02講-應(yīng)力與平衡、位移與應(yīng)變.ppt

1、2020/9/27,1,王正偉第二章 應(yīng)力與平衡、位移與應(yīng)變 Theory of Stress and Balance、displacement and strain,清華大學(xué)熱能工程系 Dept. of Thermal Engineering Tsinghua University,位移與應(yīng)變 位移與運(yùn)動(dòng)的分解 變形的不同描述方式 應(yīng)變位移的關(guān)系,2020/9/27,2,王正偉應(yīng)力與平衡 Theory of Stress and Balance,內(nèi)力與應(yīng)力 載荷、內(nèi)力與應(yīng)力 斜面應(yīng)力公式(柯西公式) 主應(yīng)力 應(yīng)力莫爾圓,應(yīng)力平衡微分方程 笛

2、卡兒坐標(biāo)系下的平衡微分方程 圓柱坐標(biāo)系下的平衡微分方程,2020/9/27,3,王正偉外力、載荷 Load,面力是作用在物體表面上的外力。,體積力是作用在物體內(nèi)部體積上的外力。,2020/9/27,若取 為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應(yīng)力，亦稱名義應(yīng)力，常用于小變形情況。 對(duì)于大變形問題，應(yīng)取 為變形后面元的實(shí)際面積，稱真實(shí)應(yīng)力，簡(jiǎn)稱真應(yīng)力, 也稱柯西應(yīng)力。,4,王正偉應(yīng)力矢量(應(yīng)力) Stress Vector,應(yīng)力矢量(應(yīng)力),2020/9/27,5,王正偉下圖為低碳鋼軸向拉伸變形情況，前兩個(gè)圖為小變形情

3、況，應(yīng)力計(jì)算采用工程應(yīng)力，第三個(gè)真實(shí)截面面積相比于初始情況變化劇烈，因而必須采用真實(shí)應(yīng)力來描述。在以后的討論中主要研究小變形問題，因而應(yīng)力計(jì)算上為工程應(yīng)力。,應(yīng)力矢量(應(yīng)力) Stress Vector,2020/9/27,6,王正偉應(yīng)力狀態(tài) State of Stress,在笛卡爾坐標(biāo)系中，用六個(gè)平行于坐標(biāo)面的截面在一點(diǎn)周圍截取一個(gè)正六面體微元。正六面體的六個(gè)面法向矢量與坐標(biāo)軸平行，同向的三個(gè)面稱之為正面，反向的三個(gè)面稱之為負(fù)面。將作用在正面上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸方向分解。,2020/9/27,7,王正偉面力、應(yīng)力矢量與應(yīng)力狀態(tài)辨析,相同點(diǎn)：

4、 量綱相同； 內(nèi)力與應(yīng)力的數(shù)學(xué)定義相同。,不同點(diǎn)： 面力為表面的已知量； 應(yīng)力矢量依賴于點(diǎn)和斜截面； 應(yīng)力狀態(tài)為客觀量，僅與點(diǎn)有關(guān)。,2020/9/27,8,王正偉斜面應(yīng)力公式 Cauchy Formula,四面體OABC，由三個(gè)負(fù)面和一個(gè)法向矢量為 的斜截面組成，其中 為 方向的方向余弦。,2020/9/27,9,王正偉斜面應(yīng)力公式 Cauchy Formula,四個(gè)截面面積分別為：,四面體體積為：,2020/9/27,10,王正偉四面體平衡條件為：,斜面應(yīng)力公式 Cauchy Formula,2020/9/27,

5、11,王正偉斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用,計(jì)算斜截面上應(yīng)力的大小： 計(jì)算斜截面上應(yīng)力的方向： 計(jì)算斜截面上正應(yīng)力： 計(jì)算斜截面上剪應(yīng)力：,2020/9/27,12,王正偉轉(zhuǎn)軸公式,（1）由老坐標(biāo)（常選笛卡爾坐標(biāo)）中的應(yīng)力分量求新坐標(biāo)（可選任意正交曲線坐標(biāo)）中的應(yīng)力分量。 （2）求斜截面應(yīng)力。把斜面法線和斜面內(nèi)某兩個(gè)相互垂直的方向選作新坐標(biāo)軸，用轉(zhuǎn)軸公式能求得斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。,2020/9/27,13,王正偉主應(yīng)力 Principal Stress,對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài)，若改變斜面方向，則斜面應(yīng)力的大小和方向都會(huì)發(fā)生改變，

