對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、最新資料推薦2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1 對數(shù)函數(shù)的概念(1)定義：一般地，我們把函數(shù) y logax(a 0，且 a 1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是 (0 ， )(2)對數(shù)函數(shù)的特征：log ax的系數(shù)： 1特征log ax的底數(shù)：常數(shù)，且是不等于1的正實(shí)數(shù)log ax的真數(shù)：僅是自變量x判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)，只需看此函數(shù)是否具備了對數(shù)函數(shù)的特征比如函數(shù) y log7x 是對數(shù)函數(shù)，而函數(shù)y 3log 4x 和 y logx2 均不是對數(shù)函數(shù)，其原因是不符合對數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)【例 1 1】函數(shù) f(x) (a2 a 1)log (a 1)x 是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)

2、a _ 解析： 由 a2 a 1 1，解得 a 0,1 又 a 1 0，且 a 1 1， a 1答案： 1【例 1 2】下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為_ (1)y log ax (a 0，且 a 1) ； (2)y log2x2；(3) y 8log 2 (x 1) ； (4)y log x6(x 0，且 x 1) ；(5) y log 6x解析：序號是否理由(1)真數(shù)是x ，不是自變量 x(2)對數(shù)式后加 2(3) 真數(shù)為 x1，不是 x，且系數(shù)為 8，不是 1(4) 底數(shù)是自變量 x，不是常數(shù)(5)底數(shù)是 6，真數(shù)是x答案： (5)2 對數(shù)函數(shù)y log ax(a 0，且 a 1)的圖象與性質(zhì)(

3、1)圖象與性質(zhì)a 10 a 1圖象(1)定義域 x|x0(2)值域 y|y R 性(3)當(dāng) x1時(shí)， y0，即過定點(diǎn) (1,0)質(zhì)(4)當(dāng) x1時(shí)， y 0；當(dāng) 0 x 1(4) 當(dāng) x1 時(shí)， y 0；當(dāng) 0時(shí)， y 0x1 時(shí)， y0(5) 在 (0， )上是增函數(shù)(5) 在 (0， ) 上是減函數(shù)談重點(diǎn)對對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解對數(shù)函數(shù)的圖象恒在y 軸右側(cè)，其單調(diào)性取決于底數(shù) a 1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；0 a 1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減理解和掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的關(guān)鍵是會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，在掌握圖象的基礎(chǔ)上性質(zhì)就容易理解了我們要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較1最新

4、資料推薦解析式y(tǒng) ax(a0，且 a 1)y logax (a 0，且 a 1)定義域R(0， )值域(0， )R性(0,1)(1,0)過定點(diǎn)質(zhì)單調(diào)性一致，同為增函數(shù)或減函數(shù)單調(diào)性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)底數(shù) a 對對數(shù)函數(shù)的圖象的影響底數(shù) a 與 1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng) a 1 時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng) 0 a 1 時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是a 1 還是 0 a 1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大點(diǎn)技巧對數(shù)函數(shù)圖象的記憶口訣兩支喇叭花手中拿，(1,0) 點(diǎn)處把花扎，若是底

5、數(shù)小于1，左上穿點(diǎn)漸右下，若是底數(shù)大于1，左下穿點(diǎn)漸右上，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)底變化，順時(shí)方向底變大，可用直線 y 1 來切，自左到右 a 變大【例 2】如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y log ax 的圖象已知a 從 3 ，4 ， 3 ，1 中取值，則相應(yīng)曲線C1， C2， C3， C4 的 a 值依次為 ()3510A3 ，4 ，3 ， 13510B3 ，4 ，1 ， 33105C4 ，3 ，3 ， 13510D4 ，3 ，1 ， 33105解析： 由底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知，C4 的底數(shù) C3 的底數(shù) C2 的底數(shù) C1的底數(shù)故相應(yīng)于曲線C1 ， C2 ， C3， C4 的底數(shù)依次是3， 4

6、， 3 ， 1 答案： A3510點(diǎn)技巧根據(jù)圖象判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法(1)方法一：利用底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象影響的規(guī)律：在x 軸上方 “底大圖右 ” ，在 x 軸下方 “ 底大圖左 ”； (2)方法二：作直線y 1，它與各曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大小3 反函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù) y ax (a 0，且 a 1) 與對數(shù)函數(shù)y log ax(a 0，且 a 1) 互為反函數(shù)(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)的定義域、值域是其反函數(shù)的值域、定義域；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y x 對稱(3)求已知函數(shù)的反函數(shù)，一般步驟如下：2最新資料推薦

