高考平面向量專題突破

1、 平面向量【考情上線】1. 平面向量這部分知識本身很重要，作為工具性知識廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何的教學(xué)中，以填空題考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題，向量的基本運算可以為真空題，也可以為中檔的解答題，向量與數(shù)列、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容的綜合問題對學(xué)生的能力考查有較高的要求，以解答題考查圓錐曲線中的典型問題，此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主。平面向量的基本概念及線性運算【知識回顧】一、向量的有關(guān)概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如

2、：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長度），如的模分別記作|和。注：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。3. 幾類特殊向量（1） 零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）（2） 單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量。將一個向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：（3） 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，稱為平行向量。記作。規(guī)定：與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移

3、到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。（4）相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。關(guān)于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， =； ； 若、是互為相反向量，則=,=,+=。（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量。記為。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合。二、向量的線性運算1.向量加法（1）定義：求兩個向量和的

4、運算叫做向量的加法設(shè)，則+=。規(guī)定：；（2）向量加法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則” 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線。 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。注：當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（3）向量加法的運算律：交換律： 結(jié)合律：2.法向量的減（1） 定義：若則向量叫做與的差，記為。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。（2） 向量減法的法則“三

5、角形法則”與“平行四邊形法則”BC 三角形法則：當(dāng)有共同起點時，表示為從減向量的終點指向被減向量的終點的向量。 平行四邊形法則：兩個已知向量是要共始點的，差向量是如圖所示的對角線。設(shè)則-=.3.實數(shù)與向量的積（1） 定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： ； 當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的。（2） 數(shù)乘向量的運算律；。三、向量共線定理1. 定理：若與是兩個非零向量，則共線有且只有一個實數(shù)，使得，即 2. 推論：若與是兩個非零向量，則共線存在兩個均不為零的實數(shù)，使得，3. 應(yīng)用：可以證明三點共線：三點共線。四、平面向量的基本定理1.

6、 定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：。我們把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。2. 注意：要平面內(nèi)的兩個向量不共線，都可以作為一組基底，當(dāng)用基底寫成時，稱之為向量的分解， 當(dāng)若與是兩個非零向量，則共線有且只有一個實數(shù)，使得時，稱為向量的正交分解。3. 應(yīng)用：證明向量共面：若不共線，則與共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使證明四點共面：若不共線，存在實數(shù)對使四點共面，證明三點共線：若不共線，存在實數(shù)對使 三點共線。五、平面向量的坐標(biāo)表示與運算1. 平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基

7、底，由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作的橫坐標(biāo)，y叫做作縱坐標(biāo)。規(guī)定： ， 相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān)2. 平面向量的坐標(biāo)運算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則；若， 則六、線段的定比分點從標(biāo)公式設(shè)直線上有一條有向線段和一個不同于的動點P，若,即,則稱點P為有向線段的定比分點，且稱P分有向線段成定比。設(shè)，則若，得到中點坐標(biāo)七、幾個重要結(jié)論1. ，2. 若為的重

8、心?！纠}講解】考點一：向量的基本概念例1. 判斷下列命題是否正確，不正確的說明理由。（1） 若向量同向，且，則；（2） 若向量，則的長度相等且方向相同或相反；（3） 對于任意向量，且的方向相同，則；（4） 由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行。（5） 向量與向量是共線向量，則四點在一條直線上；（6） 起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量。解：（1）不正確，因為向量是不同于數(shù)量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故（1）不正確. （2）不正確，由只能判斷兩個向量長度相等，不能判斷方向。 （3）正確，因為，且方向相同，由兩向量相等的條件可得 （

9、4）不正確，由零向量性質(zhì)可得與任一向量平行，可知（4）不正確。 （5）不正確，若向量與向量是共線向量，則向量與所在的直線平行或重合，因此，不一定共線。 （6）正確，對于一個向量只要不改變其大小與方向，是可以任意平行移動的。例2. 判斷下列各命題是否正確：（1） 若，則；（2） 單位向量都相等；（3） 向量就是有向線段；（4） 兩相等向量若其起點相同，則終點也相同；（5） 若，則；（6） 若，則；（7） 若四邊形是平行四邊形，則解：（1）不正確，由只能判斷兩個向量長度相等，不能判斷方向（2）不正確，單位向量只是模均為單位長度1，而對方向沒有要求；（3）不正確，有向線段有三個要素：起點、終點及長度

