高數(shù)期末復(fù)習(xí)題 第十一章 曲線積分與曲面積分

1、第十一章 曲線積分與曲面積分試題一填空題（規(guī)范分值3分）11.1.1.2 設(shè)在xoy平面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(diǎn)(x,y)處它的線密度為(x,y)，用第一類曲線積分表示這曲線弧對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix= 。11.1.2.2 設(shè)在xoy平面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(diǎn)(x,y)處它的線密度為(x,y)，用第一類曲線積分表示這曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)= ；= 。 =；=11.1.3.1在力的作用下，物體沿曲線L運(yùn)動(dòng)。用曲線積分表示力對(duì)物體所做的功 。11.1.4.2 有向曲線L的方程為，其中函數(shù)在上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，又在曲線L上連續(xù)，則有：，那么= ；= 。= =11.1.5.1 設(shè)L為xoy平面內(nèi)直

2、線上的一段，則曲線積分= 。0 11.1.6.2 設(shè)L為xoy平面內(nèi)，從點(diǎn)(c,a)到點(diǎn)(c,b)的一線段，則曲線積分可以化簡(jiǎn)成定積分： 。 11.1.7.2 第一類曲線積分的積分值為 。其中曲線L為圓周 11.1.8.3 第二類曲線積分的積分值為 。其中空間曲線L是從點(diǎn)A(3,2,1)到點(diǎn)O(0,0,0)的線段AO。11.1.9.3 第一類曲面積分的積分值為 。其中曲面是球面被平面截出的頂部（圖-1）。 11.1.10.3 第二類曲面積分的積分值為 。其中曲面是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè)，。 11.1.11.3 當(dāng)曲面為xoy平面內(nèi)的一個(gè)單連通閉區(qū)域時(shí)，第二類曲面積分可以化成二重積分，那么化成的

3、二重積分為 。 答案：1. 2. =；= 3.4. = = 5.0 6.7. 8. 9. 10. 11.二選擇題（規(guī)范分值3分）11.2.1.1 在第一類曲線積分的定義中，極限中的代表的含義是（ ）。 D 難度值1A.微弧的長(zhǎng)度； B.微弧的面積； C.微弧的體積； D.微弧長(zhǎng)度的最大值。11.2.2.1 在第二類曲線積分的定義中，極限中的代表的含義是（ ）。 D 難度值1A. 微弧長(zhǎng)度的最大值； B.微弧面積的最大值； C.微弧起點(diǎn)與終點(diǎn)構(gòu)成向量長(zhǎng)度的最大值； D.微弧在x軸上投影長(zhǎng)度的最大值。11.2.3.2 當(dāng)時(shí)，L是xoy平面內(nèi)的連續(xù)曲線，方程，則第一類曲線積分的幾何意義是（ ）。 C

4、 難度值2A. 曲面與xoy坐標(biāo)平面所圍成圖形的體積； B.曲面在xoy坐標(biāo)平面中投影區(qū)域的面積； C.以L為準(zhǔn)線的柱面被xoy平面和曲面截成的一部分柱面的面積； D.空間曲線，在L上定義的一部分曲線的長(zhǎng)度。11.2.4.2 若空間曲線L是光滑曲線，那么要求曲線L的參數(shù)方程的函數(shù)在閉區(qū)間上滿足的條件是（ ）。 D 難度值2A. 函數(shù)一階可導(dǎo)； B.函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)； C.函數(shù)二階可導(dǎo)； D.函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。11.2.5.1 曲線積分（ ）。 A 難度值1A. B. C. D.11.2.6.1 若曲線積分=5，則（ ）。A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 A 難度值111.2.7.

5、2 第一類曲線積分的積分值為（ ）。其中曲線L為從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(0,1)，再?gòu)狞c(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(1,1)的折線段。 C 難度值2A.0.5 B.1 C.1.5 D.211.2.8.2 第二類曲線積分的積分值為（ ）。其中曲線L為從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(0,1)，再?gòu)狞c(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(1,1)的折線段。 B 難度值2A.0 B.1 C.2 D.311.2.9.3 第一類曲面積分的積分值為（ ）。其中曲面是由平面及所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面。 D 難度值3A. B. C. D.11.2.10.3 第二類曲面積分的積分值為（ )。其中曲面是球面，在部分的外側(cè)。D (難度值3)A.

6、B. C. D.11.2.11.4 設(shè)曲面是上半球面，曲面是曲面在第一卦限中的部分，則下列各式成立的是（ ) C 難度值4A. B. C. D.11.2.12.2 下列函數(shù)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的是（ ）。A. B. B 難度值2C. D.答案1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B三計(jì)算題（規(guī)范分值6分）11.3.1.2 計(jì)算第一類曲線積分。其中L為從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,0)，再?gòu)狞c(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(1,1)的折線段。難度值2解：設(shè)（如圖2）L1的參數(shù)方程： L2的參數(shù)方程：；（1分） （1分）=+=2（4分）11.3.2.3 求第一

7、類曲線積分。其中L為擺線的一拱。難度值3解：由化第一類曲線積分為定積分的公式：（1分）（1分）所以=（2分） =。（2分） 11.3.3.2 計(jì)算第一類曲線積分。其中L為的圓周。難度值2 解：圓周的參數(shù)方程為：（2分）=（2分）=（2分）11.3.4.2 計(jì)算其中L為連接（1，0）及（0，1）兩點(diǎn)的直線段.難度值2解法一：直線L的方程為(2分) （2分）=（2分）解法二：直線L的參數(shù)方程為 （2分）=（2分）11.3.5.2 計(jì)算,其中L為拋物線上從點(diǎn)O到點(diǎn)B的一段弧. 解法一：化為對(duì)的積分，L：從0變到1（2分） =（2分）=（2分）難度值2解法二：拋物線L： 從點(diǎn)O到點(diǎn)B的一段弧的參數(shù)方程