7、由 y f(x)解出 x，即用y 表示出x；把 x 替換為 y， y 替換為 x；根據(jù) y f(x)的值域，寫出其反函數(shù)的定義域【例 3 1】若函數(shù)y f(x)是函數(shù) y ax(a 0，且 a 1)的反函數(shù)， 且 f(2) 1，則 f(x) ()1A log 2xB 2xC log 1 xD 2x 22解析： 因?yàn)楹瘮?shù) yax(a 0，且 a 1)的反函數(shù)是f(x) loga x，又 f(2) 1，即 log a2 1，所以 a 2故 f(x) log 2x答案： A【例 3 2】函數(shù) f(x) 3x(0 x 2)的反函數(shù)的定義域?yàn)?()A (0 ， )B (1,9C (0,1)D 9， )解

8、析： 0 x 2， 1 3x 9，即函數(shù) f(x)的值域?yàn)?(1,9 故函數(shù) f(x)的反函數(shù)的定義域?yàn)?1,9 答案： B【例 3 3】若函數(shù) y f(x)的反函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5) ，則函數(shù) y f(x)的圖象必過點(diǎn) ()A (5,1)B (1,5)C (1,1)D (5,5)解析： 由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y x 對稱，而點(diǎn) (1,5) 關(guān)于直線 y x 的對稱點(diǎn)為(5,1)，所以函數(shù) y f(x)的圖象必經(jīng)過點(diǎn) (5,1)答案： A4 利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式及函數(shù)值對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng) log ax(a 0，且 a 1) 中僅含有一個常數(shù)a，則只需要一個條件即可確定對數(shù)

9、函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是已知f(m) n 或圖象過點(diǎn) (m， n)等等通常利用待定系數(shù)法求解，設(shè)出對數(shù)函數(shù)的解析式f(x) logax(a 0，且 a 1)，利用已知條件列方程求出常數(shù)a的值利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，常常遇到解方程，比如loga m n，這時(shí)先把對數(shù)式 logam n 化為指數(shù)式的形式an m，把 m 化為以 n 為指數(shù)的指數(shù)冪形式m kn(k 0，且 k1) ，11則解得 a k 0還可以直接寫出a mn ，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡mn 例如：解方程 21loga 4 2，則 a 4，由于 4221又 a 0，所以 a1，所以 a當(dāng)221111然，也可以直接

10、寫出 a4 2 ，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，得a4 2(22 ) 22 1【例 4 1】已知 f(ex) x，則 f(5) ()2A e5B 5eC ln 5D log 5 e解析： (方法一 )令 t ex，則 x ln t，所以 f(t) ln t，即 f(x) ln x所以 f(5) ln 5 (方法二 )令 ex 5，則 x ln 5 ，所以f(5) ln 5 答案： C【例 4 2】已知對數(shù)函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)1 ,2，試求f(3)的值9分析： 設(shè)出函數(shù)f(x)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出解： 設(shè) f(x) logax(a 0，且 a 1)， 對數(shù)函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)1

11、, 2 ， f1log a12 a2 199993最新資料推薦12121211x a3 f(x) log 193311 f(3) log 1 3log 1 1333【例 4 3】已知對數(shù)函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,9) ，且 f(b) 1 ，試求 b 的值2解： 設(shè) f(x) logax(a 0，且 a 1)，則它的反函數(shù)為y ax(a 0，且 a 1)，由條件知a2 911 32，從而 a 3于是 f(x) log 33，解得 b323 x，則 f(b) log b25對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0 ， )(2)在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)

12、大于0，且不等于 1若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時(shí)需要保證各個方面都有意義一般地，判斷類似于 y loga f(x)的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證f(x) 0(3)求函數(shù)的定義域應(yīng)滿足以下原則：分式中分母不等于零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；對數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個函數(shù)中數(shù)條并存，求交集【例 5】求下列函數(shù)的定義域(1)y log 5(1 x)； (2) y log(2x 1)(5x 4)；(3) ylog 0.5 (4 x3) 分析： 利用對數(shù)函數(shù)y log ax(a 0，且 a 1)的定義求解解： (

13、1)要使函數(shù)有意義，則1 x 0，解得 x 1，所以函數(shù)y log5(1 x)的定義域是 x|x 1 5x40,(2)要使函數(shù)有意義，則2x10, 解得 x 4 且 x 1，2x11,5所以函數(shù) y log(2x 1)(5x4) 的定義域是4 ,1(1， )54x30,解得 3 x 1，(3)要使函數(shù)有意義，則log 0.5 (4x 3)0,4所以函數(shù) ylog 0.5 (4x 3)x3的定義域是0)或向右 (b0)或向下 (b0時(shí)，兩函數(shù)圖象相同函數(shù) y loga |x|(a 0，且 a 1)- - - - -當(dāng)x0時(shí)的圖象關(guān)于 y軸對稱函數(shù) y logax(a 0，且 a 1)保留 x軸上

