第二章 質(zhì)點動力學(xué)

1、.,1,牛頓,第二章 質(zhì)點動力學(xué) 前言 2-1 牛頓運動定律 2-2* 力學(xué)相對性原理非慣性系中的力學(xué) 2-3 動量 動量守恒定律 2-4 功 動能 勢能機械能守恒定律 2-5* 理想流體的伯努利方程,.,2,前言,運動和物體相互作用的關(guān)系是人類幾千年來不斷探索的課題。在力學(xué)中，物體與物體間的相互作用稱之為力。,力的作用既有瞬時效應(yīng)，又有積累效應(yīng)：前者由牛頓定律描述，后者則由三大守恒律所描述；,原來物體作何種運動，既與物體間的相互作用有關(guān)，又與物體自身的性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)物體內(nèi)部出現(xiàn)某種非線性因素時，在一定條件下即可能導(dǎo)致混沌。,從17世紀(jì)開始，以牛頓定律為基礎(chǔ)建立起來的經(jīng)典力學(xué)體系，一直被認(rèn)為是“

2、確定論”的。但廿世紀(jì)80年代，人們發(fā)現(xiàn)了在“確定論”系統(tǒng)中，卻可能發(fā)出現(xiàn)“隨機行為”。為什么？,.,3,21 牛頓運動定律,一、慣性定律 慣性參照系,實驗表明，動力學(xué)規(guī)律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。,1、慣性定律,“孤立質(zhì)點”的模型：,不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠(yuǎn)的質(zhì)點。,例如，太空中一遠(yuǎn)離所有星體的飛船。,牛頓第一定律（慣性定律）：,一孤立質(zhì)點將永遠(yuǎn)保持其原來靜止或勻速直線運動狀態(tài)。,.,4,慣性和慣性運動,慣性運動：物體不受外力作用時所作的運動,慣性：任何物體都有保持其原有運動狀態(tài)的特性，慣性是物質(zhì)固有的屬性。,慣性和第一定律的發(fā)現(xiàn)，使人們最終把運動和力

3、分離開來。,2.慣性系與非慣性系,問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？,.,5,牛頓定律只適用于某些參照系。,S/:牛頓定律不成立 a/ 0,S:牛頓定律成立 a = 0,.,6,什么是慣性系：孤立物體相對于某參照系為靜止或作勻速 直線運動時，該參照系為慣性系。,如何確定慣性系只有通過力學(xué)實驗,*1地球是一個近似程度很好的慣性系,但,相對于已知慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。,一切相對于已知慣性系作加速運動的參照系為非慣性系。,*2太陽是一個精度很高的慣性系,太陽對銀河系中心的加速度為,馬赫認(rèn)為：所謂慣性系，其實質(zhì)應(yīng)是相對于整個宇宙的平均加速度為零的參照系。慣性系只能無限逼近

4、，而無最終的慣性系。,.,7,牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比。與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F的方向相同。,比例系數(shù)k與單位制有關(guān)。在國際單位制（SI制）中k=1。,二、牛頓第二定律慣性質(zhì)量引力質(zhì)量,其數(shù)學(xué)形式為,0物體之間的四種基本相互作用；,1、關(guān)于力的概念,0力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產(chǎn)生形變，可使物體獲得加速度。,力的概念只是物質(zhì)的相互作用在經(jīng)典物理中的一種表述。,.,8,30力的疊加原理,若一個物體同時受到幾個力作用，則合力產(chǎn)生的加速度，等于這些力單獨存在時所產(chǎn)生的加速度之矢量和。,力的疊加原理的成立，不能自動

5、地導(dǎo)致運動的疊加。,2、關(guān)于質(zhì)量的概念,3、牛頓第二定律給出了力、質(zhì)量、加速度三者間瞬時的定量關(guān)系,0質(zhì)量是物體慣性大小的量度；,0引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的問題；,調(diào)節(jié)引力常數(shù)， 使m引，m慣的比值為一,慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價。,.,9,三、牛頓第三定律,1作用力與反作用力是分別作用在兩個物體上的力，不是一對平衡力。,2作用力與反作用力是同一性質(zhì)的力。,3若A給B一個作用，則A受到的反作用只能是B給予的。,牛頓第三定律：當(dāng)物理A以力 作用在物體B上時，物理B也必定同時以力 作用在物體A上， 和 大小相等，方向相反，且力的作用線在同一直線上，即,* 牛頓第三定律只在實物物體之間，且運動速度遠(yuǎn)小于光速

