一 2 =-兀2按上述例子可把夫瑯禾費單縫衍射屏上各級極小21、02、03的條件都寫下來:BD =（AL）m = 2k （AL） = kJBD = asinj3 = kxX , QQ& = x = ftg/3QoQ_& = -兀K =1,2如上所述菲涅耳提出的簡單方法稱為半波帶法，具有如下特點：（1）將到達 單縫的波陣面分割成面積相等的矩形窄條（窄條長度平行于狹縫），每個窄條稱為 一個波帶，各個波帶含有相同數(shù)目的子波源。（2）要求相鄰波帶發(fā)出的子波會聚 到達屏上Q點的平均光

23、程差都等于半波長。（3）如果分割成的波帶數(shù)恰為偶數(shù)2ki， 則此Q點便是此單縫衍射的第ki級極小位置。2.5夫瑯禾費衍射光強圖樣特點2. 5.1圖樣特點觀察點和光源與障礙物的距離有限，在計算光程和疊加后的光強等問題時， 都難免遇到繁瑣的數(shù)學運算。夫瑯禾費在1821-1822年間研究了觀察點和光源距障 礙物都是無限遠（平行光束）時的衍射現(xiàn)象。在這種情況下，計算衍射圖樣中光 強的分布時，數(shù)學運算就比較簡單。所謂光源在無限遠，實際上就是把光源置于 第一個透鏡的焦平面上，得到平行光束；所謂觀察點在無限遠，實際上是在第二 個透鏡的焦平面上觀察衍射圖樣，在使用光學儀器的多數(shù)情況中，光束總是要透 過透鏡的。

24、因而經(jīng)常會遇到這種衍射現(xiàn)象，而且由于透鏡的會聚，衍射圖樣的光 強將比菲涅耳衍射圖樣的光強大大增加。圖2-12為紅光單狹縫衍射圖樣，其特點是在中央有一條特別明亮的亮條紋， 兩側排列著一些強度較小的亮條紋，相鄰亮條紋之間有一條暗條紋，如以相鄰暗 條紋之間的間隔作為亮條紋的寬度，則兩側的亮條紋是等寬的，而中央亮條紋的 寬度為其他亮條紋的兩倍。圖2-12紅光單縫衍射圖樣2.5.2強度的計算現(xiàn)在我們用惠更新菲涅耳原理來解釋上述現(xiàn)象。如圖2-13所示。為了清楚起 見，圖中狹縫的寬度已經(jīng)放大。平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平 面重合（垂直于圖面）。將縫的面積分為一組平行于縫長的窄帶，從每一條這樣的

25、窄帶發(fā)出次波。其振幅正比于窄帶的寬度必，設光波的初位相為零，b為縫的 寬度，Ajb,而寬度必的窄條上次波的振幅為A.dx/b 則狹縫處各窄帶所發(fā)次波 的振動可用下式表示：dE.=coscotb這些次波都可認為是球面波，各自向前傳播?，F(xiàn)在，首先對其中沿圖面與原 入射方向成。角（稱為衍射角）的方向傳播的所有各次波進行研究。在入射光束 的平面波面BB9各次波的位相都相等，通過透鏡厶2后在焦平面FF上的同一點P 處疊加。要計算P點的合振幅，必須考慮到各次波的位相關系，這取決于由各窄 帶到P點的光程如何?，F(xiàn)在作平面BD垂直于衍射方向BD ,根據(jù)BD面上各點的 位相分布情況即可決定在P點相遇的各次波的位相

26、關系。我們知道，從平面BD 上各點沿衍射方向通過透鏡而達到P點的光程都相等。這就只要算出從平面到 平面BD的各平行直線段之間的光程差就可以了。而為沿著衍射角0進行的任一 條路程，令BM=x,則MN = xsin0,這就是從M和從B兩點所發(fā)次波沿平行于 MN方向到達平面BD時的光程差。得BD面上N點的光振動的表達式為dE =竽 cos(知in jdE =其復振幅為:Adx ixsinO-cot)b為簡化計算起見，上式中假設各次波到達P點時有相同的振幅（不考慮振幅 與光程與反比的關系以及華僑因數(shù)）。根據(jù)惠更斯一菲涅耳原理，將上式對整個縫 寬（從x=0到x=b）積分。最后可得沿著衍射角9方向傳播的所

