數(shù)學(xué)不等式高考真題

1、1.（2018卷）設(shè)函數(shù) f(x)=5|x+a|x2| （1） 當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f(x)0 的解集； （2）若 f(x)1 ，求 a 的取值范圍 2.（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=|xa|，其中a1 （1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）4|x4|的解集； （2）已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值 3.（2017新課標(biāo)）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x+1|x2|（）求不等式f（x）1的解集；（）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范圍 4.（2017新課標(biāo)）選修4-5：不等式選講已知a0，b0，a3+b3=2，證明：（

2、）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b2 5.（2017新課標(biāo)卷）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（10分） （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范圍 6.（2017新課標(biāo)）選修4-5：不等式選講已知a0，b0，a3+b3=2，證明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b2 7.（2018卷）已知 f(x)=|x+1|ax1| （1）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f(x)1 的解集 （2）若 x(0,1) 時(shí)，不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范圍 8.（20

3、18卷）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集 （2）若x(0,1)時(shí)不等式f(x)x成立,求a的取值范圍 9.（2017新課標(biāo)）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x+1|x2| （1）求不等式f（x）1的解集； （2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范圍 10.（2014新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+ 1a |+|xa|（a0） （1）證明：f（x）2； （2）若f（3）5，求a的取值范圍 11.（2015福建)選修4-5：不等式選講已知a0,b0,c0,，函數(shù)fx=x+a+x-b+c的最小值為4 （1）求a+b+c的值

4、； （2）求14a2+19b2+c2的最小值 12.（2014新課標(biāo)I）若a0，b0，且 1a + 1b = ab （1）求a3+b3的最小值； （2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由 13.（2017新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x（12分） （1）討論f（x）的單調(diào)性； （2）當(dāng)a0時(shí)，證明f（x） 34a 2 14.（2017新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=x1alnx（）若 f（x）0，求a的值；（）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）m，求m的最小值 15.（2018卷）設(shè)函數(shù) f(x)=|2x+1|+|

5、x1|（1）畫出 y=f(x) 的圖像 （2）當(dāng) x0,+) 時(shí)， f(x)ax+b ，求 a+b 的最小值。 16.（2013福建）設(shè)不等式|x2|a（aN*）的解集為A，且 32A,12A （1）求a的值 （2）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2|的最小值 17.（2013新課標(biāo)）（選修45：不等式選講） 已知函數(shù)f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3 （1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）設(shè)a1，且當(dāng) xa2,12) 時(shí)，f（x）g（x），求a的取值范圍 18.（2016全國）選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)= x- 12 +x+ 12 ，M為不等式

6、f(x) 2的解集. （1）求M； （2）證明：當(dāng)a,bM時(shí)，a+b1+ab。 19.（2016全國）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|2xa|+a （1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）6的解集； （2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x1|，當(dāng)xR時(shí)，f（x）+g（x）3，求a的取值范圍 20.（2012新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2| （1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）3的解集； （2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范圍 21.（2012遼寧）選修45：不等式選講已知f（x）=|ax+1|（aR），不等式f（x）3的解集為x|2x1 （1）求a的值； （2）若 |f

7、(x)2f(x2)|k 恒成立，求k的取值范圍 答案解析部分一、解答題1.【答案】（1）a=1時(shí)，時(shí)，由 f（x）=62x,x22,1x24+2x,x1當(dāng)x2時(shí)，由f（x）0得：6-2x0，解得：x3；當(dāng)-1xx時(shí)，f（x）0；當(dāng)x-1時(shí)，由f（x）0得：4+2x0，解得x-2所以f（x）0的解集為x|-2x3（2）若f（x）1，即 5|x+a|x2|1 恒成立也就是xR， |x+a|+|x2|4 恒成立|x+a|+|x2|a+2|當(dāng)x=2時(shí)取等，所以xR， |x+a|+|x2|4 等價(jià)于 |a+2|4解得：a2或a-6所以a的取值范圍(-，-6 2，+） 【解析】【分析】（1）由絕對(duì)值不等式

8、的解法易得；（2）由絕對(duì)值幾何意義轉(zhuǎn)化易得.2.【答案】（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）4|x4|可化為|x2|+|x4|4， 當(dāng)x2時(shí)，得2x+64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，得24，無解；當(dāng)x4時(shí)，得2x64，解得x5；故不等式的解集為x|x5或x1（2）解：設(shè)h（x）=f（2x+a）2f（x），則h（x）= 由|h（x）|2得 ，又已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，所以 ，故a=3 【解析】【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）4|x4|可化為|x2|+|x4|4，直接求出不等式|x2|+|x4|4的解集即可（2）設(shè)h（x）=f（2x+a）2f（x），則h（x）=