6、時 才成立。,.,10,四、牛頓定律的應(yīng)用,1、牛頓定律只適用于慣性系,在直角坐標(biāo)系,在自然坐標(biāo)系,2、牛頓定律只適用于質(zhì)點模型,3、具體應(yīng)用時，要寫成坐標(biāo)分量式,.,11,若F=常量 ， 則,若F=F(v) ， 則,若F=F(r) ， 則,、要根據(jù)力函數(shù)的形式選用不同的方程形式,運用舉例：,.,12,1)物體M對地的加速度 2)物體m對M的加速度 3)物體m與M間的彈力N 4)尖劈與桌面間的彈力R,解：分別以m,為對象，選地為參考系,a/ 是m對M的加速度， aM是M對地的加速度,所以m對地的加速度為,例2-1 質(zhì)量為M的光滑尖劈，傾角為，置于光滑的水平桌面上， 質(zhì)量為m的物體放在尖劈的斜面

7、上，求：,牛頓定律只適用于慣性系,建立如圖坐標(biāo)，則am在X、Y軸上的分量分別為,.,13,由牛頓定律的坐標(biāo) 分量式方程可得,對于m有,對于有,m,的受力圖如下所示,.,14,聯(lián)立得,.,15,例 圖中A為定滑輪，B為動滑輪，三個物體m1m2 m3(m1m2+m3)繩輕且不可伸長，滑輪質(zhì)量不計，求每個物體對地加速度及繩中張力 。,解：設(shè)m2,m3對滑輪的相對加速度為a/，向下為軸正方向, a1為m1對地加速度，則可得,對m1,對m3,對m2,對動滑輪,為什么 T2T2/,.,16,.,17,例23一根細(xì)繩跨過一光滑的定滑輪，一端掛一質(zhì)量為M的物體，另一端被人用雙手拉著，人的質(zhì)量為mM/2，若人相

8、對于繩以加速度a0向上爬，則人相對于地面的加速度是多少？,解：分別以人、物為對象，受力圖如下。,則人對地的加速度為,設(shè)物體向下的加速度為a,由牛頓第二定律，有,聯(lián)立，得,于是人對地的加速度為,.,18,已知運動情況求力,例24 長 l 的輕繩，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m 的小球。使小球從懸掛著的鉛直位置以水平初速度v0開始運動。用牛頓定律求小球沿逆 時針方向轉(zhuǎn)過角時的角速度和繩中的張力,解 ：取小球為研究對象；小球受重力mg，及繩子的張力T,取自然坐標(biāo)系，將重力mg、張力T 沿、n方向分解.,列方程,.,19,將式兩邊同乘d，并約去等式兩邊m可得,對上式兩邊求積分有,解得,將 v = l 代

9、入式,.,20,解：設(shè)向下為軸正向，且,由牛頓第二定律得,例2-5 在地球表面附近自由下落的物體，所受空氣阻力與速率平方成正比，求其速度表示式,已知力求運動,若令,則有,.,21,故,即,討論：,.,22,1、 單位制：基本量、導(dǎo)出量,單位制的任務(wù)是：規(guī)定那些物理量是基本量及所使用的基本量的數(shù)量級。,七個基本量為 長度、質(zhì)量、時間、電流、溫度、物質(zhì)的量和發(fā)光強度,從基本量導(dǎo)出的量稱為導(dǎo)出量，相應(yīng)的單位稱為導(dǎo)出單位。,五、國際單位制和量綱（自學(xué)提綱）,2、量綱：,通過物理定律、定理、定義等將某個物理量表示成某種單位制中基本物理量的方次。,.,23,因為導(dǎo)出量是基本量導(dǎo)出的，所以導(dǎo)出量可用基本量的

10、某種組合(乘、除、冪等)表示。這種由基本量的組合來表示物理量的式子稱為該物理量的量綱式，,例如：在SI制中,.,24,力的瞬時效應(yīng)加速度：牛頓定律,力的積累效應(yīng),一、質(zhì)點的動量定理,、動量的引入,在牛頓力學(xué)中，物質(zhì)的質(zhì)量可視為常數(shù),故,即,2-3 沖量、動量、動量定理,.,25,）式中 叫做動量，是物體運動量的量度。,）動量 是矢量，方向與 相同。,動量是相對量，與參照系的選擇有關(guān)。,、沖量的概念,） 恒力的沖量,） 變力的沖量,此時沖量的方向 不能由某瞬時力的方向 來決定,指兩個物體相互作用持續(xù)一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量,力在某一段時間間隔內(nèi)的沖量,沖量的方向與力的方向相同,作