27、有次波在觀察點P 疊加起來的合振幅：sin( sin 0)Ap_A)Jib . asm&2令 u =sin 0) / 2 , 的光強為通常稱（sinu）/u為u的sine函數(shù)，并寫成sinew ,故P點Ip = /0 sin c2u(2-6)2. 5. 3衍射花樣的光強分布當光屏放置在透鏡l2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強的分布可由 （2-6）式?jīng)Q定。不同的衍射角e對應于光屏上不同的觀察點。首先來決定衍射花 樣中光強最大值和最小值的位置。即求出滿足光強的一階導數(shù)為零的那些點：d zsin22 sin cos %sin%) n力(2)=3=0du uu由此得sin % = 0, % = t

28、gu分別解以上兩式，可得出所有的極值點。1、單縫衍射中央最大值的位置：由sin% = 0,解得滿足。=（加?siii&o）/2 = 0的些衍射方向，即sin=0間最大值的位置），也就是在焦點Po處，匚。=掩，光強為最大。這里，疊加的各 個次波位相差為零，所以振幅疊加互相加強。2、單縫衍射最小值的位置：由sinu = 0,解得滿足蘇=271 （bsin 0k）/2 = 2kn的一些衍射方向，即sin0k=k 伙=1,2,3J （最小值位置） b時，Ap為零，屏上這些點是暗的。2.6本章小結本章從惠更斯一菲涅耳原理出發(fā)解釋了夫瑯禾費衍射原理，介紹了 4種可以 在實驗室中實現(xiàn)的夫瑯禾費衍射的接收裝置

29、，通過菲涅耳半波帶法說明了單縫衍 射，并針對衍射圖樣的特點分析了夫瑯禾費單縫衍射的光強分布特點。第3章 光強分布的推導3. 1基爾霍夫積分定理假設有個單色光波通過閉合曲線面工傳播，如圖3.1所示。圖3-1積分曲面t時刻、空間P點處的光電場為E（p,t）=E（pyiwt若P是無源點，該光場應滿足標量波動方程：(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)將（3-1）式代入，可得到v2e + 2e（p） = o式中，k =創(chuàng)c ,該式即為亥姆霍茲方程。假設另一個任意復函數(shù)G也滿足亥姆霍茲方程V2G + 2G = 0且在Y面內(nèi)和工面上有連續(xù)的一、二階偏微商，作積分涎-四b8n 8n 丿畢業(yè)設計（論文）其中

30、蕃表示在藝面上每-點沿向外法線方向的偏微商，則由格林定理，有dn式中，V是丫面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關系,jjj(GV2E-EV2G)/V=0v根據(jù)5所滿足的條件，可選取5為球面波的波函數(shù):ikr(3-5)是包圍P點半G = r這個函數(shù)除了在r=0點外，處處解析。(3-4)式中的工應選取圖3-1所示的復合曲面Y + 遼，其中Y 徑為小量的球面，該積分為(36)由(3-5)式，有8G=c( dn8G：os(H,r)- = -cos(n,r)| -/A： drv rdr(3-7)對于面上的點cos(n,r) = -Lr = ,所以dGdnik r0要方竺b = 4磚2故有dndn丿eiks

31、dn-E(-ik = -4葩(P)SEdnOn(eikrd6(3-8)這就是亥姆霍茲一基爾霍夫積分定理。它將P點的光場與周圍任一閉合曲線 工上的光場聯(lián)系起來。3. 2基爾霍夫衍射公式如圖3-2所示，一個無限大的不透明平面屏，其有一開孔用點光源S照明, 設Y的線度5滿足2 1有因此在乙上的積分為、ikE R2dco丿式中0是乙對P點所張的立體角，db是立體角元。由索末菲輻射條件得lim遁加 7?=0,丿（嚴、7?是有界的,所以上面的積分在R s時為零。通過上述討論可知，只需考慮對孔徑面的積分，即cos(H,r)-2dd(3-11)其中略去法線微商中的丄和1的項，因為它們比k要小得多。此式稱為菲涅

