第五章 小波變換基本原理

1、第五章 小波變換基本原理問題 小波變換如何實(shí)現(xiàn)時(shí)頻分析？其頻率軸刻度如何標(biāo)定？ 尺度 小波發(fā)展史1910 Harr小波80年代初興起 Meyer小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析WT無須尺度和小波函數(shù)濾波器組實(shí)現(xiàn)90年代初 Daubechies 正交小波變換90年代中后期 Sweblews 第二代小波變換小波構(gòu)造？ 小波變換與短時(shí)傅里葉變換比較 a適用領(lǐng)域不同 b.STFT 任意窗函數(shù) WT（要容許性條件） 小波相關(guān)概念，數(shù)值實(shí)現(xiàn)算法 多分辨率分析（哈爾小波為例） Daubechies正交小波構(gòu)造 MRA的濾波器實(shí)現(xiàn) 小波的歷史地位仍不如FT，并不是萬能的5.1 連續(xù)小波變換一

2、CWT與時(shí)頻分析 1.概念： 2.小波變換與STFT用于時(shí)頻分析的區(qū)別 STFT小波變換基函數(shù)時(shí)頻軸平移+調(diào)制（線性頻軸）平移+伸縮 尺度對(duì)數(shù)頻軸基函數(shù)特征包絡(luò)恒定，振蕩不同振蕩恒定，包絡(luò)恒定時(shí)頻分辨率，mT,w附近附近適用情況漸變信號(hào)突變信號(hào)軸spectrogramscalogram結(jié)果復(fù)數(shù) 實(shí)數(shù) 3.WT與STFT對(duì)比舉例（Fig56, Fig57）二WT幾個(gè)注意的問題 1.WT與選擇有關(guān) 應(yīng)用信號(hào)分析還是信號(hào)復(fù)原 2.母小波必須滿足容許性條件 隱含要求 具有帶通特性 利用可推出反變換表達(dá)式 3.CWT高度冗余（與CSTFT相似） 4.二進(jìn)小波變換（對(duì)平移量b和尺度進(jìn)行離散化） 5.小波變

3、換具有時(shí)移不變性 6.用小波重構(gòu)信號(hào) 中心問題：如何構(gòu)建對(duì)偶框架 如何構(gòu)建正交小波？5.2 分段逼近t很顯然采樣率越高，越小，逼近誤差越小，采樣率無誤差學(xué)習(xí)目的理解MRA一分段逼近的引入 PAM信號(hào)近似 ADC 1t1 1.采樣率增大的尺度體現(xiàn) 用平移的版本對(duì)S(t)作近似 逼近函數(shù) 尺度 一般式： 11111111 2.兩尺度函數(shù)間關(guān)系 張成空間滿足 兩尺度空間差異在哪？ 3.表征細(xì)節(jié)的小波變換的引入表細(xì)節(jié) 發(fā)現(xiàn) 尺度 4.推廣m=-1m=0m=1m=2 包含信息量決定 形成最簡單的MRA二分段逼近與小波變換（哈爾小波） 1.信號(hào)的尺度逼近與小波表示 尺度逼近 小波表示 Harr小波 2.H

4、arr小波特性 同一尺度平移正交性：同尺度m也滿足 作變量替換即可證明 尺度，平移均正交 分段逼近的推廣MRA一多分辨率分析含義 由內(nèi)空間組成 若空間尺度函數(shù)平移正交： 則為空間尺度函數(shù),任一函數(shù)S(t)可用 平方可積空間即為 問題：Harr小波構(gòu)成最簡單MRA 如何構(gòu)造選其它具體的MRA體系二正交小波函數(shù)的系統(tǒng)構(gòu)造 1.兩尺度方程引入 低通濾波器與尺度關(guān)系 Harr小波滿足 頻域反映 令 含義 a. b根據(jù)MRA， c. 2.QMF的引入 的尺度正交關(guān)系的頻域反映 頻域也正交 兩邊對(duì)n求和 利用泊松求和公式 （令） 有 即： QMF正交鏡像濾波器組的導(dǎo)出 利用兩尺度關(guān)系 對(duì)k分奇偶討論 含義