11、用力F恒量，作用時間t1t2，力對質(zhì)點的沖量，,.,26,26,在直角坐標(biāo)系中的分量式,動量與慣性系的選取有關(guān)，而動量的增量與慣性系的選取無關(guān)。,動量定理的應(yīng)用范圍比牛頓第二定律更廣泛。,注意事項：,沖量 是元沖量 的矢量和，一般情況下，沖量的方向與外力方向不相同，也與動量的方向不同，而與動量的增量方向相同。,即,其表示：物體所受外力的沖量等于物體的動量的增量,3、質(zhì)點的動量定理,.,27,平均沖力概念,）峰值沖力的估算,） 當(dāng)相互作用時間極短時，相互間沖力極大，此時某些有限主動外力（如重力等）可忽略不計。,、動量定理的應(yīng)用,）當(dāng)動量的變化是常量時，有,.,28,例7 作用在質(zhì)量為1kg 的物

12、體上的力 F=6t+3,如果物體在這一力的作用下，沿直線運動，則在02.0s時間內(nèi)，這個力作用在物體上的沖量I= 2秒末物體的速度v=_,.,29,例28質(zhì)量為m的小球在向心力作用下，在水平面內(nèi)做半徑為R、速率為v的勻速圓周運動，如圖所示。小球自A點逆時針運動到B點的半圓內(nèi)，動量的增量應(yīng)為： （A） （B） （C） （D）,答（B）,動量的增量為,.,30,例2-9 一火箭在均勻引力場中，以恒定速率u噴射氣體，由靜止上升。假定排出氣體質(zhì)量的增率為dm/dt=m,其中m是火箭的瞬時質(zhì)量，是常數(shù)，再假定使火箭減速的空氣阻力是bv（b為常數(shù)），求火箭的終極速度。,解：以t時刻火箭內(nèi)的質(zhì)量m和即將噴出

13、的質(zhì)量dm為一系統(tǒng)，以豎直向上為正方向，則,t時刻,（t+dt）時刻,運用動量定理,在整理中略去高階無窮小量 dmdv 得,.,31,將 代入 ，并整理，得,顯然，當(dāng) 時有終極速度，即,.,32,二、質(zhì)點系的動量定理,1、內(nèi)力與外力,i質(zhì)點所受的內(nèi)力,i質(zhì)點所受合力,2、i質(zhì)點動量定理,.,33,3、質(zhì)點系的動量定理（對i求和）,因為內(nèi)力成對出現(xiàn),這說明內(nèi)力對系統(tǒng)的總動量無貢獻(xiàn)， 但對每個質(zhì)點動量的增減是有影響的。,.,34,質(zhì)點系合外力的沖量 = 質(zhì)點系動量的增量。,于是有,或,.,35,三、動量守恒定律,若系統(tǒng)所受的合外力,系統(tǒng)總動量守恒,一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為

14、零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。,注意：動量守恒式是矢量式,(1)守恒條件是,而不是,.,36,若 ，但若某一方向的合外力零， 則該方向上動量守恒；,(3)必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中；,(4)若作用時間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，而運用動量守恒。,(2)若,表示系統(tǒng)與外界無動量交換，,表示系統(tǒng)與外界的動量交換為零。,則系統(tǒng)無論沿那個方向的動量都守恒；,.,37,例10 質(zhì)量為的木塊在光滑的固定斜面上，由點從靜止開始下滑，當(dāng)經(jīng)過路程運動到點時，木塊被一顆水平飛來的子彈射中，立即陷入木塊內(nèi)，設(shè)子彈的質(zhì)量為m，速度為v，求子彈射中

15、木塊后，子彈與木塊的共同速度,解：木塊由至過程，機械能守恒，木塊在B點的末速度,以子彈，木塊為一系統(tǒng)，沿斜面方向為軸，則該方向上動量守恒。,（圖中f，f/為內(nèi)力，支持力在方向中沒有分力，重力在方向中的分力可略去）,.,38,為什么在水平方向動量不恒？因為此時約束反力在水平方向的分力不為零,子彈擊中瞬間，方向有,.,39,例11 三只小船的質(zhì)量（包托載重）均為M，以相同速率v0在一條直線上航行。如中船的人以水平相對速率u將質(zhì)量為m的兩個小包同時分別投向前后兩只船，不計水對船的阻力，求投后各船的速率,解：解此題的關(guān)鍵是將質(zhì)點系內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中。,以小船前進(jìn)方向為正方向，設(shè)B船投出小包時的速