9、2a,x04x2a,0xa2a,xa 由|h（x）|2解得 a12xa+12 ，它與1x2等價(jià)，然后求出a的值3.【答案】解：（）f（x）=|x+1|x2|= 3，x2 ，f（x）1，當(dāng)1x2時(shí)，2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，31恒成立，故x2；綜上，不等式f（x）1的解集為x|x1（）原式等價(jià)于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax ， 設(shè)g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= x2+x3，x1x2+3x1，1x2x2+x+3，x2 ，當(dāng)x1時(shí)，g（x）=x2+x3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 1，g（x）g（1）=113=5；當(dāng)1x2時(shí)，g（x）

10、=x2+3x1，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 32 （1，2），g（x）g（ 32 ）= 94 + 92 1= 54 ；當(dāng)x2時(shí)，g（x）=x2+x+3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；綜上，g（x）max= 54 ，m的取值范圍為（， 54 【解析】【分析】（）由于f（x）=|x+1|x2|= 3，x2 ，解不等式f（x）1可分1x2與x2兩類討論即可解得不等式f（x）1的解集；（）依題意可得mf（x）x2+xmax ， 設(shè)g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三類討論，可求得g（x）max= 54 ，從而可得m的取值范圍4.【答案】證明：

11、（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（ aa5 + bb5 ）2=（a3+b3）24，當(dāng)且僅當(dāng) ab5 = ba5 ，即a=b=1時(shí)取等號(hào)，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2， (a+b)323(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， （a+b）32 3(a+b)34 ， 14 （a+b）32，a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立 【解析】【分析】（）由柯西不等式即可證明，（）由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為 (a+b)323(a+b) =ab，再由均值

12、不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， 即可得到 14 （a+b）32，問題得以證明5.【答案】（1）解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2+x+4，是開口向下，對(duì)稱軸為x= 12 的二次函數(shù)，g（x）=|x+1|+|x1|= 2x，x12，1x12x，x12，1x12x，x1 ，分x1、x1，1、x（，1）三類討論，結(jié)合g（x）與f（x）的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）g（x）的解集為1， 1712 ；（2.）依題意得：x2+ax+42在1，1恒成立x2ax20在1，1恒成立，只需 12a120(1)2a(1)20 ，解之即可得a的取值范圍6.【答案】證明：（）由柯西

13、不等式得：（a+b）（a5+b5）（ aa5 + bb5 ）2=（a3+b3）24，當(dāng)且僅當(dāng) ab5 = ba5 ，即a=b=1時(shí)取等號(hào)，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2， (a+b)323(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， （a+b）32 3(a+b)34 ， 14 （a+b）32，a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立 【解析】【分析】（）由柯西不等式即可證明，（）由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為 (a+b)323(a+b) =ab，再由均值不等式可得

14、： (a+b)323(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， 即可得到 14 (a+b)32，問題得以證明7.【答案】（1）解：當(dāng) a=1 時(shí)， f(x)=|x+1|x1| ，即 f(x)=2,x1,2x,1x1 的解集為 x|x12 （2）解：當(dāng) x(0,1) 時(shí) |x+1|ax1|x 成立等價(jià)于當(dāng) x(0,1) 時(shí) |ax1|0 ， |ax1|1 的解集為 0x2a ，所以 2a1 ，故 00對(duì)于 x(0,1) 恒成立,即函數(shù)f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范圍.8.【答案】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)， f(x)2,x12x,1x12,x1當(dāng) x1 時(shí)，-21舍當(dāng) 1x12 x(12,1

15、當(dāng) x1 時(shí)，21,成立，綜上所述 f(x)1 結(jié)果為 (12,+)（2）解： x(0,1) f(x)=x+1|ax1|x|ax1|10ax2ax0a0.ax2 a0對(duì)于 x(0,1) 恒成立,即函數(shù)f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范圍.9.【答案】（1）解：f（x）=|x+1|x2|= 3，x2 ，f（x）1，當(dāng)1x2時(shí)，2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，31恒成立，故x2；綜上，不等式f（x）1的解集為x|x1（2）原式等價(jià)于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax ， 設(shè)g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= x2+x3，x1x2+3x1，1x2x2