32、耳r I基爾霍夫衍射公式。與惠更斯一菲涅耳公式（2-1）進行比較，可得E（e） = （/） = 嚴,K =皿（）-C。耐）c =丄I22將積分面元視為次波源的話，（3-11）式可解釋為：1、P點的光場是工上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波源的復振幅與入射波在該點的復振幅E（q）成正比，與波長成反比；2、因子（-0表明次波源的振動相位超前于入射波%；3、傾斜因子K）表示次波的振幅在各個方向上是不同的，其值在0與1之間。3.3基爾霍夫衍射公式的近似對于一些極簡單的衍射問題，也因為被積函數(shù)形式復雜而得不到解析形式的 積分結果。為此，必須根據(jù)實際條件進一步做近似處理。3.3.1傍軸近似在般的光學系統(tǒng)中，對成像

33、起主要作用的是那些與光學系統(tǒng)光軸夾角極小 的傍軸光線。對于傍軸光線，如圖3-3開孔的線度和觀察屏上的考察范圍都遠小于 開孔到觀察屏的距離。因此，下面的兩個近似條件都成立：1、cos伉r） 1，于是 K（&） u 1 ；2、廠 q Z。于是，（3-11）可以化簡為E = -j-E(Q)eikrd5(3-12)指數(shù)中的r未用$代替，這是因為指數(shù)中所影響的是次波場的相位，的微 小變化都會引起相位的很大變化。3. 3. 2距離近似根據(jù)衍射現(xiàn)象，離衍射孔不同距離處，衍射圖樣是不同的。一種是菲涅耳衍 射或近場衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠，或其中之一是 有限遠的情形；另一種是夫瑯禾費衍射

34、或遠場衍射，指的是光源和接收屏與衍射 屏的距離均為無限遠的情形。1、菲涅耳近似 如圖3-3所示，設QP = r,則由幾何關系有Li(兀 jq )2 + (y 兀)21(x -)2 +(y - yj22 、H2_ 8(3-13)1( 、2( 、2=Jz 1 + (兀 _ 兀1 )2 + (尹 _ 尹1 )2 =召、1 +兀一兀1+y-%1。丿（。丿因為在指數(shù)上的相位因子決定了函數(shù)的周期性，每當相位因子改變兀時，指 數(shù)函數(shù)反號，這種變化是不可忽略的，相位因子中只有遠小于兀的項才可忽略。（兀71+3_訂二 于是，當可大到滿足(3-14)k8時，上式第三項及以后的各項都可略去，即為r 1+丄1 22

35、2(3-15)M + )71 | 旺 + X 2Z1這近似稱為菲涅耳近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。 在菲涅耳近似下，P點的光場復振幅為dxidyi(3-16)2、夫瑯禾費近似當觀察屏離孔的距離很大，滿足k S + % h n(3-17)2可2 ?廠一 1 X + yM(3-18)2zi$這一近似稱為夫瑯禾費近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫夫瑯禾費衍 射。在夫瑯禾費近似下，P點的光場復振幅為2 2q +丁 t嚴+刃1(3-19)e 2Z1 方（旺，力）幺勺dxidyi3.4夫瑯禾費單縫衍射光強分布如果只考慮單色平行光垂直入射到開孔平面上的的夫瑯禾費衍射，則通常采 用圖3-4