16、度為v2,則分別投向A、C兩船的小包的對地速度為,.,40,分別以A、C、B船及小包為對象，由水平方向動量守恒，可得,解得,.,41,例212 一質(zhì)量m1=50kg的人，站在質(zhì)量m=200kg長為L4m的船的船頭上，開始時船靜止。試求當(dāng)人走到船尾時，船移動的距離。 水的阻力不計。,方向與人前進(jìn)的方向相反。,水平方向動量守恒,解：設(shè)人對船的速度為 ，船對靜止水的速度為 。,.,42,一、功的概念 功率,1、恒力的功,即某力的功等于力與質(zhì)點在該力作用下的位移的標(biāo)積,(中學(xué)）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘 積,由矢量標(biāo)積定義式，有,2- 功 動能 勢能 機械能守恒定律,.,43,功值的圖示

17、法,2、變力的功,）元功,設(shè)質(zhì)點沿X軸運動，則力在區(qū)間x1, x2內(nèi)做的功，即為圖中有陰影部分的面積,物體在變力的作用下從a運動到b,b,.,44,2 ) dA 在F-S圖上的幾何意義,3）變力在一段有限位移上的功,功的直角坐標(biāo)系表示式,因為功是標(biāo)量，所以總功等于各方向上的分量之代數(shù)和。,dA=F（s）ds ，其在Fs圖上即為有陰影的小方塊的面積。,說明：,(1)功是標(biāo)量，有正、負(fù)之分。 (2)功是過程量，與初末位置及運動路徑有關(guān)。,.,45,一對作用力與反作用力的功只與相對位移有關(guān),.,46,、功率 單位時間內(nèi)所作的功稱為功率,功率的單位：在SI制中為瓦特（w）,.,47,物體m在重力作用下

18、由a運動到b，取地面為坐標(biāo)原點.,重力的功只由質(zhì)點始、末位置來決定，而與所通過的路徑無關(guān).,4、保守力的功, 重力的功,.,48,48,萬有引力的功,由圖知,元位移,力函數(shù),.,49, 彈簧彈性力的功,.,50,1)、保守力,如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力，,即保守力沿任一閉合路徑的功為零。,如果某力的功只與始末位置有關(guān)而與具體路徑無關(guān)，則該力謂之保守力。,.,51,L,S+,保守力的共同特征：,a、 力函數(shù)或為常數(shù)，或者僅為位置的函數(shù)；,b、 保守力的功總是“原函數(shù)”增量的負(fù)值。,2)、非保守力,若力的功值與具體路徑有關(guān),則為非保守力.,如摩擦力、爆炸力等。,.

19、,52,例214 一物體按 x=ct3 規(guī)律在媒質(zhì)中作直線運動，式中c為常量，t為時間，設(shè)媒質(zhì)對物體的阻力正比于速度的平方，阻力系數(shù)為k，試求物體由x=0運動到x=l時，阻力所作的功。,解： 速度,阻力為,阻力對物體所作的功為：,.,53,二、動能定理,1、動能,是一個獨立的物理量，,與力在空間上的積累效應(yīng)對應(yīng)。,這說明,又，m為常數(shù),.,54,是質(zhì)點作機械運動時所具有的運動量的量度，稱之為動能,是狀態(tài)量，相對量，與參照系的選擇有關(guān),2、動能定理,或,即，合外力的功等于物體動能的增量,合力對質(zhì)點作用一段距離所產(chǎn)生的積累作用，從而導(dǎo)致動能的有限變化。,.,55,動能與動量的區(qū)別,引入,兩種度量作

20、用,.,56,例6 一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在力 的作用下，由靜止開始沿一軌跡方程為 x29y 的曲線從原點（，）運動到（，）點。試求質(zhì)點運動到點時的速度。,解：根據(jù)功的定義,將x29y 代入上式得,根據(jù)動能定理：,.,57,例2-17 一個質(zhì)量15g的子彈，以200米/秒的速度射入一固定的木板內(nèi)，如阻力與射入木板的深度成正比，即 且 求子彈射入木板的深度。,解：以m為研究對象， 建立坐標(biāo)系ox，,設(shè)射入深度為,在射入深度為x時，,由動能定理：,.,58,三、勢能,描述機械運動的狀態(tài)參量是,對應(yīng)于：,彈簧彈性力的功,萬有引力的功,重力的功,1、勢函數(shù),為此我們回顧一下保守力的功,.,59,由上所列保