10、，向量有兩個要素：大小與方向。有向線段只是向量的一種表示形式，不能把兩者等同起來；（4）正確，因兩相等向量的模相等，方向相同，故當(dāng)它們的起點相同時，則終點必重合；（5）正確，由向量相等定義可得（6）不正確，若，則對兩個不共線的向量與，也有，但（7）不正確，考點二：向量的基本運算例3. 如圖所示，已知，試用 表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右圖，以向量為邊作,用表示解：， 又即有考點三：共線向量例5. 設(shè)兩個非零向量不共線，（1）若，求證：三點共線。（2）試確定實數(shù)，使和共線。解：（1）證明：，共線。又它們有公共點B，三點共線（2）與共線，存在實數(shù)，使得 即，是不花線的兩個非零向量，例

11、6設(shè)兩個非零向量不共線.(1)如果，求證：三點共線；(2)如果，且三點共線，求的值。解：（1）證明： 與共線，又與有公共點,三點共線(2) 三點共線,與共線，從而存在實數(shù)使得即，由平面向量的基本定理，得考點四：向量坐標(biāo)的基本運算例7.已知,設(shè)，且，(1)求(2)求滿足的實數(shù)；(3)求的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。解：由已知得：(1)=(2)（3），又例8.已知向量，且，求實數(shù)的值。解： ， 又，考點五：共線向量的綜合問題例9.如圖所示，已知點，求和交點的坐標(biāo)。解：法一：設(shè)，則，由共線的充要條件知：，解得，點坐標(biāo)為法二：設(shè)，則共線， 又,且向量共線。 ，聯(lián)立得點坐標(biāo)為例10.如圖所示，在中，與將于點，設(shè)以

12、為基底表示.解：設(shè)則，三點共線，即 而,三點共線，即由，【例題講解】考點一：向量的基本概念例1. 判斷下列命題是否正確，不正確的說明理由。（1） 若向量同向，且，則；（2） 若向量，則的長度相等且方向相同或相反；（3） 對于任意向量，且的方向相同，則；（4） 由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行。（5） 向量與向量是共線向量，則四點在一條直線上；（6） 起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量。例2. 判斷下列各命題是否正確：（1） 若，則；（2） 單位向量都相等；（3） 向量就是有向線段；（4） 兩相等向量若其起點相同，則終點也相同；（5） 若，則；（6） 若，則；（7） 若四

13、邊形是平行四邊形，則考點二：向量的基本運算例3. 如圖所示，已知，試用表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右圖，以向量為邊作,用表示考點三：共線向量例5. 設(shè)兩個非零向量不共線，（1）若，求證：三點共線。（2）試確定實數(shù)，使和共線。例6設(shè)兩個非零向量不共線.(1)如果，求證：三點共線；(2)如果，且三點共線，求的值?？键c四：向量坐標(biāo)的基本運算例7.已知,設(shè)，且，(1)求(2)求滿足的實數(shù)；(3)求的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。例8.已知向量，且，求實數(shù)的值。考點五：共線向量的綜合問題例9.如圖所示，已知點，求和交點的坐標(biāo)。例10.如圖所示，在中，與將于點，設(shè)以為基底表示.平面向量數(shù)量積的物理背景及

14、其含義三維目標(biāo)： 1、知識與技能：（1）理解平面向量數(shù)量積的幾何意義及其物理意義； （2）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；（3）理解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（4）了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2、過程與方法 （1）在學(xué)習(xí)和運用向量的數(shù)量積的過程中，進(jìn)一步體會平面向量本質(zhì)及它與生活和自然科學(xué)聯(lián)系，認(rèn)識事物的統(tǒng)一性，并通過學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法以及分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、嚴(yán)