6、因此是否存在一個(gè)面，使得只存在正應(yīng)力而無剪應(yīng)力？,2020/9/27,14,王正偉主應(yīng)力的性質(zhì) Principal Stress,不變性：由于特征方程的三個(gè)系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應(yīng)力及相應(yīng)主方向都是不變量。從物理的角度來考慮，它們都是物體內(nèi)部受力狀態(tài)的客觀性質(zhì)，與人為選擇的參考坐標(biāo)無關(guān)。 實(shí)數(shù)性：即特征方程的根永遠(yuǎn)是實(shí)數(shù)，從物理角度來考慮，應(yīng)力也不存在復(fù)數(shù)的可能。 極值性：主應(yīng)力 和 是一點(diǎn)正應(yīng)力的最大值和最小值。 正交性：特征方程無重根時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力必兩兩正交；特征方程有一對(duì)重根時(shí)，在兩個(gè)相同主應(yīng)力的作用平面內(nèi)可任選兩個(gè)相互正交的方向作為主方向；特征方程出

7、現(xiàn)三重根時(shí)，空間任意三個(gè)相互正交的方向都可作為主方向。 主應(yīng)力坐標(biāo)系：在任意一點(diǎn)，以三個(gè)主方向 為軸建立坐標(biāo)系稱為主坐標(biāo)系，此時(shí)應(yīng)力張量 可以簡(jiǎn)化成對(duì)角型。,2020/9/27,15,王正偉平面中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) Stress State,主應(yīng)力：,主方向：,最大剪應(yīng)力：,2020/9/27,16,王正偉應(yīng)力莫爾圓 Mohr circle of stress,彈性力學(xué)中應(yīng)力莫爾圓可以說是材料力學(xué)中二維應(yīng)力圓的推廣，在材料力學(xué)平面問題中只有兩個(gè)主應(yīng)力，這樣只有一個(gè)莫爾圓，而彈性力學(xué)中有三個(gè)主應(yīng)力，這樣應(yīng)力摩爾圓的數(shù)目為有三個(gè)。,2020/9/27

8、,17,王正偉應(yīng)力莫爾圓 Mohr circle of stress,三維莫爾圓,2020/9/27,18,王正偉應(yīng)力平衡微分方程 Stress Balance Equation,首先我們認(rèn)為應(yīng)力狀態(tài)是坐標(biāo)的函數(shù)，在笛卡爾坐標(biāo)系下有,2020/9/27,19,王正偉現(xiàn)在考慮X軸方向上的受力平衡，得到：,應(yīng)力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,20,王正偉同樣方法計(jì)算Y軸和Z軸方向上的受力平衡，得到應(yīng)力的平衡微分方程如下：,指標(biāo)形式： 下標(biāo) 表示

9、對(duì) 方向求偏導(dǎo)數(shù)， 為體積力。,應(yīng)力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,21,王正偉剪力互等定理 Stress balance equation,下面考慮微元的力矩平衡，通過形心考慮Z軸方向取矩，凡是作用線通過形心或方向與軸平行的應(yīng)力和體力分量對(duì)該軸的力矩均為零，于是力矩平衡方程只剩兩項(xiàng)。,2020/9/27,22,王正偉下面考慮圓柱坐標(biāo)系中的平衡方程,應(yīng)力平衡微分方程 Stress Balance Equation,2020/9/27,23,王正偉位移的描述 Chara

10、cterization of Displacement,從位移對(duì)物體的影響而言，位移可以劃分剛體位移和變形。 剛體位移是由整個(gè)物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)； 變形是物體形狀變化引起的位移，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位置，且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。 剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的，在彈性力學(xué)中我們忽略剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)物體的影響，僅考慮變形。,2020/9/27,24,王正偉拉格朗日坐標(biāo)系其坐標(biāo)系是放在所描述的物體上隨著物體一起運(yùn)動(dòng)。 拉格朗日描述法以物體變形前的初始構(gòu)形為參照構(gòu)形，質(zhì)點(diǎn)變形前的坐標(biāo) 為基本未知量。將變形后物體的位置 表示為 的函數(shù)： 歐拉坐