21、守力的功的特點可知，其功值僅取決于物體初、終態(tài)的相對位置，故可引入一個由相對位置決定的函數(shù),由定積分轉(zhuǎn)換成不定積分，則是,式中c為積分常數(shù)，在此處是一個與勢能零點的選取相關(guān)的量,又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個函數(shù)必定具有能量的性質(zhì)；而這個具有能量性質(zhì)的函數(shù)又是由物體相對位置所決定，故把這種能量稱之為勢能（或曰位能），用表示。,則有：,.,60,2、已知保守力求勢能函數(shù),彈性勢能：,保守力的力函數(shù),若取坐標(biāo)原點，即彈簧原長處，為勢能零點，則 c=0,于是,重力勢能,保守力的力函數(shù),若取坐標(biāo)原點為勢能零點，則c=0,.,61,引力勢能,保守力的力函數(shù),若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能零點，則,勢

22、能函數(shù)的一般特點,1) 對應(yīng)于每一種保守力就可引進(jìn)一種相關(guān)的勢能,2) 勢能大小是相對量與所選取的勢能零點有關(guān),3) 一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值,4) 勢能是彼此以保守力作用的系統(tǒng)所共有,.,62,、已知勢能函數(shù)求保守力分布,若保持y，z 不變， 則dydz0,同理,則,.,63,.,64,勢能曲線,將勢能隨相對位置變化的函數(shù)關(guān)系用一條曲線描繪出來，就是勢能曲線。,.,65,1、勢能曲線能說明質(zhì)點在軌道上任一位置時，質(zhì)點系所具有的勢能值。,2、勢能曲線上任一位置處的斜率（dEP/d ）的負(fù)值，表示質(zhì)點在該點處所受的保守力。,設(shè)有一保守系統(tǒng)，其中一質(zhì)點沿x方向作一維運動，則有,由教材中

23、之圖可知，凡勢能曲線有極值時，即曲線斜率為零處，其受力為零。這些位置點即為平衡位置。,勢能曲線有極大值的位置點是不穩(wěn)定平衡位置，勢能曲線有極小值的位置點是穩(wěn)定平衡位置點,由勢能曲線所獲得的信息,.,66,四、 質(zhì)點系的動能定理與功能原理,1、質(zhì)點系的動能定理, 質(zhì)點系的內(nèi)力和外力, 對于單個質(zhì)點,.,67, 對 i 求和質(zhì)點系的動能定理,質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)保守力的功、內(nèi)部非保守力的功三者之和。,.,68,若引入 (機械能） 則可得,系統(tǒng)機械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。,2、功能原理,由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，而對每一對內(nèi)部保守力均有,.,69,）功能原理只適用

24、于慣性系（從牛頓定律導(dǎo)出）,3 )具體應(yīng)用時，一是要指明系統(tǒng)，二是要交待相關(guān)的勢能零點,注意的問題：,） 功能原理是屬于質(zhì)點系的規(guī)律（因涉及P），與質(zhì)點系的動能定理不同,質(zhì)點系動能定理,質(zhì)點系功能原理,4）當(dāng)質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點有相對運動時，注意將各量統(tǒng)一到同一慣性系中,.,70,五、機械能守恒律,由功能原理式可知,機械能守恒的條件：,系統(tǒng)與外界無機械能的交換,系統(tǒng)內(nèi)部無機械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換,當(dāng)系統(tǒng)機械能守恒時，應(yīng)有,即系統(tǒng)內(nèi)，動能的增量勢能增量的負(fù)值,若 和 ,則系統(tǒng)的機械能保持不變。,.,71,六、能量轉(zhuǎn)換與守恒,在一個孤立的系統(tǒng)內(nèi)，各種形態(tài)的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無能怎樣轉(zhuǎn)換，這個系統(tǒng)的總能量將始終保持不變。,.,72,例 2-18 如圖所示質(zhì)量為M的物塊A在離平板h的高度處自由下落，落在質(zhì)量也是M的平板B上。已知輕質(zhì)彈簧的倔強系數(shù)為k，物體與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后