高中數(shù)學(xué) 1．2 任意角的三角函數(shù)教案4 新人教版必修

1、任意角的三角函數(shù) 本周重點(diǎn)：1、角的概念的擴(kuò)充； 2、弧度制的引入； 3、任意角的三角函數(shù) 本周難點(diǎn)：1、弧度制的引入； 2、三角函數(shù)線 本周內(nèi)容： 一、角的概念的擴(kuò)充 1角的定義： 平面內(nèi)一條射線OA繞端點(diǎn)從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成的圖形為角,OA稱為的始邊,OB稱為終邊。 2角的正負(fù) 規(guī)定：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角；射線沒有旋轉(zhuǎn)形成零角。 3角的分類： 我們把角的頂點(diǎn)放在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，把角的始邊放在x 軸的非負(fù)方向上，則通過角的終邊的位置把角分成象限角與軸上角兩類。即角的終邊在象限內(nèi)稱為象限角，角的終邊在坐標(biāo)軸上稱為軸上角。 4

2、與角終邊相同的角的集合：S=|=k360+,kZ。 注意：可以是任意角。 5兩個(gè)約定 0到90的角是指：090 090范圍的角是指：090。 二、弧度制的引入 對(duì)于一個(gè)新的制度，首先需要規(guī)定單位，在弧度制中首先要規(guī)定1個(gè)弧度。 1弧度角：圓中弧長等于半徑的弧所對(duì)的圓心角規(guī)定為1弧度。 定義：角的弧度數(shù)的絕對(duì)值。 |=。 其中角所對(duì)弧長為l，r是圓的半徑。 角度制與弧度制的互化 當(dāng)l=2r（即圓的周長）時(shí)，圓心角的弧度數(shù)是2, 角度數(shù)為360，則有： 2弧度=360 弧度=180 1弧度57.3=5718 注：角的弧度數(shù)的單位“弧度”兩字可以省略，但角度數(shù)中的“”不能省略。 三、任意角三角函數(shù)

3、1三角函數(shù)的定義： 設(shè)：角終邊上任一點(diǎn)P(x, y)，|OP|=r 則：sina=, cosa=, tana= cota=, seca=, csca= 由定義可知余割、正割、余切是正弦、余弦、正切的倒數(shù)，因此今后我們研究問題時(shí)，只研究正弦、余弦、正切即可。 不同象限中三角函數(shù)的符號(hào)： 2三角函數(shù)線 三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，即數(shù)形結(jié)合中的形。 由于定義三角函數(shù)時(shí)點(diǎn)P是角終邊上任意一點(diǎn)，因此我們可以取距離原點(diǎn)O為1的點(diǎn)作為P點(diǎn)，而所有距離0為1的構(gòu)成以原點(diǎn)為圓心，1（單位）為半徑的圓，稱為單位圓，在單位圓中我們來研究三角函數(shù)的幾何表示。 設(shè)：角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，即|OP|=r=1.

4、過P作PMx軸于M點(diǎn)，則sin=MP, cos=OM. 由于正弦，余弦的定義是點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)與r的比，因此MP，OM沒有加絕對(duì)值，即其中帶有正負(fù)，顯然與初中平面幾何的含義不同，這里首先要介紹幾個(gè)概念： 有向線段：規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段，即等等； 有向線段的數(shù)量：MP，OM，當(dāng)與正方向一致時(shí)，MP為正；當(dāng)與正方向相反時(shí)，MP為負(fù)。 有線向段的長度：|，|. 顯然sin=MP中MP是有向線段的數(shù)量。而有向線段稱為角的正弦線，有向線段稱為角的余弦線。 如何尋找正切線呢？ 取A(1,0)，過A作ATx軸，交角的終邊于T，此時(shí)tan=AT. 則有向線段為角的正切線。對(duì)于余切線，正割線，余割線在這里我們

5、就不作為要求了。 四、例題選講 例1在-180到180中找出與下列角終邊相同的角。(1)-234(2)1245(3)56033(4)-224.31 解：(1)滿足條件的角：-234+360=126. (2)滿足條件的角：1245-1080=165. (3)滿足條件的角：56033-720=-15927. (4)滿足條件的角：-224.31+360=135.69. 例2用弧度制表示下列角的集合。 (1)x軸上的角；(2)第四象限角； (3)與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱的角；(4)終邊在直線y=x上。 解：(1)|=k,kZ (2)|2k+2k+2,kZ =|2k-2k, kZ (3) |=2k-, kZ

6、 (4) |=k+, kZ 例3已知：是第三象限角，求(1)2(2)(3)終邊所在的位置。 解： 是第三象限角， 2k+ 2k+( kZ) 則(1) 4 k+224k+3( kZ) 即2的終邊在一，二象限及y軸非負(fù)半軸上； (2) k+ k+( kZ) 如圖：的終邊落在二，四象限。 (3) k+0. (2) -=-4+, 即-是第一象限角， tan(-)0. (3) -22是第四象限角， sec(-22) 0. (4) -5.2+21.08, 即-5.2是第一象限角， cos(-5.2)0. 例5滿足下列條件的角的集合。 (1)sincos0(2) 0, sin與cos同號(hào)即可， 是第一，三象

7、限角。 即：x|kxk+,kZ, 也可表示為(k,k+)(kZ). (2) 0, tan與sin異號(hào)， 是第二，三象限角， x|2k+x2k+,且x2k+,kZ. (3) |sin|=-sin, sin0, 是第三，四象限x軸上及y軸非正半軸角， 即x|2k-x2k,kZ，也可表示為：2k-,2k(kZ). 例6已知：角終邊經(jīng)過P(-3a, 4a)(a0)。求角的六個(gè)三角函數(shù)。 解：(1)當(dāng)a0時(shí)，點(diǎn)P在第二象限，則為第二象限角， 即x=-3a, y=4a, r=5a sin=, cos=-, tan=- cot=-, sec=-, csc=. 例7已知：為銳角，求證：sintan。 證明：本題利用三角函數(shù)線表示，如左圖，單位圓中 SOPAS扇OPASOAT SOPA=OAMP S扇OPA= OA SOAT=OAAT MP AT 單位圓中，sin=MP, = , tan=AT sin0, cosx0, tanx0, cotx0, y=4. (2)當(dāng)x為第二象限時(shí)， sinx0, cosx0, tanx0, cot0, y=-2. (3)當(dāng)x為第三象限時(shí)， sinx0, cosx0, cotx0, y=0. (4)當(dāng)x為第四象限角時(shí)， sinx0, tanx0, cotx0, y=-2. 值域：-2，0，4