11、標(biāo)系其坐標(biāo)系本身是固定的，僅物體運(yùn)動(dòng)。 歐拉描述法以物體變形后的新構(gòu)形為參照構(gòu)形，質(zhì)點(diǎn)變形后的坐標(biāo) 為基本未知量。將變形前物體的位置 表示為 的函數(shù)：,位移的描述 Characterization of Displacement,區(qū)別：歐拉坐標(biāo)固定在空間，拉格朗日坐標(biāo)固定在材料上；歐拉坐標(biāo)指一點(diǎn)在空間的位置，拉格朗日坐標(biāo)標(biāo)記一個(gè)材料點(diǎn)。,2020/9/27,25,王正偉在下面的分析中采用符號(hào) 得到位移是質(zhì)點(diǎn)初始坐標(biāo)或變形后坐標(biāo)的函數(shù) 利用小變形條件可以得到,位移的描述 Characterization of Displacement,2020/9/27,26,王正偉

12首先考慮最簡(jiǎn)單的一維桿在受到軸向拉伸力時(shí)的變形，計(jì)算桿中長(zhǎng)度為dx的微元的變化，有,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,27,王正偉對(duì) 在 處Taylor展開有 由于 非常小，忽略高階項(xiàng)可以得到： 由此定義小變形情況下單軸拉伸的單軸應(yīng)變(工程應(yīng)變)為：,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,28,王正偉考慮最簡(jiǎn)單的一維桿在受到扭矩作用時(shí)的變形，有：,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displa

13、cement Relationship,2020/9/27,29,王正偉下面考慮一個(gè)三維微元體在載荷作用下發(fā)生變形，如果采用幾何的方法來分析三維物體微元變形就比較困難，于是將變形體向三個(gè)坐標(biāo)軸組成的三個(gè)面投影。,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,30,王正偉在三維問題中定義正應(yīng)變相關(guān)的方法與一維桿情況相同，是相對(duì)變形長(zhǎng)度與初始長(zhǎng)度的比值，為 定義切應(yīng)變(剪應(yīng)變)為轉(zhuǎn)角的變化程度,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/2

14、7,31,王正偉以x-y平面的關(guān)系為例，位移是坐標(biāo)值的連續(xù)函數(shù)，所以P點(diǎn)在x及y軸上的位移分量為u、v，則A點(diǎn)及 B點(diǎn)的位移分量按照多元函數(shù)Taylor展開，并利用小變形假設(shè)而略去二階以上的無窮小量有,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,32,王正偉計(jì)算線應(yīng)變,計(jì)算剪應(yīng)變,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,柯西應(yīng)變矩陣(張量) 寫成指標(biāo)形式為：,2020/9/27,33,王正偉應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain

15、-Displacement Relationship,2020/9/27,34,王正偉柯西應(yīng)變矩陣 的六個(gè)分量的幾何意義是：當(dāng)指標(biāo) 時(shí),表示沿坐標(biāo)軸方向的線元工程正應(yīng)變，以伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；當(dāng)指標(biāo) 時(shí)， 的兩倍表示坐標(biāo)軸i與j方向兩個(gè)正交線元間的工程剪應(yīng)變。以銳化（直角減?。檎?，鈍化（直角增加）為負(fù)。 柯西應(yīng)變矩陣 在每點(diǎn)至少存在三個(gè)相互正交的主方向， 為主方向的單位矢量，則按張量主方向的定義有 標(biāo)量 稱為應(yīng)變張量的主值，即沿主方向 的主應(yīng)變，與主應(yīng)力類似，主應(yīng)變也具有實(shí)數(shù)性，正交性和極值性。,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,35,王正偉特殊應(yīng)變場(chǎng)剛體位移,應(yīng)變-位移關(guān)系 Strain-Displacement Relationship,2020/9/27,36,王正偉特殊應(yīng)變場(chǎng)均勻變形狀態(tài) 均勻變形狀態(tài)的性質(zhì)：直線在變形后仍為直線；相同方向的直線以同樣比例伸縮；互相平行的直線變形后仍平行；平面在變形后仍為平面；平行平面變形后仍平行；球面變