15、謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。（3）通過對向量的數(shù)量積的探究、交流、總結(jié)，從各角度、用各方法來體會向量之間的關(guān)系和作用，不斷從感性認(rèn)識提高到理性認(rèn)識，。3、情態(tài)與價值觀（1）通過用向量數(shù)量積解決問題的思想的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識抽象性、概括性和應(yīng)用性，培養(yǎng)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。（2）通過對向量數(shù)量積及所產(chǎn)生的思想方法的學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神； 教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義及應(yīng)用(能利用數(shù)量積解決求

16、平行、垂直、夾角等問題) 教學(xué)難點：平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。二、合作探究，精講點撥SF探究一：數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 bcos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記

17、作：，即：= cos（2）定義說明：記法“”中間的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學(xué)生回答：線性運算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。（4）學(xué)生討論，并完成下表：的范圍090=900180的符號（5）探究題組一 ：已知，當(dāng)，與的夾角是60時，分別求.解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾

18、角是60時，有cos60369評述： 兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)時，有0或180兩種可能. 探究二：研究數(shù)量積的幾何意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos注：投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|.2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學(xué)生回答：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影cos 的乘積。探究三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì)1、數(shù)量積的性質(zhì) 性質(zhì)：若和均為非零

19、向量 （1）0 （垂直）（2）與同向時， =，與 反向 時， =-特別地：=2 = （長度）（3）cos=（夾角）（4） （注意等號成立的條件）2、探究題組二已知=6，=4, 與的夾角為60，求（+2 ）（-3），并思考此運算過程類似于實數(shù)哪種運算？解：（+2 ）（-3）=.-3.+2.-6. =36-3460.5-644 = -72評述：可以和實數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運算律變式：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22 探究題組3：解： 3、 思悟小結(jié)：知識線：（1）平面向量的數(shù)量積；（2）平面向量的數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；4）平面向量的數(shù)量積

20、與向量投影的關(guān)系。思想方法線：（1）公式或定義法；（2）數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法。四、針對訓(xùn)練 鞏固提高： 1、 下列各式（1） （2）（3）（4）正確的個數(shù)為 2、 已知：，則在上的投影為 3、 下列命題中（1） （2） （3）（4） （5） （6）其中真命題的個數(shù)有 4、 5、13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點，它的一個焦點坐標(biāo)為，分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線上的點，若（、），則、滿足的一個等式是 4ab=1 。解析：因為、是漸進(jìn)線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為又雙曲線方程為，=，化簡得4ab=116）已知平面向量滿足，且與的夾角為120，則的取值范圍是_解析：利

21、用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，突出考察了對問題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。12.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，則m 1 .解析：，所以m=-113.已知向量，滿足， 與的夾角為60，則 【答案】 【解析】考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識，如圖，由余弦定理得：13）已知平面向量則的值是 答案 ：15）如圖，在中，,則 .【答案】D綜合鞏固提升一、選擇題(每題5分，共10題，50分) 已知為等邊三角形,設(shè)點滿足,若,則（）ABCD【答案】A 【命題意圖】本

22、試題以等邊三角形為載體,主要考查了向量加減法的幾何意義,平面向量基本定理,共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運用. 【解析】=,=, 又,所以,解得. 設(shè)是兩個非零向量.（）A若,則 B若,則 C若,則存在實數(shù),使得D若存在實數(shù),使得,則【答案】【解析】利用排除法可得選項C是正確的,則共線,即存在實 數(shù),使得.如選項A:時, 可為異向的共線向量;選項B:若,由正方形得不成立;選項D:若存在實數(shù),使得,可為同向的共線向量,此時顯然不成立. 設(shè),向量,且,則（）ABCD10【答案】B 【解析】由,由,故. 【考點定位】本題主要考查兩個向量垂直和平行的坐標(biāo)表示,模長公式.解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)、,得到的值

23、,只要記住兩個向量垂直,平行和向量的模的坐標(biāo)形式的充要條件,就不會出錯,注意數(shù)字的運算. 設(shè)都是非零向量,下列四個條件中,使 成立的充分條件是（）ABCD且【答案】D 【解析】若使成立,則方向相同選項中只有D能保證,故選D. 【點評】本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識時需注意易考易錯零向量,其模為0且方向任意. 已知兩個非零向量滿足,則下面結(jié)論正確的是（）AB CD【答案】B 【解析一】由,平方可得, 所以,故選B 【解析二】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知與分別為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,因為,所以該平行四邊形為矩形,所以,故選B 【點評】本題主要考查平面