5、 a. b.功率互補(bǔ)條件半帶條件 01 3.正交小波濾波器滿足的條件 頻域關(guān)系 根據(jù)可推出 上式的解為 時(shí)域關(guān)系 令 易證 小波濾波器同樣滿足兩尺度關(guān)系 4.尺度與小波濾波器頻域關(guān)系的矩陣表示 5. 正交補(bǔ) 例：求Harr小波的頻域尺度函數(shù)和小波函數(shù) 解： 其頻域幅值圖如Fig513所示 可發(fā)現(xiàn)其缺陷在于波紋太大 （原因時(shí)域緊支撐） 例：理想LPF也構(gòu)成正交小波 解： 三有關(guān)小波函數(shù)的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment） 滿足 母小波平滑度由消失矩決定，消失矩越大，則頻域衰減越快越平滑 消失矩越大，小波振蕩程度越高 2.小波正則度（regularity） 定義：小波的

6、連續(xù)可導(dǎo)次數(shù) 正則度為n的小波具有（n+1）階消失矩（必要條件）四問題討論 1.根據(jù)MRA理論 小波和尺度函數(shù)均可由無窮頻域次乘積得出，最終由決定 不關(guān)心其解析表達(dá)式濾波器組 2.MRA理論 離散小波的數(shù)值實(shí)現(xiàn)5.4 小波變換與數(shù)字濾波器組一時(shí)間離散小波變換的實(shí)現(xiàn)途徑 1.不能直接對(duì)定義式離散化實(shí)現(xiàn) 令 當(dāng)m較小時(shí)，不為整數(shù) 2.第一代小波變換：根據(jù)MRA理論，由數(shù)字濾波器組實(shí)現(xiàn)（Mallat算法） （根據(jù)尺度函數(shù)和小波函數(shù)） 3.第二代小波變換：Swelden算法 由預(yù)測和更新濾波器進(jìn)行交替提升實(shí)現(xiàn)二Mallat算法 1.兩個(gè)近似假設(shè) 由采樣數(shù)據(jù)直接近似 當(dāng)分辨率m足夠高時(shí) 故可直接用樣本數(shù)

7、據(jù)取代 2.Mallat算法 分解算法 a.推導(dǎo) 同理 b.濾波器組實(shí)現(xiàn)（滑動(dòng)內(nèi)積+下采樣） 重構(gòu)算法 a.推導(dǎo)（由兩尺度關(guān)系，正交關(guān)系，及奇偶討論可導(dǎo)出） b.濾波器組實(shí)現(xiàn)（上采樣+濾波）S(i) 5.5 小波變換的應(yīng)用一小波地位 小波曾火熱一時(shí)，但小波不是萬能的，在某些應(yīng)用場合特別適用 小波無法求解微分方程純數(shù)字和物理地位不如FT 二信號(hào)檢測方面應(yīng)用 發(fā)動(dòng)機(jī)聲音中的撞擊聲檢測 傅里葉分析：時(shí)間平均作用模糊了信號(hào)局部特性 Gabor變換 ：仍需長窗去包含振蕩波形 小波變換 ： 小波基可任意窄三降噪應(yīng)用 1.適用場合 經(jīng)典濾波：要求信號(hào)與噪聲頻率足夠窄且不重合 高斯類噪聲和脈沖噪聲 寬帶噪聲 小波去噪 2.濾波效果 經(jīng)典濾波：丟失波形尖銳處信息 小波降噪：基本保留波形尖銳處信息（與小波基選擇有關(guān)） 3.濾波手段 傳統(tǒng)方法：Prony參數(shù)建模法 小波降噪小波變換系數(shù)閾值比較反變換信號(hào)輸出分解重