36、所示的夫瑯禾費衍射裝置。單色點光源放置在透鏡的前焦平面上，所產(chǎn)生的平行光垂直入射開孔，由 開孔的衍射，在透鏡厶2的后焦平面上可以觀察到開孔工的夫瑯禾費衍射圖樣，后所以后焦平面上的光場復振幅可為E（x,y）=C ”心皿加砂，C 一邑e*卜守（3-20）對于夫瑯禾費單縫衍射，水平縫寬為垂直縫寬為b,則ba,沿y方向的衍 射效應不明顯，只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣。由（3-20）式，衍射屏上P 點的光場復振幅為E（P）=C f/2嚴如皿 一2竽|%廠竺血丄 a/2ikx72 ikxikxsin=Cakxaw瓦 sina (3-21)a式中E =Cq是觀察屏中心點垃處光場復振幅。. 、2 sma a

37、相應P點的光強度為(3-22)式中i0 = lo|2，a7 Q (勿n6)/2,衍射角。zj 兒J在衍射理論中，通常稱（sin22）為單縫衍射因子，/（）為中央明紋中心處光強度，僅為單縫邊緣光線 與中心光線的相位差。根據(jù)（3-22）式可的單縫衍射的光強分布特征：1、在中央P點，0 = 0，我們使僅為一很小的趨于零的角，對僅求極限，則 她=1, 1 = 1,為中央主極大光強。a2、在a = k7r時伙=1、2），振幅A = Ag - sna = o,光強I = 0為暗紋的光強。a3、當僅=3刃2時，同理有厶=嚮smG刃習=0.047/。為一級次極大光強。3刃24、當a = 5/2時，同理有厶=抵

38、s：；2）= O.O16Zo為二級次極大光強。5、當a = 7龍/2時，同理有厶=A? s?；?） = O.OO8Zo為三級次極大光強。3.5本章小結本章主要利用三角公式和積分處理進行夫瑯禾費單縫衍射光強分布的推 導。從基爾霍夫積分定理出發(fā)，進行了基爾霍夫衍射公式的推導，其中主要利 用衍射公式的近似，最終推導出夫瑯禾費的單縫衍射的光強公式。畢業(yè)設計（論文）第4章條紋分析4. 1理論分析4.1.1光強分布的極值點當光屏放置在透鏡L2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強的分布可由 (3-22)式?jīng)Q定，也就是說，衍射光場在P點的強度大小主要由因子僅或sin22 決定。不同的衍射角9對應于光屏上不同的

39、觀察點。1、當僅=0或0 = 0時，該點光強度取最大值：/(P) = /() = /max,稱為主極大值；2、當a = k7i或 sin。= 比2,伙=1,2,3)時，該點強度取極小值：3、相鄰兩個極小值之間存在一個極大值，由于因子sir?刃/1,該極大值的強度總是小于主極大值，故稱之為次極大值。 求出滿足光強的一階導數(shù)為零的那些點：sin2 Q2 sin a (a cos a-sin a)=029解得sin a = 0, a = tan a于是得到夫瑯禾費單縫衍射的次極大值位置滿足關系為：6Z = tano對于這一超越方程其根為a = 1.43兀,2.46兀,3.47兀對應的sin 0值為0

40、00sin & = 1.43-+2.46-+3.47 aaa4.1.2條紋的角寬度和線寬度1、暗紋的角寬度暗紋出現(xiàn)的位置在a = 込2込3込的地方，對應的sin。值為SH1& = , , -a a a任何兩相鄰暗紋間的衍射角的差值為A0 = -,即暗紋是以坨點為中心等間隔左 a右對稱分布的。2、亮紋的角寬度和線寬度以相鄰暗紋的焦距離作為亮紋的角寬度。在傍軸條件下，即&很小時，暗紋的 衍射角位置簡化為0 sin 0 = , k = 1,2,3。中央主極大明紋寬度由k = 1的 a暗紋的衍射角所確定，則主極大亮紋角寬度和線寬度分別為心=/.站=竺a其角寬度和線寬度分別為a(4-1)z 22=，(4