24、向量的運算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系,屬于容易題.解析一是利用向量的運算來解,解析二是利用了向量運算的幾何意義來解. 在中,則（）ABCD【答案】A 【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算、余弦定理等知識.考查運算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.需要注意的夾角為的外角. 對任意兩個非零的平面向量 和 ,定義,若平面向量 滿足與的夾角,且 和 都在集合中,則（）AB1CD【答案】C【解析】因為,且和都在集合中,所以,所以,且,所以,故有,選C. 【另解】 兩式相乘得因為 ，均為正整數(shù)，于是 所以所以而所以于是，故選C 若向量,則（

25、）ABCD 【答案】A【解析】:. 中,邊上的高為,若,則（）ABCD 【答案】D 【命題意圖】本試題主要考查了向量的加減法幾何意義的運用,結(jié)合運用特殊直角三角形求解點D的位置的運用. 【解析】由可得,故,用等面積法求得,所以,故,故選答案D 在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后,得向量則點的坐標(biāo)是（）ABCD【解析】選 【方法一】設(shè) 則 【方法二】將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后得 則 二、填空題（每題5分，共6題，30分）已知向量夾角為 ,且;則 【答案】 【解析】 在中,是的中點,則【答案】 【解析】此題最適合的方法是特例法. 假設(shè)是以的等腰三角形,如圖, =.= 在平行四邊形中,邊的長分別為2

26、、1. 若分別是邊 上的點,且滿足,則的取值范圍是_ . xyABCDMN【解析】 如圖建系,則. 設(shè),則, 所以 , 故 因為,所以單調(diào)減,【評注】 當(dāng)然從搶分的戰(zhàn)略上,可冒用兩個特殊點:在(在)和在(在),而本案恰是在這兩點處取得最值,蒙對了,又省了時間! 如圖,在矩形中,點為的中點,點在邊上,若,則的值是_.【答案】. 【考點】向量的計算,矩形的性質(zhì),三角形外角性質(zhì),和的余弦公式,銳角三角函數(shù)定義. 【解析】由,得,由矩形的性質(zhì),得. ,. 記之間的夾角為,則. 又點E為BC的中點,. . 本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系,求出各點坐標(biāo)后求解. 已知正方形的邊長為1,點是邊上的動點,則

27、的值為_;的最大值為_.【答案】; 【解析】根據(jù)平面向量的點乘公式,可知,因;,而就是向量在邊上的射影,要想讓最大,即讓射影最大,此時點與點重合,射影為,所以長度為1 若平面向量滿足:;則的最小值是【答案】 【解析】的最小值是 高三數(shù)學(xué)平面向量綜合練習(xí)題一、選擇題1、設(shè)平面向量=(2，1)，=(，1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是A、B、(2，+)C、(，+)D、(，)2、設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列為與共線的充要條件的有存在一個實數(shù)，使=或=；|=|；(+)/()A、1個 B、2個 C、3個 D、4個3、若函數(shù)y=2sin(x+)的圖象按向量(，2)平移后，它的一條對稱軸

28、是x=，則的一個可能的值是 A、 B、 C、 D、4、ABC中，若，則ABC必約A、直角三角形 B、鈍角三角形C、銳角三角形 D、等腰三角形5、已知ABC的三個頂點A、B、C及所在平面內(nèi)一點P滿足，則點P與ABC的關(guān)系是A、P在ABC內(nèi)部 B、P在ABC外部C、P在直線AB上D、P在ABC的AC邊的一個三等分點上6、在邊長為1的正三角形ABC中，則=A、1.5 B、1.5 C、0.5 D、0.5題號123456答案二、填空題1、已知=(cos，sin)，=(，1)，則|2|的最大值為_2、已知P(x，y)是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩焦點，若F1PF2為鈍角，則x的取值范圍為_3、設(shè)=(a