8、： 代入積分得（2分） =（2分）=（2分）11.3.6.2 計(jì)算。其中曲線L為從點(diǎn)A(1,1,2)到點(diǎn)B(2,3,4)的有向線段。解：線段AB的參數(shù)方程為：，（2分）難度值2所以=（2分） =13.5（2分）11.3.7.4 證明第二類曲線積分在整個(gè)xoy平面內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)。然后再求積分的值。其中曲線L為從點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（1，3）的任意光滑曲線。難度值4解：設(shè)， 則函數(shù)在整個(gè)xoy平面內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，（1分）且，由積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，（1分） 所以積分與路徑無(wú)關(guān)。（1分） 設(shè)L是點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,3)的有向線段，則參數(shù)方程為：（1分）所以=（2分） 11.3.8.2 應(yīng)用格

9、林公式計(jì)算：，其中L是由拋物線和所圍成區(qū)域D的正向邊界曲線。 難度值2解：設(shè) , 則（2分）由格林公式：所以：= （2分） =（2分） 11.3.9.4 利用格林公式計(jì)算曲線積分：其中為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的一段弧. 難度值4解：補(bǔ)充積分路徑：從點(diǎn)沿X軸到點(diǎn)的有向線段,由格林公式得 （2分）其中D為曲線與X軸所圍成的半徑為a的半圓域. 而（2分） 則 = =.（2分）11.3.10.4 計(jì)算第二類曲線積分其中為圓周上的從點(diǎn)(2,0)到點(diǎn)(0,0)的一段弧。難度值4解：補(bǔ)充一段弧L1：在x軸上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,0)的有向線段由格林公式得 （2分） =1 其中D為半圓周與x軸圍成的區(qū)

10、域 L1的參數(shù)方程：，所以=0（2分） 從而 =（2分）11.3.11.4 利用高斯公式計(jì)算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間部分的下側(cè)。 難度值4解：設(shè)平面為：（1分）則=（1分） =（4分） （高斯公式）（）11.3.12.4 利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中是錐面的下側(cè). 難度值4解：補(bǔ)充輔助積分曲面，取上側(cè)，由高斯公式知：（3分） 而（2分）=-=.（1分）11.3.13.3 利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中是半球面 的上側(cè). 難度值4解：補(bǔ)充積分曲面，并取該曲面的下側(cè). （2分）由高斯公式知： （2分） 而 則原式=. (2分) 四綜合應(yīng)用題（建議分值7分）11.4.1.2 一力場(chǎng)由沿橫軸

11、正方向的恒力F所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛞七^(guò)位于第一象限的那一段弧時(shí)場(chǎng)力所作的功。 難度值2解：由題設(shè)條件，可以設(shè)力為 ，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)曲線L的參數(shù)方程為： ， 在一微小弧上力所作的微功（為微位移） 所以場(chǎng)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m所作的功為：（3分）， 而， （1分） 所以 =（3分） 11.4.2.2 求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度為。難度值2解：設(shè)曲面。由微元法，微元的質(zhì)量為 所以 拋物面殼的質(zhì)量 （第一類曲面積分）（3分） （1分） 則=（3分）11.4.3.3 求質(zhì)量均勻曲面的質(zhì)心坐標(biāo)。難度值3解：由質(zhì)心坐標(biāo)公式,由曲面質(zhì)量均勻，可設(shè)由 ，則（3分）所以曲面的質(zhì)量 =（1分）且，同理

12、（1分）（1分）故曲面的質(zhì)心坐標(biāo)為 （1分）11.4.4.3 求微分方程得通解。難度值3 解：設(shè) 則 ，從而存在使得，積分與路徑無(wú)關(guān)，（3分）所以 =（2分） 故原微分方程得通解為 （2分）2 證明題（建議分值7分）11.5.1.4 證明：在整個(gè)xoy平面除去y軸的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域G內(nèi)是某一個(gè)二元函數(shù)的全微分；并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)。難度值4證明：因?yàn)镚為除去y軸的負(fù)半軸及原點(diǎn)外的整個(gè)xoy平面，所以G為單連通區(qū)域 設(shè)， 所以函數(shù)在G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；且，所以由定理，可得在G內(nèi)為某一個(gè)二元函數(shù)的全微分即：=，此時(shí)積分與路徑無(wú)關(guān)取，則對(duì)任意則： 。 11.5.2.2 設(shè)L為xoy平面內(nèi)，x軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的一線段，P(x,y)在L上連續(xù)，證明：第一類曲線積分、第二類曲線積分與定積分滿足下列等式：= 難度值2證明：由L為xoy平面內(nèi)，x軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的一線段，可以設(shè)L的參數(shù)方程為：，所以；，將L的方程帶入所以=；=故：=。11.5.3.3 設(shè)閉區(qū)域G是xoy平面內(nèi)由分段光滑的曲線L圍成，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，證明 當(dāng)原點(diǎn)(0,0)不在G內(nèi)部時(shí)，； 當(dāng)原點(diǎn)(0,0)在G內(nèi)部時(shí)， 難度值3證明：設(shè) 當(dāng)原點(diǎn)(0,0)不在G內(nèi)部時(shí)，