高考數(shù)學(xué)文理通用一輪復(fù)習(xí)課件第七章立體幾何第7講

1、第 七 章,第七講 立體幾何中的向量方法,立體幾何,考 綱 解 讀,知 識 梳 理,知識點一利用空間向量求空間角 1兩條異面直線所成的角 (1)范圍：兩條異面直線所成的角的取值范圍是_. (2)向量求法：設(shè)異面直線a，b的方向向量為a，b，直線a與b的夾角為，a與b的夾角為，則有cos_. 2直線與平面所成的角 (1)范圍：直線和平面所成的角的取值范圍是_. (2)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin_或cossin.,|cos|,|cos|,3二面角 (1)二面角的取值范圍是_ (2)二面角的向量求法： 若AB，CD分別是二面角

2、l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖),0，,B,(4)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為45. A0B1 C2D3 解析(1)(3)(4)不正確，(2)正確，故選B,B,A,C,C,C,解析如圖，過P作PO平面ABCD，垂足為O，以O(shè)為原點，過O作DA的平行線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,考 點 突 破,考點1利用向量求線線角,A,探究訓(xùn)練 1,A,向量法求異面直線所成的角的方法 (1)基向量法：利用線性運(yùn)算 (2)坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)運(yùn)算 注意：向量法求

3、異面直線所成角與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍,考點2利用向量求線面角,探究訓(xùn)練 2,B,(1)向量法求線面角的兩大途徑 分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角) 通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角,提醒：在求平面的法向量時，若能找出平面的垂線，則垂線上取兩個點可構(gòu)成一個法向量 (2)利用平面的法向量求線面角時的注意點 求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補(bǔ)角)，取其余角即為所求 若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin2cos21求出其值不要誤以為直線的方向向量

4、與平面的法向量所夾角的余弦值為所求,考點3利用向量求二面角,探究訓(xùn)練 3,解析(1)設(shè)BD的中點為O，連接AO，EO， ABAD，AOBD 又E為BC的中點， EOCD CDBD，EOBD， OAOEO， BD平面AOE. 又AE平面AOE， AEBD,(1)利用向量法確定二面角大小的常用方法 找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小 找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 (2)向量法應(yīng)用(二面角大小(范

5、圍)的技巧 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將兩平面的法向量用與待求相關(guān)的參數(shù)(字母)表示，利用兩向量的夾角公式構(gòu)建方程或不等式或函數(shù)，進(jìn)而求解,考點4利用空間向量求距離,解析取CD中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD 又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD 取O為原點，直線OC，BO，OM為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究訓(xùn)練 4,C,點撥空間中的距離問題一般都可以轉(zhuǎn)化成點到點的距離、點到線的距離和點到面的距離其中點到點的距離、點到線的距離可用空間向量的模來求解，點到面的距離可借助于平面的法向量求解,名 師 講 壇,思考方法巧用向量法解立體幾何中的探索問題(二) 探索

6、性問題的求解策略 (1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等 (2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù),解析(1)因為平面PAD平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD，所以ABPD 又PAPD，所以PD平面PAB (2)取AD的中點O，連接PO，CO. 因這PAPD，所以POAD 因為PO平面PAD，平面PAD平面ABCD， 所以PO平面ABCD 因為CO平面ABCD，所以POCO. 因為ACCD，所以COAD,如圖建立空間直角坐標(biāo)

7、系Oxyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1) 設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，,跟蹤訓(xùn)練,解析方法一：(幾何法)(1)如圖1，連接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知BC1AD1. 當(dāng)1時，P是DD1的中點，又F是AD的中點，所以FPAD1. 所以BC1EP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直線BC1平面EFPQ.,思 想 方 法,方法技巧 1用向量來求空間角，都需將各類角轉(zhuǎn)化成對應(yīng)向量的夾角來計算，問題的關(guān)鍵在于確定對應(yīng)線段的向量 2求點到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點為端點的平面的斜