41、-2)a 在兩相鄰暗紋間存在的次極明紋，a 24. 1.3條紋分布的影響因素從以上結論可以看出，夫瑯禾費單縫衍射圖樣的強度隨衍射角度按著函數(shù)關 系sin22變化；相鄰暗條紋中心的角間距相等，因而所有次極大值亮紋的角寬 度相等，但主極大值亮紋的角寬度為次極大值的兩倍；相鄰次極大值亮紋中心不 等間距，隨著衍射級次的增大，相鄰次極大值亮紋中心的間距趨于恒定。由（4-1）和（4-2）式可以看出，條紋分布的影響因素有：1、狹縫的寬度對條紋分布的影響對于給定的波長，亮紋的寬度是與狹縫的寬度成反比的，在波前上對光束限 制越大，也就是縫寬越小的時候，衍射場越彌散，衍射圖樣鋪開的越寬；反之， 當縫寬很大，光束幾

42、乎自由傳播時，A&tO,這表明衍射場基本上集中在沿直線 傳播的原方向上，在透鏡焦面上衍射圖樣收縮為幾何光學像點。2、入射光的波長對條紋分布的影響在保持縫寬不變的條件下，波長越長，衍射效應越明顯；波長越短，衍射效 應越可忽略；但是，實際中，由于波長的數(shù)量級比較小，所以對衍射條紋的影響 不是非常明顯。3、接收屏的距離對條紋分布的影響當其他條件不變的情況下，若接收屏沿軸向向前移動時，接收屏上的條紋間 距變小，衍射圖樣展開范圍減??；若沿軸向向后移動，接收屏上的條紋間距變大， 衍射圖樣展開范圍也增大。4.2仿真分析4. 2. 1 Mat I ab 仿真根據(jù)理論的推導，利用衍射積分法對單縫夫瑯禾費衍射進行

43、Matlab仿真。衍 射積分法是由衍射積分算出接收屏上的光強分布，然后根據(jù)該分布調(diào)制色彩作圖， 從而得到衍射圖案，如圖4-1所示：x 103-0.4-0.200.20.4圖4-1夫瑯禾費單縫衍射Mat lab仿真圖夫瑯禾費單縫衍射的仿真程序：波長632.8nm,縫寬1mm,屏距l(xiāng)m。lam=6328e-10;a=le-3;D=l;ym=3*lam*D/a;ny=51;ys=linspace(-ym,ym,ny);np=51;yp=linspace(O,a,np);for i=l:nysinphi=ys(i)/D;alpha=2 *pi *y p * sinphi/lam; sumcos=sum

44、(cos(alpha); sumsin=sum(sin(alpha);B (i, :)=(sumcosA2+sumsinA2)/npA2;endN=255; Br=(B/max(B) *N; subplot( 1,2,1) image(ym,ys,Br); colormap(gray(N); subplot(l,2,2) plot(B,ys);4.2.2仿真分析1、狹縫的寬度對條紋分布的影響當入射光波長為632.8nm,狹縫到接收屏的距離為lm ,狹縫的縫寬分別為0.5mm （外），1mm （中），1.5mm （內(nèi)），x 103進行仿真得到的仿真圖如圖42所示。-1012-0.4-0.200.

45、20.4圖4-2仿真不同縫寬條紋的對比圖從圖中可以看出，當縫寬改變時，條紋寬度隨著縫寬的增大而減小，反之亦 然。可以得出結論：當只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬也與條紋 寬度成反比。2、接收屏的距離對條紋分布的影響X W4-0.4-0.200.20.4圖4-3仿真不同屏距條紋的對比圖當入射光波長為632.8nm,狹縫的縫寬為1mm ,狹縫到接收屏的距離為分別 為0.5m （內(nèi)），1m （中），1.5m （外），仿真到的條紋對比圖如圖4-3所示。從圖中可以看出，當屏距變大時，明顯觀察到的條紋的間距變大，圖案的展 開范圍也增大?？梢缘贸鼋Y論：當屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距與 條