16、+x+3，x2 ，當(dāng)x1時(shí)，g（x）=x2+x3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 1，g（x）g（1）=113=5；當(dāng)1x2時(shí)，g（x）=x2+3x1，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 32 （1，2），g（x）g（ 32 ）= 94 + 92 1= 54 ；當(dāng)x2時(shí)，g（x）=x2+x+3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；綜上，g（x）max= 54 ，m的取值范圍為（， 54 【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|x2|= 3，x2 ，解不等式f（x）1可分1x2與x2兩類討論即可解得不等式f（x）1的解集；（2.）依題意可得mf（x）x

17、2+xmax ， 設(shè)g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三類討論，可求得g（x）max= 54 ，從而可得m的取值范圍10.【答案】（1）解：證明：a0，f（x）=|x+ |+|xa|（x+ ）（xa）|=|a+ |=a+ 2 =2， 故不等式f（x）2成立（2）解：f（3）=|3+ |+|3a|5， 當(dāng)a3時(shí)，不等式即a+ 5，即a25a+10，解得3a 當(dāng)0a3時(shí)，不等式即 6a+ 5，即 a2a10，求得 a3綜上可得，a的取值范圍（ ， ） 【解析】【分析】（1）由a0，f（x）=|x+ 1a |+|xa|，利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f（x）2成立（2）由f（3）

18、=|3+ 1a |+|3a|5，分當(dāng)a3時(shí)和當(dāng)0a3時(shí)兩種情況，分別去掉絕對(duì)值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求11.【答案】（1）4（2）87 【解析】【解答】 1.因?yàn)閒x=x+a+x+b+cx+a-x+b+c=a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí)，等號(hào)成立，又a0,b0,所以a+b=a+b,所以fx的最小值為a+b+c，所以a+b+c=4. 2.由1知a+b+c=4，由柯西不等式得14a2+19b2+c24+9+1a22+b33+c12=a+b+c2=16,即14a2+19b2+c287.d當(dāng)且僅當(dāng)12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27時(shí)，等號(hào)成立所以14a2+19b2

19、+c2的最小值為87.【分析】當(dāng)x的系數(shù)相等或相反時(shí)，可以利用絕對(duì)值不等式求解析式形如fx=x+a+x+b的函數(shù)的最小值，以及解析式形如fx=x+a-x+b的函數(shù)的最小值和最大值，否則去絕對(duì)號(hào)，利用分段函數(shù)的圖象求最值利用柯西不等式求最值時(shí)，要注意其公式的特征，以出現(xiàn)定值為目標(biāo)12.【答案】（1）解：a0，b0，且 + = ， = + 2 ，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)取等號(hào)a3+b32 2 =4 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)取等號(hào)，a3+b3的最小值為4 （2）解：2a+3b2 =2 ，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)，取等號(hào) 而由（1）可知，2 2 =4 6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立 【解析】

20、【分析】（1）由條件利用基本不等式求得ab2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值（2）根據(jù) ab4及基本不等式求的2a+3b8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=613.【答案】（1）解：因?yàn)閒（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求導(dǎo)f（x）= 1x +2ax+（2a+1）= 2ax2+(2a+1)x+1x = (2ax+1)(x+1)x ，（x0），當(dāng)a=0時(shí)，f（x）= 1x +10恒成立，此時(shí)y=f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此時(shí)y=f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，令f（x）=0，解得：x= 12a 因?yàn)楫?dāng)x

21、（0， 12a ）時(shí)，f（x）0、當(dāng)x（ 12a ，+）時(shí)，f（x）0，所以y=f（x）在（0， 12a ）上單調(diào)遞增、在（ 12a ，+）上單調(diào)遞減綜上可知：當(dāng)a0時(shí)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0， 12a ）上單調(diào)遞增、在（ 12a ，+）上單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）可知：當(dāng)a0時(shí)f（x）在（0， 12a ）上單調(diào)遞增、在（ 12a ，+）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x= 12a 時(shí)函數(shù)y=f（x）取最大值f（x）max=f（ 12a ）=1ln2 14a +ln（ 1a ）從而要證f（x） 34a 2，即證f（ 12a ） 34a 2，即證1ln2 14a +ln（