14、方的圖象- 函數(shù) y |log ax|(a 0，- - -x軸的對稱變換-同時(shí)將 x軸下方的圖象作關(guān)于且 a 1)【例 7 1】若函數(shù) y log a(x b) c(a 0，且 a 1) 的圖象恒過定點(diǎn)(3,2) ，則實(shí)數(shù) b，c 的值分別為 _ 解析： 函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn) (3,2) ， 將 (3,2)代入 y loga (x b) c(a 0，且 a 1)，得 2 loga(3 b) c又 當(dāng) a 0，且 a 1 時(shí)， log a1 0恒成立， c 2 loga (3 b) 0 b 2答案： 2,2【例 7 2】作出函數(shù) y |log 2(x 1)| 2 的圖象解： (第一步 )作函數(shù) y

15、 log2x 的圖象，如圖 ；(第二步 )將函數(shù) y log2x 的圖象沿 x 軸向左平移1 個單位長度， 得函數(shù) y log 2(x 1)的圖象，如圖 ；(第三步 )將函數(shù) y log2(x 1)在 x 軸下方的圖象作關(guān)于x 軸的對稱變換， 得函數(shù) y |log2 (x1)|的圖象，如圖 ；(第四步 )將函數(shù) y |log2 (x 1)|的圖象， 沿 y 軸方向向上平移2 個單位長度， 便得到所求函數(shù)5最新資料推薦的圖象，如圖 8利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個對數(shù)式的大小比較有以下幾種情況：(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同比較同底數(shù) (是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比

16、較大小要注意： 明確所給的兩個值是哪個對數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值； 明確對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與 1 的大小關(guān)系；最后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同若對數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)相同時(shí)，可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增大畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較，也可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較(3)底數(shù)不同， 真數(shù)也不同 對數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時(shí)，常借助中間量 0,1 進(jìn)行比較(4)對于多個對數(shù)式的大小比較，應(yīng)先根據(jù)每個數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，以及它們與“0”和“ 1”的大小情況，進(jìn)行分組，再比較各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可注意：對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較，要注意對底數(shù)是否大于1 進(jìn)行分類討論【例 8 1】

17、比較下列各組中兩個值的大小(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)log a， loga3.141 分析： (1) 構(gòu)造函數(shù) y log 3x，利用其單調(diào)性比較；(2) 分別比較與 0的大?。?(3) 分類討論底數(shù)的取值范圍解： (1)因?yàn)楹瘮?shù) y log 3x 在 (0 ， )上是增函數(shù)，所以 f(1.9) f (2)所以 log31.9 log3 2(2)因?yàn)?log 23 log21 0， log0.32 log 0.31 0，所以 log23 log 0.32(3)當(dāng) a 1 時(shí)，函數(shù) y loga x 在定義域上是增函數(shù)，則有 log

18、a log a3.141 ；當(dāng) 0 a 1 時(shí)，函數(shù) y log ax 在定義域上是減函數(shù)，則有 loga log a3.141 綜上所得，當(dāng) a 1 時(shí)， loga log a3.141 ；當(dāng) 0 a 1 時(shí)， log a loga3.141 【例 8 2】若 a2 b a 1，試比較 log a a ， logbb ， log ba， logab 的大小ba分析： 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)行判斷解： ba 1， 0 a 1b log a a 0， loga b log aa 1， logb1 logb a log bb，即 0 logba 1b6最新資料推薦由于 1 b b， 0 lo

19、g b b 1由 log ba logbb log ba2，aaab2 b 1， a2 a 1blogba2log bb 0，即 logb aab logab logb a log bb log aaab9利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a 0，且 a 1 時(shí)，有 logaf (x) loga g(x)f(x)g(x)(f(x) 0， g(x) 0) ；當(dāng) a 1 時(shí)， logaf(x) loga g(x)f(x) g( x)(f(x) 0， g(x) 0)；當(dāng) 0 a 1時(shí)， log af(x) log ag(x)f(x) g(x)(f(x)0， g(x) 0)

20、 (2)常見的對數(shù)不等式有三種類型：形如 loga f(x) log ag(x)的不等式， 借助函數(shù) y log ax 的單調(diào)性求解， 如果 a 的取值不確定，需分 a 1 與 0 a 1 兩種情況討論形如 loga f(x) b 的不等式，應(yīng)將b 化為以 a 為對數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助函數(shù)y log ax的單調(diào)性求解形如 log abg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值，利用f(x) log對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對數(shù)符號，同時(shí)應(yīng)保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集形如 f(log ax) 0 的不等式，可用換元法(令 t log ax)，先解 f( t) 0，得到