29、,b)，=(c,d)，規(guī)定兩向量m, n之間的一個運算“”為=(acbd，ad+bc)，若已知=(1，2)，=(4，3)，則=_4、將圓x2+y2=2按=(2，1)平移后，與直線x+y+=0相切，則實數(shù)的值為_三、解答題1、已知平面內(nèi)三向量、的模為1，它們相互之間的夾角為1200。（1）求證：；（2），求k的取值范圍。2、設(shè)兩個向量、滿足|=2，|=1，與的夾角為600，若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍。3、ABC內(nèi)接于以o為圓心，l為半徑的圓，且，求：，。4、拋物線與過點M(1，0)的直線l相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若=0，求直線l的方程。5、設(shè)=(m，n)，=(p，q)，定

30、義向量間運算“*”為：*=(mpnq，mq+np)。（1）計算|、| 及 |*|；（2）設(shè)=(1，0)，計算cos及cos；（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、已知=(cos，sin)，=(cos，sin)，0。（1）求證：+與垂直；（2）若k+與k的長度相等，求的值（k為非零的常數(shù)）7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)。（1）若，求sin2的值；（2）若，且(0，)，求與的夾角。8、已知=(2，2)，與的夾角為，且=2。（1）求向量；（2）若=(1，0)，且，=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若A、B、C依次成等差數(shù)列，求|+|的取值

31、范圍。9、已知向量、及實數(shù)x、y，且|=|=1，=+(x23)，=y+x，若，且|。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系y=f(x)及定義域；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。10、平面向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，點M為直線OP上一動點。（1）當(dāng)取最小值時，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點M滿足（1）中的條件和結(jié)論時，求AMB的余弦值。11、已知P(x，y)，A(1，0)，向量與=(1，1)共線。（1）求y是x的函數(shù)；（2）是否在直線y=2x和直線y=3x上分別存在一點B、C，使得滿足BPC為銳角時x取值集合為x| x？若存在，求出這樣的B、C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。12、已知，其中=(1，0)

32、，=(0，1)。（1）計算，|+|的值；（2）如果存在n個不全為零的實數(shù)k1，k2，kn，使成立，則稱n個向量，“線性相關(guān)”，否則為“不線性相關(guān)”，依此定義，三個向量=(1，1)，=(2，1)，=(3，2)是否為“線性相關(guān)”的，請說明你的判斷根據(jù)；（3）平面上任意三個互不共線的向量，一定是線性相關(guān)的嗎？為什么？參考答案選擇題15 ACADDB填空題 1. 4 ，2 ，3 （2，1）， 4 1或5，解答題1：k0 或k2 2： 3：0，0.8，0.6 4：y=2x-2 5： |= |= |*|= cos= cos= 6:7: sin2= ; 8(1) (-1,0);(0,-1) (2) 9: y

33、=x3-3x 增區(qū)間 減區(qū)間 10：（1）（4，2）（2）11：（1）y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或 12 （1）1，|+| （2）線性相關(guān)向量作業(yè)部分當(dāng)堂練習(xí)：1、為非零向量，且，則 （ ）A與方向相同 BC D與方向相反2設(shè)，而是一非零向量，則下列各結(jié)論：；，其中正確的是 （ ）A B C D33在ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點，點M是ABC的重心，則 等于 （ ）ABCD4已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD5若化簡 （ ）A B C D 以上都不對6已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則=（ ） A B

34、C D 7已知，AOB=60，則_。8當(dāng)非零向量和滿足條件 時，使得平分和間的夾角。9如圖，D、E、F分別是ABC邊AB、BC、CA上的中點，則等式：10若向量、滿足，、為已知向量，則=_； =_1若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(1,2)，則c等于（ ）AabBabCabDa+b2若向量a=(x2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則（ ）Ax=1,y=3Bx=3,y=1Cx=1,y=5Dx=5,y=13已知向量且，則= （ ）A B C D4已知 ABCD的兩條對角線交于點E，設(shè)，用來表示的表達(dá)式（ ）ABCD5已知兩點P（，6）、（3，），點P（，）分有向線段所成的比為，則、的

