第27講圖形的相似

1、第27講圖形的相似考試-目標(biāo)鎖定考綱要求備考指津1.了解比例線(xiàn)段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點(diǎn)，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)系考查較多相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)考點(diǎn)一比例線(xiàn)段1比例線(xiàn)段的定義：在四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，即(或abcd)，那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例

2、線(xiàn)段2比例線(xiàn)段的性質(zhì)：(1)基本性質(zhì)：adbc；(2)合比性質(zhì)：；(3)等比性質(zhì)：若(bdn0)，那么.3黃金分割：點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC，如果，則線(xiàn)段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比考點(diǎn)二相似多邊形1定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比，相似比為1的兩個(gè)多邊形全等2性質(zhì)：(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方考點(diǎn)三相似三角形1定義：各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形2判定：(1)平行于三角

3、形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似3性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比；(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方考點(diǎn)四圖形的位似1定義：如果兩個(gè)圖形僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形叫位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比稱(chēng)為位似比2性

4、質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比3畫(huà)位似圖形的步驟(1)確定位似中心點(diǎn)；(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線(xiàn)段(或延長(zhǎng)線(xiàn))；(3)按位似比進(jìn)行取點(diǎn)；(4)順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求圖形1若，則()A B C D2如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則的度數(shù)是()A87B60 C75 D1203如圖，ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿(mǎn)足ACDABC，若AC2，AD1，則DB_.4如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，若ABC與A1B1C1是位似圖形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是_5如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的

5、頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)ACB和DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F.(1)求證：ACBDCE；(2)求證：EFAB規(guī)律-方法探究一、相似圖形的性質(zhì)【例1】 如圖，在長(zhǎng)為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，則留下矩形的面積是()A2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm2解析：根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得()2，S陰影8(cm2)答案：C相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，利用相似多邊形的性質(zhì)可求多邊形的邊長(zhǎng)、角、周長(zhǎng)或面積二、相似三角形的性質(zhì)與判定【例2】 如

6、圖，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE.(1)寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似三角形(不得添加字母和線(xiàn))；(2)請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相似的理由解：(1)ABCADE，ABDACE.(2)證明ABCADE.BADCAE，BADDACCAEDAC即BACDAE.又ABCADE.ABCADE.證明ABDACE.ABCADE，又BADCAE，ABDACE.判斷兩三角形相似時(shí)，首先看是否存在兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；若只有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，再看夾這個(gè)角的兩邊是否成比例；若無(wú)內(nèi)角相等，就考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線(xiàn)，點(diǎn)D在AC上，連結(jié)BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E. (1)求證：ABDCE

7、D(2)若AB6，AD2CD，求BE的長(zhǎng)三、位似圖形【例3】 如圖，ABC與ABC是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA2AA，SABC8，則SABC_.解析：位似圖形一定是相似圖形，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比OA2AA，.ABC與ABC的位似比是23.()2.SABC8，SABC18.答案：18位似圖形一定是相似圖形，利用相似多邊形的性質(zhì)解決所要求的問(wèn)題四、相似三角形的應(yīng)用【例4】 問(wèn)題背景：在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中的一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖(1)，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80 cm的竹竿的影長(zhǎng)為60

8、cm.乙組：如圖(2)，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900 cm.丙組：如圖(3)，測(cè)得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì))的高度為200 cm，影長(zhǎng)為156 cm.任務(wù)要求：(1)請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖(3)，設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)NH與O相切于點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑(友情提示：如圖(3)，景燈的影長(zhǎng)等于線(xiàn)段NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式156220822602)解：(1)如題圖，ABCDEF，AB80 cm，AC60 cm，DF900 cm，.DE1 200(cm)，即DE12 m.故學(xué)校旗桿的高度是12 m.(2)如題圖(3)，

9、連接OM，設(shè)O的半徑為r cm.與(1)類(lèi)似得，即.GN208.在RtNGH中，根據(jù)勾股定理得NH2156220822602，NH260.NH切O于M，OMNH.則OMNHGN90，又ONMHNG.OMNHGN.又ONOIINOI(GNGI)r8，解得r12.景燈燈罩的半徑是12 cm.應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解知能優(yōu)化訓(xùn)練1(2012貴州銅仁)如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為21，則下列結(jié)論正確的是()AE2KBBC2HIC六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)六邊形GHIJ

10、KL的周長(zhǎng)DS六邊形ABCDEF2S六邊形GHIJKL2(2012重慶)已知，ABCDEF，ABC的周長(zhǎng)為3，DEF的周長(zhǎng)為1，則ABC與DEF的面積之比為_(kāi)3(2011浙江湖州)如圖，已知梯形ABCD，ADBC，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AOD與BOC的面積之比為19，若AD1，則BC的長(zhǎng)是_4(2011山東菏澤)如圖，BD為O的直徑，ABAC，AD交BC于點(diǎn)E，AE2，ED4，(1)求證：ABEADB；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)DB到F，使得BFBO，連接FA，試判斷直線(xiàn)FA與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由1如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與ABC相似的是()2如圖

11、，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：BC2DE；ADEABC；，其中正確的有()A3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D0個(gè)3如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DEBC，若ADAB34，AE6，則AC等于()A3 B4 C6 D84一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)15 cm，底邊上的高長(zhǎng)22.5 cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3 cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是()A第4張 B第5張C第6張 D第7張5已知ABC與DEF相似且對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為23，則ABC與DEF的周長(zhǎng)比為_(kāi)6如圖，12，添加一個(gè)條件：_，使得ADEACB7如圖，

12、在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG1，BF2，GEF90，則GF的長(zhǎng)為_(kāi)8張明同學(xué)想利用樹(shù)影測(cè)量校園內(nèi)的樹(shù)高他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹(shù)高為1.5 m時(shí)，其影長(zhǎng)為1.2 m當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹(shù)影長(zhǎng)時(shí)，因大樹(shù)靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上經(jīng)測(cè)量，地面部分影長(zhǎng)為6.4 m，墻上影長(zhǎng)為1.4 m，那么這棵大樹(shù)高約為_(kāi) m.9如圖，直角梯形ABCD中，ADC90，ADBC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，DFCAEB(1)求證：ADFCAE；(2)當(dāng)AD8，DC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求直角梯形ABCD的面積參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測(cè)試1D2.A334.

13、(9,0)5證明：(1)，.又ACBDCE90，ACBDCE.(2)ACBDCE，ABCDEC.又ABCA90，DECA90.EFA90，EFAB.規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：(1)證明：ABC是等邊三角形，BACACB60，ACF120，CE是外角平分線(xiàn)，ACE60，BACACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)作BMAC于點(diǎn)M(如圖)，ACAB6，AMCM3，BMABsin 603.AD2CD，CD2，AD4，MD1.在RtBDM中，BD2.由(1)ABDCED得，即2，ED，BEBDED3.知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1B2.913.34解：(1)證明：ABAC，ABCC，CD.ABCD.又BAEEAB.ABEADB.(2)ABEADB，AB2ADAE(AEED)AE(24)212.AB2.(3)直線(xiàn)FA與O相切理由如下：連接OA，BD為O的直徑，BAD90，