數(shù)學(xué)物理方法課件：02第二章 解析函數(shù)

1、第二章 解析函數(shù),復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解析函數(shù)，調(diào)和函數(shù) 初等解析函數(shù),復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)和解析的判別,給定調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù),作業(yè)：習(xí)題二 4(2), 5(2), 8(2), 17, 18, 21,Analytic functions,1.導(dǎo)數(shù)與微分,定義：設(shè)函數(shù) f (z) 在 z 的某個(gè)鄰域上有定義。,若存在極限 則稱,f (z) 在 z 處可導(dǎo) (可微)，此極限值稱為 f (z) 在 z 處的導(dǎo)數(shù)，記為,再次注意：定義中 0 的方式是任意的,2.1 解析函數(shù)的柯西-黎曼條件,例1：對(duì)正整數(shù) n，函數(shù) f (z) = zn 處處可導(dǎo)；函數(shù) 處處連續(xù)但處處不可導(dǎo),1, z = x 沿實(shí)軸趨于 0,-

2、1, z= iy 沿虛軸趨于 0,求導(dǎo)法則,微分：,洛必達(dá) (LHospital) 法則,導(dǎo)數(shù)即微商：,或,導(dǎo)數(shù)定義中取,柯西-黎曼條件,2. 柯西-黎曼條件,或,極坐標(biāo)形式：,取,或,或,f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在點(diǎn) z=x+iy 可導(dǎo)的充分條件：,柯西-黎曼條件,在 (x,y) 處 u(x,y), v(x,y) 的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足, 導(dǎo)數(shù)的四種表達(dá)形式,復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的判別定理,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 存在全微分,證明：,由柯西-黎曼條件，,3. 解析函數(shù),定義：若 f (z) 在 z0 的某個(gè)鄰域處處可導(dǎo)，則稱 f (z) 在 z0 點(diǎn)解析 z0 是 f (z) 的解析點(diǎn)。,反例：

3、|z|2 在 z=0 可導(dǎo)但不解析,f (z) 在 z0 點(diǎn)解析,f (z) 在 z0 點(diǎn)可導(dǎo),若 f (z) 在 z0 無定義或不解析，則稱 z0 為 f (z) 的奇點(diǎn),f (z) 在 z0 點(diǎn)連續(xù),定義：若點(diǎn)集 E 中的每個(gè)點(diǎn)都是函數(shù) f (z) 的 解析點(diǎn)， 則稱 f (z) 在 E 上解析,若 f (z) 在點(diǎn) a 解析，則在 a 的某個(gè)鄰域上解析,對(duì)區(qū)域 D，,f (z) 在 D 上解析,f (z) 在 D 中的每個(gè)點(diǎn)可導(dǎo),則 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 D 上解析,若在區(qū)域 D 的每個(gè)點(diǎn)，u(x,y), v(x,y) 都有,連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且滿足柯西-黎曼條件，,

4、例2：證明函數(shù) 在整個(gè) 復(fù)平面上解析，且,在各點(diǎn)處 u，v 的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足 C-R 條件,f (z) 處處解析,2.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,定義：稱函數(shù) (x, y) 為區(qū)域 D 上的調(diào)和函數(shù)，,若它滿足二維拉普拉斯方程,f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 區(qū)域 D 上解析,定理：,u(x,y) 和 v(x,y) 都是 D 上的調(diào)和函數(shù),已知調(diào)和函數(shù) u(x,y)，求解析函數(shù) u(x,y) + i v(x,y),為任意選定的點(diǎn)，,=0,全微分的原函數(shù),(u 調(diào)和),例3：驗(yàn)證 是平面上的調(diào)和函數(shù)， 并求出以它為實(shí)部的解析函數(shù),u (x, y) 為調(diào)和函數(shù),積分 (2)：,。

5、代入 (1) ,c 為任意實(shí)常數(shù),另解：湊全微分,設(shè)區(qū)域 D 上的解析函數(shù) f (z) 滿足 ，則,兩簇等值線 u(x,y)=常數(shù), v(x,y)=常數(shù) 正交,解析函數(shù)的幾何意義,設(shè)兩條等值線交于點(diǎn) (x0, y0),兩條曲線,C-R 條件 兩條 切線斜率之積 = -1,在交點(diǎn)處的切線方程,解析函數(shù)與平面靜電場(2.4),在無源區(qū)，平面靜電場 E(x,y) 的勢函數(shù) V(x,y),V(x, y) 為調(diào)和函數(shù),設(shè),為解析函數(shù)，則,正交,等勢線與電力線正交,是電力線,力函數(shù) U(x,y) 滿足,復(fù)勢 w(z) 滿足,z3,實(shí)部，“電力線”,虛部，“等勢線”,z2,類似極坐標(biāo)系的正交曲線坐標(biāo)系,解析

6、函數(shù)的基本性質(zhì),(i) 設(shè) f (z) , g (z) 在區(qū)域 D 上解析，h(w) 在區(qū)域 W 上解析，f(z)|zDW。則 f (z) g (z) , f (z) g (z), hf (z) 均在 D 上解析； f (z)/ g (z) 在 g (z)0 的點(diǎn) z 處解析。,(ii) 若 z=g(w) 在區(qū)域 W 上解析，且為單映射，則 g 將區(qū)域 W 映射為區(qū)域 D=g (w) |wW； 存在 D 上的解析函數(shù) w=f(z)，滿足 fg(w) =w, wW； gf(z) =z, zD。,2.3 初等解析函數(shù),1.初等單值函數(shù),冪函數(shù),在整個(gè)復(fù)平面上解析,多項(xiàng)式函數(shù),有理函數(shù),奇點(diǎn)為 Q(

