2017屆北師大版數(shù)列的綜合應(yīng)用 專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練

1、專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1.設(shè)an,bn分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,a1=b1=4,a4=b4=1,則下列結(jié)論正確的是()A.a2b2B.a3b5D.a6b6【解析】選A.設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,由題可得d=-1,q=322,于是a2=3b2=2,故選A.【加固訓(xùn)練】若數(shù)列x,a1,a2,y成等差數(shù)列,x,b1,b2,y成等比數(shù)列,則(a1+a2)2b1b2的取值范圍是.【解析】由等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)得所以=2+.當(dāng)x,y同號(hào)時(shí),+2;當(dāng)x,y異號(hào)時(shí),+-2.所以的取值范圍為(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知數(shù)列an,bn滿足a1=1,且an,an+

2、1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個(gè)零點(diǎn),則b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】選D.依題意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,成等比數(shù)列,a2,a4,a6,也成等比數(shù)列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因?yàn)閍n+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.設(shè)an(nN*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.dS5D.S6與S7均為Sn的最大值【解析】選C.因?yàn)閍n是等差數(shù)列,所以Sn=n2+a1-d2n.因?yàn)镾5S8,所以Sn關(guān)于

3、n的二次函數(shù)開口向下,對稱軸為n=6.5,所以d0,S6與S7均為Sn的最大值,S90時(shí),若x=n,nN*,則f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整數(shù),則f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整數(shù)部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知數(shù)列an滿足:an=F(n,2)F(2,n)(nN*),若對任意正整數(shù)n,都有anak(kN*)成立,則ak的值為()A.89B.2C.1D.4【解析】選A.an=,=,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有當(dāng)n=1,2時(shí),2n2(n+1)2,即當(dāng)n3時(shí),an+1a

4、n,故數(shù)列an中的最小項(xiàng)是a1,a2,a3中的較小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值為.5.甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在2012年1月份時(shí)相同,甲以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比相同.到2012年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠2012年6月份的月產(chǎn)值大小,則有()A.甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值B.甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值C.甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值D.不能確定【解析】選C.設(shè)甲各個(gè)月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列an,乙各個(gè)月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列bn,則數(shù)列an為等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=b6,由于在等差數(shù)列an中

5、的公差不等于0,故a1a11,上面的等號(hào)不能成立,故a6b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值.【方法技巧】建模解數(shù)列問題(1)分析題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系.(2)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項(xiàng),還是其他數(shù)學(xué)問題.(3)通過建立的關(guān)系求出相關(guān)量.【加固訓(xùn)練】植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào),為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小,樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為()A.1和20B.9和10

6、C.9和11D.10和11【解析】選D.設(shè)樹苗放在第i個(gè)樹坑旁邊(如圖所示)則各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑的距離的和是S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以當(dāng)i=10或11時(shí),S有最小值.二、填空題6.對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列ann+1的前n項(xiàng)和是.【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,導(dǎo)數(shù)為y=nxn-1-(n+1)xn,所以曲線在x=2處的切線斜率為k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切點(diǎn)為(2,-2n),所以切線方程為y

7、+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以=2n,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以其前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2.答案:2n+1-27.(2015昆明模擬)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格,即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,最高銷售限價(jià)b(ba)以及實(shí)數(shù)x(0xa,b-a0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=.因?yàn)?x1,所以最佳樂觀系數(shù)x的值等于.答案:8.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,

8、2n,n-1n,有如下運(yùn)算和結(jié)論:a24=38;數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比數(shù)列;數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n項(xiàng)和為Tn=n2+n4;若存在正整數(shù)k,使Sk10,Sk+110,則ak=57.其中正確的結(jié)論有.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)【解析】依題意,將數(shù)列an中的項(xiàng)依次按分母相同的項(xiàng)分成一組,第n組中的數(shù)的規(guī)律是:第n組中的數(shù)共有n個(gè),并且每個(gè)數(shù)的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n組中的各數(shù)和等于=,對于,注意到21=240,即b2b1,當(dāng)n2時(shí),bn+1-bn0,即bn+1bn,又b1=,

9、b2=2,b3=158,b4=,b5=3532.要使集合M=n|bn,nN*恰有4個(gè)元素,須3532.所以,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是35325時(shí),bn0.從而當(dāng)n5時(shí),有Tn=|b1|+|bn|=-(b1+bn)=.當(dāng)n5時(shí),有Tn=|b1|+|b2|+|bn|=-b1-b2-b3-b4-b5+b6+bn=(b1+b2+bn)-2(b1+b2+b3+b4+b5)=+20.綜上所述,Tn=【加固訓(xùn)練】已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,根據(jù)a1+a2+a3=

10、-3可得a2=-1,進(jìn)而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=3.當(dāng)d=3時(shí),a1+3=-1,得a1=-4,此時(shí)an=-4+(n-1)3=3n-7;當(dāng)d=-3時(shí),a1-3=-1,得a1=2,此時(shí)an=2+(n-1)(-3)=-3n+5.所以an的通項(xiàng)公式為an=3n-7或an=-3n+5.(2)d=3時(shí),a2=-1,a3=2,a1=-4,此時(shí)a2,a3,a1成等比數(shù)列;當(dāng)d=-3時(shí),a2=-1,a3=-4,a1=2,此時(shí)a2,a3,a1不是等比數(shù)列,故an=3n-7,這個(gè)數(shù)列的第一、二兩項(xiàng)為負(fù)值,從第三項(xiàng)開始為正值.方法一:當(dāng)n2時(shí),|an|=7-3n

