高中數(shù)學(xué)人教A選修11課件333函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)

1、3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),1,2,1.函數(shù)在閉區(qū)間的最值 一般地,如果在區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.,1,2,1,2,做一做1下列說法正確的是() A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 答案D,1,2,2.函數(shù)在閉區(qū)間a,b上最值的求法 一般地,求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下: (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最

2、大值,最小的一個是最小值.,1,2,1,2,做一做2函數(shù)y=x3-3x+3在區(qū)間-3,3上的最小值為() A.1B.5C.12D.-15 解析y=3x2-3, 令y=0,得3x2-3=0,x=1或x=-1. 當-11或x0, y極小值=1,y極大值=5. 又當x=-3時,y=-15;當x=3時,y=21, ymin=-15. 答案D,1,2,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,則f(x)在a,b上存在極值和最值. () (2)函數(shù)的最值有可能在極值點處取得. () (3)若f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖

3、象是連續(xù)不斷的曲線,則f(x)在(a,b)上存在最值. () (4)如果函數(shù)f(x)在(a,b)上只有一個極值,那么這個極值就是相應(yīng)的最值. () 答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 【例1】求下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值: 分析求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的極值點,求出極值,然后結(jié)合定義域,將所有極值與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較求得最值. 解(1)f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f(x)=0,得x=0(x=2舍去). 當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,探究一,探究二,探究三,思想方法,所以當x=-1時,函數(shù)取最小值f

4、(-1)=-14,當x=0時,函數(shù)取最大值f(0)=-10. (2)f(x)=2cos x-1, 根據(jù)x1,x2列表,分析f(x)的符號和函數(shù)的單調(diào)性:,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二求函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間上的最值 【例2】 求下列函數(shù)的最值: (2)f(x)=(x2-3)ex. 分析沒有給定相應(yīng)的閉區(qū)間,因此應(yīng)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與極值情況,根據(jù)單調(diào)性與極值畫出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象求出最值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)函

5、數(shù)的定義域是R,且y=2xex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3), 令y0,得x1或x-3; 令y0,得-3x1, 所以函數(shù)f(x)在(-,-3)和(1,+)上遞增,在(-3,1)上遞減, 因此函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,極大值等于f(-3)=6e-3; 在x=1處取得極小值,極小值等于f(1)=-2e.,探究一,探究二,探究三,思想方法,從函數(shù)圖象可得函數(shù)f(x)的最小值就是函數(shù)的極小值f(1)=-2e,而函數(shù)無最大值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三與最值有關(guān)的參數(shù)問題 【例3】已知函數(shù)f(x)=

6、2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在-2,2上的最大值. 分析先由f(x)=0求出極值點,再求出極值點與區(qū)間端點的函數(shù)值,通過比較可找出最大值點與最小值點,利用最小值求出a的值后,即可確定最大值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解f(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令f(x)=0,得x=0或x=2. 又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40. f(0)f(2)f(-2), 所以當x=-2時,f(x)min=a-40=-37,得a=3. 故當x=0時,f(x)max=3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方

7、法,變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為20,則它在該區(qū)間上的最小值等于() A.7B.-7C.3D.-3 解析因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)f(-2). 因為在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上單調(diào)遞增. 又由于f(x)在-2,-1上單調(diào)遞減,因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間-2

8、,2上的最小值為-7. 答案B,探究一,探究二,探究三,思想方法,分類討論思想在求函數(shù)最值中的應(yīng)用 (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,2a上的最小值. 【審題視角】 對于(1),可利用導(dǎo)數(shù)通過解不等式求得單調(diào)區(qū)間;對于(2),由于函數(shù)的最值只能在極值點和端點處取得,因此比較極值點和端點處的函數(shù)值的大小即可,最后再將討論的情況進行合并整理.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)在(0,e上的最小值等于2?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,說明理由.,探究一,探究二,探究三,思想方法,1,2,3,4,5,1.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間-1,1上的最大值是 () A.-2B.0C.2D.4 解析對函數(shù)求導(dǎo)f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 則f(x)在區(qū)間-1,0上遞增,在0,1上遞減,因此最大值是f(0)=2. 答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值的和是. 解析f(x)=6x2-6x-12,令f(x