21、 t 的取值范圍然后再解 x 的范圍【例 9 1】解下列不等式： (1) log 1 xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x 1) logx (3 x)x0,解： (1)由已知，得4x0, 解得 0 x 2x3x,2x10,解得 1 x 3；3x0,2x10,解得 0 x 23x0,3所以原不等式的解集是2或x 0x31x a a 20 a 1，知 0 a 2a3，結(jié)合33 a 的取值范圍是a 0a3 3210對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的討論(1)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時(shí)， 則應(yīng)對底數(shù)a 是否大于1 進(jìn)行討論； 二是運(yùn)用復(fù)合法來

22、判斷其單調(diào)性；三是注意其定義域(2)關(guān)于形如 y loga f(x)一類函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù) y logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù) u f(x)(f(x) 0)的單調(diào)性， 當(dāng) a 1時(shí)相同， 當(dāng) 0 a 1時(shí)相反例如：求函數(shù)y log2 (3 2x)的單調(diào)區(qū)間分析： 首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)y log2(3 2x)是由對數(shù)函數(shù)y log 2u 和一次函數(shù)u 3 2x 復(fù)合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時(shí)，應(yīng)從函數(shù)u 3 2x 的單調(diào)性、值域入手，并結(jié)合函數(shù)y log2 u 的單調(diào)性考慮解： 由 3 2x 0，解得函數(shù)y log2(3 2x)的定義域是 ， 3 2設(shè) u 3 2x， x3 ，

23、 2， u 3 2x 在 ， 3 上是減函數(shù)，且y log2u 在 (0， )上單調(diào)遞增，2 函數(shù) y log2(3 2x)在 ， 3上是減函數(shù)2 函數(shù) y log2(3 2x)的單調(diào)減區(qū)間是 ， 32【例 10 1】求函數(shù) y loga (a ax )的單調(diào)區(qū)間t a ax 遞減解： (1)若 a 1，則函數(shù) y loga t 遞增，且函數(shù)又 a ax 0，即 ax a， x 1 函數(shù) y loga (a ax )在 ( ， 1)上遞減(2)若 0 a 1，則函數(shù) y log at 遞減，且函數(shù) t a ax 遞增又 a ax 0，即 ax a， x 1 函數(shù) y loga(a ax)在 (

24、1， )上遞減綜上所述，函數(shù)y loga (a ax)在其定義域上遞減析規(guī)律判斷函數(shù) y log af(x)的單調(diào)性的方法函數(shù) y log af(x)可看成是 y logau 與 u f(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“ 同增異減 ” 的規(guī)律即可判斷需特別注意的是，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“ 定義域優(yōu)先 ”【例 10 2】已知 f(x) log 1 (x2 ax a)在,1上是增函數(shù)，求a 的取值范圍22解：,1是函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間，說明,1 是函數(shù) u x2 ax a 的遞減區(qū)間，22由于是對數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于0令 u(x) x2 ax a

25、， f(x) log 1u(x) 在, 1上是增函數(shù)，22 u(x)在, 1 上是減函數(shù)，且u(x) 0 在,1上恒成立228最新資料推薦a1 ,a1,22即1a0.u14a0,22 1 a 1 2滿足條件的 a 的取值范圍是a1 a1 211 對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱時(shí)，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，判斷f( x)與 f(x)或 f(x)是否相等；(2)當(dāng) f( x) f(x)時(shí)，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f( x) f(x)時(shí)，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng) f( x) f(x)且 f(x) f

26、(x)時(shí)，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當(dāng) f( x) f(x)且 f(x) f(x)時(shí)，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例如，判斷函數(shù)f(x) log a (x21 x) (xR ， a 0，且 a 1) 的奇偶性解： f( x) f(x) log a ( x21x) log a (x21 x) )2 2 loga(x 1 x ) loga1 0， f( x) f(x) f(x)為奇函數(shù)【例 11】已知函數(shù) f(x)1xlog a 1(a 0，且 a 1) x(1)求函數(shù) f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù) f(x)的奇偶性；(3)求使 f(x) 0 的 x 的取值范圍分析： 對于第 (2) 問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可對于第(3) 問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，解出不等式解： (1)由 1x 0，得 1 x 1，1x故函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?( 1,1) 1x 1x f(x)，(2) f( x) log a 1xlog a 1x又由 (1)知函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱， 函數(shù) f(x)是奇函數(shù)(3)當(dāng) a 1 時(shí)，由 log a1x 0 loga 1，得1x 1，解得 0 x 1；當(dāng) 0 a 1 時(shí)，1x1x由 log a 1x 0 loga1，得 01x 1，解得 1 x 01x1x故當(dāng) a 1 時(shí)， x 的取值范圍是 x|0 x 1 ；當(dāng) 0 a 1