用曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面的面積.ppt

1、6.2 定積分的幾何應(yīng)用 1,作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一般是用定積分來計(jì)算。 本課件用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分來建立求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的公式。 將曲線積分化為定積分可以得到計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面面積的定積分公式。,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 2,先看特殊的情形,旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 3,設(shè)L是上半平面內(nèi)的一條平面曲線。 將L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)曲面，求該旋轉(zhuǎn)曲面的面積Ax。,我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)曲面面積的曲線積分公式。,L,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 4,L,在曲線L的(x,y)處取一弧微分,它到x軸的距離是 y （如圖）。,該弧微分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積約為：,（面積元素

2、）,于是整個(gè)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 5,命題1：上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,L,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 6,命題2：右半平面內(nèi)一條曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,同理,L,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 7,下面針對(duì)不同的曲線方程將曲線積分化為定積分得到熟悉的旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 8,直角坐標(biāo)方程,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 9,y=f(x),如果,L繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 10,y=f(x),如果,L繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用

3、11,參數(shù)方程,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 12,如果,L繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 13,如果,則L繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 14,極坐標(biāo)方程,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 15,如果,L繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 16,我們來推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)曲線L的形心(質(zhì)心)和旋轉(zhuǎn)曲面面積之間的關(guān)系的定理： 古爾丁定理,Paul Guldin（古爾?。?1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,6.2 定積分的

4、幾何應(yīng)用 17,L,上半平面內(nèi)一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積等于該曲線的形心所經(jīng)過的路程與L的弧長(zhǎng)s的乘積。,古爾丁定理,形心,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 18,如果你很容易求得曲線L的弧長(zhǎng)和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)曲面的面積。,L,形心,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 19,下面來看一般的情形,一般的曲線 f:=(x,y)-2*x-y; a:=0:b:=2: (2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b); evalf(%);,with(plots): quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定積分的幾何應(yīng)用 25,例2 求y=x2 (0x1)繞直線 y=x-1旋轉(zhuǎn)的 旋轉(zhuǎn)曲面的面積A。,y:=x-x2; f:=(x,y)-y-x+1; a:=0:b:=1: sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D