46、紋的間距成正比。3、入射光的波長對條紋分布的影響圖4-4仿真不同波長條紋的對比圖利用Matlab對狹縫寬度為1mm,屏距為lm,入射光波長分別為500nm （內(nèi)），632.8nm （中），700nm （外）的夫瑯禾費單縫衍射進行衍射條紋仿真。仿 真結果如圖4-4所示。從圖中可以看到，波長越長，衍射效應越明顯；波長越短，衍射效應越可忽 略。而且波長的變化對衍射條紋的影響并不是很明顯。4. 3實驗分析4. 3. 1實驗數(shù)據(jù)采集選取縫寬0.07mm的衍射采集曲線進行實驗分析，女口圖4-5所示。這里不采 用分段測量法，而是在同一光強下讀取實驗數(shù)據(jù)。慢慢移動鼠標，讀取衍射曲線 上幾個特殊點的X （ch）

47、值、Y （A/D）值、電壓值（局部視窗里），測得數(shù)據(jù)見表 4-1：縫到CCD光敏面的垂直距離厶264.5mm表4-1特殊點的數(shù)據(jù)采集情況表空間位置光強X (ch)Y(A/D)電壓中央明紋133332107.83一級暗紋15671060.25一級明紋16271370.33二級暗紋1770310.07二級明紋1843440.10三級暗紋1915270.05三級明紋1995290.06圖4-5單縫衍射圖樣4.3.2實驗分析上一節(jié)從理論上分析了夫瑯禾費單縫衍射條紋的一些影響因素，現(xiàn)在利用以上 實驗采集和條紋仿真，與條紋理論分析的結論進行對比分析研究。1、狹縫的寬度對條紋分布的影響當入射光的波長為650

48、nm,狹縫到接收屏的距離為50cm,狹縫的縫寬分別為0.0068mm （綠1）, 0.0118mm （紅2）, 0.0143mm （藍3）,實驗采集到的條紋對比從圖中可以看到，曲線1的咼度最咼，曲線3的咼度最低，而曲線的咼度表 示為條紋的光強度，也就是說，光強的由強到弱順序為曲線1、曲線2、曲線3, 這個順序恰為縫寬由小到大的順序；當縫寬增大時，條紋的寬度卻減小。可以得 出結論：當只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬與衍射光強成反比， 縫寬也與條紋寬度成反比。當入射光的波長為650nm,狹縫的寬度為0.0143mm,狹縫到接收屏的距離分 別為50cm （綠1）, 70cm （藍2）, 9

49、0cm （紅3）,實驗采集到的條紋對比圖如圖4-7 所示。從圖像中可以看到，曲線1所表示的條紋寬度在三條曲線里是最窄的，曲線3 是三條曲線里最寬的，而且這三條曲線的展開范圍是按著屏距的增大而變大的。 可以得出結論：當只有屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距是與條紋寬度 成正比，條紋分布的圖樣也隨屏距的增大而變得稀疏，反之亦然。4.4對比分析4. 4.1數(shù)值對比分析根據(jù)采集完畢的數(shù)據(jù)計算出實驗值，并和理論值相比較。相對光強/?？梢杂肶 （A/D）值相比得到，也可用電壓值相比得到。當然誤 差是會有的，但誤差很小，基本可以忽略。例如一級明紋的相對光強為：1370 33（Y值相比）一Zq0.0427

50、2或 （電壓值相比） 0.0421532107.83&的理論值計算參照公式0sm3 = m-9其中加=1, 2,即可求得。a實驗值衍射角&的計算：從采集到的曲線數(shù)據(jù)中可計算出一級暗紋離中央主極 大中心的距離，這是原始數(shù)據(jù)，然后乘以CCD光敏元件的中心距才是實際距離。 見表4-1所示，中央主極大中心的X （ch）值為1333, 一級暗紋的X （ch）值為 1567,兩數(shù)之差為234,再乘以中心距11加，得到一級暗紋離中央主極大中心的 距離為2.574沏:。依此方法計算出其它條紋距中央主極大中心的距離（表4-2）。表4-2各級條紋距中央主極大中心的實際距離（xj毫米一級暗紋X一級明紋X2二級暗紋X3二級明紋X4三