2001年初二聯(lián)賽班 1 圓的概念和基本圖形練習(xí)題

1、 圓的概念和基本圖形練習(xí)題1(1992年太原市初中數(shù)學(xué)競賽試題)已知點(diǎn)B在線段AC上。分別以AB,BC,AC為直徑作O1,O2,O。過點(diǎn)B作直線交O于P,Q,交O1和O2于R,S。求證:PR=QS。證明 連結(jié)AR,CS. 作OMPQ于M，則由垂徑定理，PM=QM.因 AB，BC分別是O1,O2的直徑，故ARPQ，CSPQ。于是ARCSOM。而AO=OC，由平行線等分線段定理，RM=SM。所以 PM-RM=QM-SM， 即PR=QS。2（2006年“信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽廣西賽區(qū)初賽試題）（1）如圖A、B、P、C是O上的四個(gè)點(diǎn)，APC=CPB=600，判斷ABC的形狀，并證明你的結(jié)論。*（2）

2、比較PA+PB 與PC的大小，并證明你的結(jié)論。解(1) ABC是等邊三角形。證明如下：在O中，BAC與CPB是所對(duì)的圓周角，ABC與APC是所對(duì)的圓周角，BAC=CPB，ABC=APC。又APC=CPB=600，ABC=BAC=600，ABC是等邊三角形(2) PA+PB=PC. 證明可參看下題分析。3 (1997年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖，已知在圓內(nèi)接三角形ABC中，ABAC，D為弧BAC的中點(diǎn)，DEAB于E，求證：BD2AD2ABAC.分析 待證式BD2AD2ABAC，就是（BE2DE2）（AE2DE2）ABAC,也就是BE2AE2ABAC，即（BEAE）（BEAE）ABAC，故只需證

3、BEAEAC，BE+AE=AB即可。問題轉(zhuǎn)化為三條線段之間的和差關(guān)系，可按常規(guī)截長補(bǔ)短法來證明.證明 在BA上截取BFAC，連結(jié)DF、DC。D是弧BAC的中點(diǎn)，BDCD.在BDF和CDA中，BDCD，12，BFCA，BDFCDA，DFDA.DEAB, AEEF,BEAEBEEF BFAC.由分析可知BD2AD2AB(BEAE)ABAC.4 (1997年陜西省初中數(shù)學(xué)競賽試題)已知O的半徑為R, C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn),弧AC的度數(shù)為96,弧BD的度數(shù)36, 動(dòng)點(diǎn)P在AB上, 求PCPD的最小值.解 設(shè)D是D點(diǎn)關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn),連接CD交AB于P.由圓的對(duì)稱性可知,點(diǎn)D在圓上,PD

4、PD,于是PDPCPDPC.因兩點(diǎn)間的連線中, 線段最短, 所以, 此時(shí)點(diǎn)P, 使PCPD最小,且最小值為PCPD, 即線段CD的長。連接CO, DO,作OMCD于M.弧AC的度數(shù)為96,弧BD的度數(shù)36，弧CD的度數(shù)為180963648, 弧CD的度數(shù)為48362120, COD120,COMCOD60.在RtCOM中, COR, CMCOsin60R，CD2CMR, PCPD的最小值為R.5（2002年江蘇省第17屆初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，O為ABC的外接圓，BAC=600，H為邊AC、AB上的高BD、CE的交點(diǎn)，在BD上取點(diǎn)M，使BM=CH。（1） 求證：BOC=BHC；（2） 求證：BOMCOH；AHOMDECB（3） 求的值。解 （1）因BAC60，所以BOC2BAC120，BHCDHE360（9090BAC）120。從而BOCBHC。（2）因OBOC，故OBCOCB。又BOC120，故OBC（180120）30。而HBC90BCA，所以O(shè)BMOBCHBC30（90BCA）BCA60。又OCHHCBHCOHCB（180120）HCB30，但BCA90BAC906030，所以O(shè)CHHCBHCA3030BCA60，于是 OBMOCH。又已知 BMCH，OBOC。故BOMCOH。（3）由（2），得OHOM，且COHBOM，從而OHM