11、,這是一個(gè)首項(xiàng)為4,公差為-3的等差數(shù)列,故Sn=4n+(-3)=-+;當(dāng)n2時(shí),|an|=an=3n-7,此時(shí)這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)起是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列,故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+=-+10.所以Sn=這個(gè)式子中n=2時(shí)兩段函數(shù)值相等,故可以寫為Sn=方法二:設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=-.由于n2時(shí),|an|=-an,所以此時(shí)Sn=-Tn=-+;當(dāng)n2時(shí),Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10.所以Sn=這個(gè)式子中n=2時(shí)兩段函數(shù)值相等,故可以寫為Sn=11.已知數(shù)列an

12、中,a1=1,且點(diǎn)P(an,an+1)(nN*)在直線x-y+1=0上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=1an,Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+Sn-1=(Sn-1)g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.【解題提示】(1)由條件尋找an與an+1的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列,求an.(2)利用函數(shù)與方程思想,探求g(n).【解析】(1)把P點(diǎn)代入直線x-y+1=0得:an+1-an=1,所以an是公差為1的等差數(shù)列,又a1=1,因此可得:an=n(nN*).(2)因?yàn)閎n

13、=,所以Sn=+.有S1+S2+S3+Sn-1=(n-1)+(n-2)+(n-3)+n-(n-1)=n+-=n-n+1=n=n(Sn-1).當(dāng)n2,nN*時(shí),g(n)存在,且g(n)=n.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,對一切正整數(shù)n,點(diǎn)Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,且過點(diǎn)Pn(n,Sn)的切線的斜率為kn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差數(shù)列cn的任一項(xiàng)cnQR,其中c1是QR中的最小數(shù),110c10115,求cn的通項(xiàng)公式.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上

14、,所以Sn=n2+2n(nN*).當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3滿足上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n+1.(2)因?yàn)镼=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*,所以QR=R.又因?yàn)閏nQR,其中c1是QR中的最小數(shù),所以c1=6,因?yàn)閏n的公差是4的倍數(shù),所以c10=4m+6(mN*).又因?yàn)?10c102n-12.【解題提示】(1)先利用an=Sn-Sn-1(n2)把Sn與an的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系式,判斷數(shù)列的性質(zhì),求其通項(xiàng)公式.(2)根據(jù)(1),求出數(shù)列bn的前三項(xiàng),利用b22=b1b3列出方程即可求得a的值.(3

15、)先求出數(shù)列cn的通項(xiàng)公式,根據(jù)所求證問題將其放縮,然后利用數(shù)列求和公式證明.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a(S1-a1+1),得a1=a.當(dāng)n2時(shí),Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),兩式相減,得an=aan-1,又a0,所以an0,則=a.即an是等比數(shù)列,所以an=aan-1=an.(2)由(1)及a1知bn=(an)2+an,bn=,若bn為等比數(shù)列,則有b22=b1b3,而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1),故a3(2a+1)2=2a2a4(2a2+a+1),解得a=,再將a=代入bn,得bn=,結(jié)論成立,所以a=.

16、(3)由(2)知an=,所以cn=-=+=2-+.所以cn2-+.Tn=c1+c2+cn+2-+=2n-+2n-.結(jié)論成立.【加固訓(xùn)練】已知等差數(shù)列an的公差為2,其前n項(xiàng)和Sn=pn2+2n(nN*).(1)求p的值及an.(2)若bn=2(2n-1)an,記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求使Tn910成立的最小正整數(shù)n的值.【解題提示】【解析】(1)方法一:因?yàn)閍n是公差為2的等差數(shù)列,所以Sn=na1+d=na1+2=n2+(a1-1)n.又由已知Sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1

17、=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差數(shù)列的公差為2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=-,所以Tn=b1+b2+b3+bn=+=1-=.因?yàn)?/p>

18、Tn,所以,所以20n18n+9,即n,又nN*,所以使Tn成立的最小正整數(shù)n=5.13.(2015重慶模擬)某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場勤工儉學(xué),該商場向他提供了三種付酬方案:第一種,每天支付38元;第二種,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此類推;第三種,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作時(shí)間為n天.(1)工作n天,記三種付酬方式薪酬總金額依次為An,Bn,Cn,寫出An,Bn,Cn關(guān)于n的表達(dá)式.(2)如果n=10,你會(huì)選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬?【解析】(1)設(shè)三種付酬方式每天金額依次為數(shù)列an,bn,cn,它們的前n項(xiàng)和依次分別為An,Bn,Cn.依題意,第一種付酬方式每天金額組成數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列,則An=38n.第二種付酬方式每天金額組成數(shù)列bn為首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列,則Bn=4n+4=2n2+2n.第三種付酬方式每天金額組成數(shù)列cn為首項(xiàng)是0.4,公比為2的等比數(shù)列,則Cn=0.4(2n-1).(2)由(1)得,當(dāng)n=10時(shí),A10=3810=380,B10=2102+210=220,C10=0.4(210-1)=409.2.所以B10A10C10.答:應(yīng)該選擇第三種付酬方案.【加固訓(xùn)練】有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目,在每月某日存入一筆相同金額,這是零存;到期可以提出全部本金和利息