7、z) 的零點(diǎn),規(guī)定,指數(shù)函數(shù),模,指數(shù)函數(shù)沒有零點(diǎn),幅角,滿足,在整個(gè)復(fù)平面解析，,周期性,在每個(gè)帶形區(qū)域 Imz +2 內(nèi)，w = ez 為單映射，,值域?yàn)?w|w0, arg w ,極限 不存在,復(fù)變?nèi)呛瘮?shù),模,sinz, cosz 基本周期為 2，tanz 基本周期為,cosz 的零點(diǎn)為 z = n+/2 (nZ)， sinz 的零點(diǎn)為 z = n (nZ),導(dǎo)數(shù),所有與大小無關(guān)的三角公式都成立,復(fù)變雙曲函數(shù),與三角函數(shù)的關(guān)系：,雙曲正弦、雙曲余弦,寫出模的表達(dá)式，零點(diǎn)，周期，導(dǎo)數(shù),2. 初等多值函數(shù),根式函數(shù),對(duì) z0，設(shè),有 n 個(gè)不同的 w 值，形成 n 個(gè)分支函數(shù)：,關(guān)鍵：找出

8、單值解析區(qū)域，計(jì)算函數(shù)值,的多值性源于,z 的幅角的多值性,限制的取值范圍，wk(z) 可變?yōu)閱沃岛瘮?shù),若規(guī)定 ，,則 wk(z) 在整個(gè) z 平面單值；,若要求 wk(z) 單值解析，,但在射線 上的點(diǎn)處不連續(xù),x,y,o,zo,需縮小定義域,可將定義域改為,各分支函數(shù)在區(qū)域 D = z| Argz + 2 內(nèi)都單值解析,當(dāng) z 繞圓 |z|=r 轉(zhuǎn) 1 圈時(shí)，分支函數(shù) wk 變?yōu)?wk+1。,支點(diǎn)：對(duì)點(diǎn) a 的充分小鄰域 ，當(dāng) z 沿此鄰域的邊界圓周轉(zhuǎn)一圈時(shí)，若 f(z)從多值函數(shù)的一個(gè)分支變到另一個(gè)分支，則稱 a 為多值函數(shù)的支點(diǎn),支割線：把平面割去某簡單曲線(可延伸至)后，若自變量的變

9、化不會(huì)將多值函數(shù)從一個(gè)分支變到另一個(gè)分支，則稱此曲線為多值函數(shù)的支割線,對(duì)簡單閉曲線 L和 z0 L，當(dāng) z 沿 L 逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，讓 z-z0 的幅角連續(xù)變化。當(dāng) z 轉(zhuǎn)一圈時(shí)，幅角增量,L,0，z0 在 L 的外部,2，z0 在 L 的內(nèi)部,az0， 時(shí)，不是 的支點(diǎn)：,根式函數(shù) 只有兩個(gè)支點(diǎn) z0, ,z,根式函數(shù) 的支割線可取從 z=0 出發(fā)到 的任意射線；,以負(fù)實(shí)軸為支割線、在正實(shí)軸上取正值的分支,單值分支在支割線的兩岸取不同的值；,(主值支),規(guī)定主值支：,支割線,改變時(shí)，各單值分支的定義域、值域隨之改變。,各分支的值域如圖,例4：設(shè) 確定在沿負(fù)實(shí)軸割破的 z 平面上。若它在 z

10、= i 處取值 i，則 w(-i) = ?,應(yīng)取分支 w2：,“負(fù)實(shí)軸”換為“正實(shí)軸”：,幅角取值,對(duì)數(shù)函數(shù),滿足 ew = z 的復(fù)數(shù) w 稱為 z 的對(duì)數(shù)。,對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性體現(xiàn)在虛部有無窮多個(gè)值。,主值支：,單值的冪函數(shù)， a = 整數(shù) 根式函數(shù)， a = 非整數(shù)的有理數(shù)； 無窮多值的函數(shù)，a = 其它,多值函數(shù)的恒等式理解為集合相等：,問題：以下哪些等式正確？,各分支將角形 變?yōu)樗綆?對(duì)數(shù)函數(shù)的分支：,支割線,繞 z=0 轉(zhuǎn) 1 圈，,對(duì)數(shù)函數(shù)的支點(diǎn)為 0，：,支割線可取從 z=0 出發(fā)到的任意射線,C-R 條件 ,例5：1) 計(jì)算,2) 解方程,反三角函數(shù),滿足 sinw = z 的復(fù)數(shù) w,例6：求 的支點(diǎn)，,繞充分小的圓| z-a| = 轉(zhuǎn)一圈：,a, b 為支點(diǎn)：, a 是支點(diǎn),ca, b 以及 不是支點(diǎn)：,繞充分小的圓| z-c| = 轉(zhuǎn)一圈：,繞充分大的圓 |z| =