35、值為（ ）A，8 B，8 C，8 D4，6下列各組向量中： 有一組能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的判斷是 （ ）ABCD7若向量=（2，m）與=（m，8）的方向相反，則m的值是 8已知=（2，3）， =（-5，6），則|+|= ，|-|= 9設(shè)=（2，9）， =（,6），=(-1,),若+=,則= , = .10ABC的頂點A(2，3)，B(4，2)和重心G(2，1)，則C點坐標(biāo)為 .11已知向量e1、e2不共線，(1)若=e1e2，=2e1e2，=3e1e2，求證：A、B、D三點共線.(2)若向量e1e2與e1e2共線，求實數(shù)的值.12如果向量=i2j, =i+mj,其中i、j

36、分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值使A、B、C三點共線.1已知=（3，0），=（-5，5）則與的夾角為 （ ） A450 B、600 C、1350 D、12002已知=（1，-2），=（5，8），=（2，3），則（）的值為 （ ） A34 B、（34，-68） C、-68 D、（-34，68）3已知=（2，3），=（-4，7）則向量在方向上的投影為 （ ） A B、 C、 D、4已知=（3，-1），=（1，2），向量滿足=7，且，則的坐標(biāo)是（ ） A（2，-1） B、（-2，1） C、（2，1） D、（-2，-1）5有下面四個關(guān)系式（1）=；（2）（）=（）；（3）=；（4）

37、0=0，其中正確的個數(shù)是 （ ）A、4 B、3 C、2 D、16已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且與的夾角大于90，則實數(shù)m（ ）A、m2或m-4/3 B、-4/3m2 C、m2 D、m2且m-4/37已知點A（1，0），B（3，1），C（2，0）則向量與的夾角是 。8已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，則實數(shù)= 。9若|=2，|=，與的夾角為45，要使k-與垂直，則k= 10已知+=2-8，=-8+16，那么= 11已知2+=（-4，3），-2=（3，4），求的值。12已知點A（1，2）和B（4，-1），試推斷能否在y軸上找到一點C，使ACB=900？若能，求點C的坐

38、標(biāo)；若不能，說明理由。1已知A、B、C為三個不共線的點，P為ABC所在平面內(nèi)一點，若，則點P與ABC的位置關(guān)系是 （ ） A、點P在ABC內(nèi)部 B、點P在ABC外部C、點P在直線AB上 D、點P在AC邊上2已知三點A（1，2），B（4，1），C（0，-1）則ABC的形狀為 （ ） A、正三角形 B、鈍角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰銳角三角形6兩個粒子a，b從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此時粒子b相對于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影 。7如圖，點P是線段AB上的一點，且APPB=，點O是直線AB

39、外一點，設(shè)，試用的運算式表示向量8如圖，ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，設(shè)AD與BE相交于G，求證：AGGD=BGGE=219如圖， O是ABC外任一點，若，求證：G是ABC重心（即三條邊上中線的交點）750ABC東北45010一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方向10mile處有一只貨船收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿南偏東750，以9mile/h的速度向前航行，貨船以21mile/h的速度前往營救，并在最短時間內(nèi)與漁船靠近，求貨的位移。平面向量單元測試1在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若=（ ）ABCD2對于菱形ABCD，給出下列各式：2其中正確的個數(shù)為（ ）A1

40、個B2個C3個D4個3在 ABCD中，設(shè)，則下列等式中不正確的是（ ）AB CD4 已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）A5 BC D5已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個點的坐標(biāo)為（ ）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）6與向量平行的單位向量為（ ）ABC或 D7若，則的數(shù)量積為 （ ）A10B10C10D108若將向量圍繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量,則的坐標(biāo)為 ( ）A B CD9設(shè)kR，下列向量中，與向量一定不平行的向量是（ ）ABCD10已知，且，則的夾角為（ ）A60B

41、120C135D15011 非零向量，則的夾角為 .12在四邊形ABCD中，若,則四邊形ABCD的形狀是 13已知，若平行，則= .14已知為單位向量，=4，的夾角為，則方向上的投影為 .15已知非零向量滿足,求證: 16已知在ABC中，且ABC中C為直角，求k的值.17、設(shè)是兩個不共線的向量，若A、B、D三點共線，求k的值.18已知 ,的夾角為60o,當(dāng)當(dāng)實數(shù)為何值時， 19如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF. 向量高考總結(jié)：一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）2零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平