22、1a ） 34a 2，即證 12 （ 1a ）+ln（ 1a ）1+ln2令t= 1a ，則t0，問題轉(zhuǎn)化為證明： 12 t+lnt1+ln2（*）令g（t）= 12 t+lnt，則g（t）= 12 + 1t ，令g（t）=0可知t=2，則當(dāng)0t2時(shí)g（t）0，當(dāng)t2時(shí)g（t）0，所以y=g（t）在（0，2）上單調(diào)遞增、在（2，+）上單調(diào)遞減，即g（t）g（2）= 12 2+ln2=1+ln2，即（*）式成立，所以當(dāng)a0時(shí)，f（x） 34a 2成立 【解析】【分析】（1.）題干求導(dǎo)可知f（x）= (2ax+1)(x+1)x （x0），分a=0、a0、a0三種情況討論f（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)

23、論；（2.）通過（1）可知f（x）max=f（ 12a ）=1ln2 14a +ln（ 1a ），進(jìn)而轉(zhuǎn)化可知問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)t0時(shí) 12 t+lnt1+ln2進(jìn)而令g（t）= 12 t+lnt，利用導(dǎo)數(shù)求出y=g（t）的最大值即可14.【答案】解：（）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1 ax = xax ，且f（1）=0所以當(dāng)a0時(shí)f（x）0恒成立，此時(shí)y=f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，所以在（0,1）上f(x)0,這與f（x）0矛盾；當(dāng)a0時(shí)令f（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+）上單調(diào)遞增，即f（x）min=f（a），又因?yàn)?/p>

24、f（x）min=f（a）0，所以a=1；（）由（）可知當(dāng)a=1時(shí)f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以ln（1+ 12k ） 12k ，kN*,所以1+12ke12k ，kN* 一方面，因?yàn)?12 + 122 + 12n =1 12n 1，所以，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）e；另一方面，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 123 ）= 13564 2，同時(shí)當(dāng)n3時(shí)，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（2，e）因?yàn)閙為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n（1+

25、12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）m，所以m的最小值為3 【解析】【分析】（）通過對(duì)函數(shù)f（x）=x1alnx（x0）求導(dǎo)，分a0、a0兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)f（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；（）通過（）可知lnxx1，進(jìn)而取特殊值可知ln（1+ 12k ） 12k ，kN* 一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）e；另一方面可知（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）2，且當(dāng)n3時(shí)，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（2，e）15.【答案】（1）解： f(x)=3x,x1（2）解：由（1）中可得：a3，b2，

26、當(dāng)a=3，b=2時(shí)，a+b取最小值，所以a+b的最小值為5. 【解析】【分析】（1）畫圖像，分段函數(shù);（2）轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)分析.16.【答案】（1）解：因?yàn)?， 所以 且 ，解得 ，因?yàn)閍N* ， 所以a的值為1（2）解：由（1）可知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3， 當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x2）0，即x2或x1時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)f（x）的最小值為3 【解析】【分析】（1）利用 32A,12A ，推出關(guān)于a的絕對(duì)值不等式，結(jié)合a為整數(shù)直接求a的值（2）利用a的值化簡函數(shù)f（x），利用絕對(duì)值三角不等式求出|x+1|+|x2|的最小值17.【答案】（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，求不

27、等式f（x）g（x）化為|2x1|+|2x2|x30 設(shè)y=|2x1|+|2x2|x3，則 y= ，它的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可得，y0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）（2）解：設(shè)a1，且當(dāng) 時(shí)，f（x）=1+a，不等式化為 1+ax+3，故 xa2對(duì) 都成立 故 a2，解得 a ，故a的取值范圍為（1， 【解析】【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）g（x）化為|2x1|+|2x2|x30設(shè)y=|2x1|+|2x2|x3，畫出函數(shù)y的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論（2）不等式化即 1+ax+3，故 xa2對(duì) xa2,12) 都成立故 a2 a2，由此解得a的取值范圍18.【答案】

28、（1）解：當(dāng) x12 時(shí)， f(x)=12xx12=2x ，若 1x12 ；當(dāng) 12x12 時(shí)， f(x)=12x+x+12=112 時(shí)， f(x)=2x ，若 f(x)2 ， 12x1 綜上可得， M=x|1x0 ，即 a2b2+1a2+b2 ，則 a2b2+2ab+1a2+2ab+b2 ，則 (ab+1)2(a+b)2 ，即 |a+b|ab+1| ，證畢 【解析】【分析】（1）分當(dāng)x 時(shí)，當(dāng) x 時(shí)，當(dāng)x 時(shí)三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（2）當(dāng)a，bM時(shí)，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2 ， 配方后，可證得結(jié)論19.【答案】（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4