高等數(shù)學(xué)(同濟大學(xué))課件下第8_8極值與最值

1、,第八章,第八節(jié),一、多元函數(shù)的極值,二、最值應(yīng)用問題,三、條件極值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元函數(shù)的極值及其求法,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).,例如 :,在點 (0,0) 有極小值;,在點 (0,0) 有極大值;,在點 (0,0) 無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,的某鄰域內(nèi)有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .,例如,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,但駐點不一定是極值

2、點.,有駐點( 0, 0 ),但在該點不取極值.,且在該點取得極值 ,則有,存在,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,時, 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),證明見 第九節(jié)(P65) .,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求

3、二階偏導(dǎo)數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在點(3,0) 處,不是極值;,在點(3,2) 處,為極大值.,在點(1,2) 處,不是極值;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在點(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、最值應(yīng)用問題,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點,駐點,邊界上的最值點,特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點P 時,為極

4、小 值,為最小 值,(大),(大),依據(jù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點,某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點就是最小值點.,即當(dāng)長、寬均為,高為,時, 水箱所用材料最省.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才

5、能使斷面面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個駐點,故此點即為所求.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,引入輔助函數(shù),輔助函

6、數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,極值點必滿足,則極值點滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點 .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,要設(shè)計一個容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？,的長方體開口水箱, 試問,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,得唯

7、一駐點,由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價,最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,如對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,機動 目錄 上頁

8、下頁 返回 結(jié)束,設(shè)拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步 判別, 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小, 根據(jù)問題的實際意義確定最值,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),3. 函數(shù)的最值問題,在條件,求駐點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓,圓周上求一點 C, 使,ABC 面積 S最大.,解答提示:,設(shè) C 點坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí),則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點,對應(yīng)面積,而,比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形,面積最大.,點擊圖中任意點 動畫開始或暫停,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè) P61 3, 4, 8, 9, 10,習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.,解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,設(shè)拉氏函數(shù),解方程組,