《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》教學(xué)設(shè)計

1、1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(名師：卓忠越)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運用觀察、類比、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想、猜測、檢驗等合情推理方法，提高學(xué)生運算能力和邏輯推理能力.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1牢固掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式，并能靈活解題，提高學(xué)生分析、解決三角函數(shù)的思維能力；2探究同角三角函數(shù)關(guān)系式時，體會數(shù)形結(jié)合的思想；已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，進(jìn)一步樹立分類思想；解題時，注重化歸的思想，將新題目化歸到已經(jīng)掌握的知識點上；3牢固掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系式,并能靈活運用于解題,提高分析、解決三角函數(shù)的思維能力；4靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形,提高三角恒等變

2、形的能力.（三）學(xué)習(xí)重點1理解并掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式；2熟練掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法.（四）學(xué)習(xí)難點1已知某角的一個三角函數(shù)值，求其余的各三角函數(shù)值時符號的確定；2掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系式,并能靈活運用于解題,提高分析、解決三角函數(shù)的思維能力.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1預(yù)習(xí)任務(wù)（1）熟記，五個特殊角的三角函數(shù)值（2）閱讀教材P18P202預(yù)習(xí)自測（1）已知，且為第三象限角，求、的值【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【解題過程】在第三象限 由得： 由得：【思路點撥】利用兩組三角函數(shù)公式和三角函數(shù)符號判定，代入解方程求解.【答案】，（2）化簡：（1）；

3、（2）【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用【解題過程】（1）（2）【思路點撥】（1）“切化弦”，統(tǒng)一函數(shù)名稱從而實現(xiàn)化簡的目的；（2）利用進(jìn)行“1”的代換，統(tǒng)一分子分母為齊次式.【答案】（1）；（2）1（3）求證：（1）（2）【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用【解題過程】（1）法一：左邊=右邊法二：右邊 =左邊（2）左邊=右邊【思路點撥】恒等式證明遵循“化繁為簡”的基本準(zhǔn)則，即可從左化到右，也可從右化到左，或左右都往中間化得到相同的結(jié)果.【答案】見解題過程 (二)課堂設(shè)計1知識回顧（1）任意角的三角函數(shù)的定義（2）任意角的三角函數(shù)值的符號法則（3）初中所學(xué)的同角銳角三角函數(shù)的基本關(guān)系2問題探究探究一 結(jié)

4、合任意角的三角函數(shù)的定義，探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系活動 類比初中所學(xué)知識，猜想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系回顧初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，在RtACB中，C=，三邊長分別為，銳角A的三角函數(shù)的定義是什么？銳角A的這三個三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？；以上同角三角函數(shù)關(guān)系對任意角仍成立嗎？【設(shè)計意圖】從已有的知識出發(fā)，類比探究知識的延展，得到合理的猜想，為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎(chǔ)，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.活動 回歸定義，證明猜想，得到結(jié)論你能根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義證明以上同角三角函數(shù)關(guān)系嗎？也就是說，同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.【設(shè)計意圖】運用定義給予嚴(yán)格證明，肯定猜想的正確性

5、，是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.活動 架構(gòu)遷移，熟悉公式結(jié)構(gòu)和使用條件為了讓學(xué)生及時熟悉公式，要求學(xué)生完成以下的課堂練習(xí)：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_學(xué)生交流、討論，最終在教師的引導(dǎo)下得到上述兩個公式中應(yīng)該注意的問題：注意“同角”指相同的角，例如：、；注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如中，且需有意義等.【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，感知并理解同角的意義和公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.探究二 同角三角公式的靈活運用活動 探究兩個公式的等價變形式及應(yīng)用由等價變形式，已知余弦值可以求正弦值；由等價變形式，已知正弦值可以求余弦值.但比如: ，此時，、的符號受所在象限的限制，不是無

6、條件的.例1.已知，其中在第四象限，求的值.【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想【解題過程】第一步：定號 在第四象限 第二步：定值 由得：由得：【思路點撥】熟記公式，代入解方程求解. 【答案】同類訓(xùn)練1：已知，求的值.【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想和分類討論思想【解題過程】第一步：定象限 在第一或第二象限 第二步：定號、定值（1）當(dāng)在第一象限時，由得：由得：（2）當(dāng)在第二象限時，【思路點撥】涉及開方運算，符號判斷取決于角所在象限.當(dāng)角所在象限不確定時，需逐一分情況討論.【答案】或同類訓(xùn)練2：已知，其中在第三象限，求的

7、值.【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想【解題過程】第一步：定號在第三象限 第二步：定值由解方程得：【思路點撥】共三個量，兩個方程，任給其中一個都可以求出另兩個.【答案】【設(shè)計意圖】通過計算熟練掌握公式，并體會分類討論思想在三角函數(shù)符號確定中的應(yīng)用活動 強化提升、靈活應(yīng)用例2 已知，求的值【知識點】正余弦公式的靈活應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】解：【思路點撥】通過平方升次后，便于使用，從而使問題得到簡化.【答案】同類訓(xùn)練：在例2的條件下，能求嗎？【知識點】正余弦公式的靈活應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】解： 是第二或第四象限角（1）當(dāng)是第二象限角時

8、， （2）當(dāng)是第四象限角時， 【思路點撥】兩者之間通知聯(lián)系起來，三者任給其中一個可以求出另外兩個.【答案】或例3 已知，求下列各式的值： （1） （2） 【知識點】弦化切公式的靈活應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】解：（1）分子分母上下同時除以得：（2）分子分母上下同時除以得：【思路點撥】關(guān)于的齊次分式，可以弦化切，變形為關(guān)于的式子.【答案】（1）； （2）同類訓(xùn)練：已知，求值：【知識點】弦化切公式的靈活應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】解：【思路點撥】關(guān)于的齊次分式，可以弦化切，變形為關(guān)于的式子.【答案】例4 求證： 【知識點】三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸【解題過程】解：左

9、邊= =右邊【思路點撥】恒等式變形可由左到右，亦可由右到左，統(tǒng)一次數(shù)，統(tǒng)一函數(shù)名稱.【答案】見解題過程同類訓(xùn)練 求證：【知識點】三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形【解題過程】解：左邊=右邊=又 左邊=右邊原式得證.【思路點撥】“切化弦”統(tǒng)一函數(shù)名，為證明恒等式奠基；恒等式證明可以從左右分別變形，得到相同或相等的中間式，從而等式得證.【答案】見解題過程3. 課堂總結(jié)知識梳理掌握兩組三角函數(shù)基本關(guān)系式：和重難點歸納（1）運用三角函數(shù)公式求三角函數(shù)值涉及開方運算時，注意分析確定三角函數(shù)值的符號；不能確定的要進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)和求解目標(biāo)，選擇合理的變形方向，并在訓(xùn)練中不斷提高三角恒等變形的能

10、力.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.已知，且為第四象限角，求的值.【知識點】正余弦關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想【解題過程】在第四象限 由得： 由得：【思路點撥】熟記公式，代入解方程求解. 【答案】2.已知，求的值.【知識點】兩組關(guān)系式的基本應(yīng)用及三角函數(shù)值符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想【解題過程】 在第二或第四象限 （1）若角在第二象限，則 由解方程得： （2）若角在第四象限，則 由解方程得：【思路點撥】共三個量，兩個方程，任給其中一個都可以求出另兩個；但角所在象限不確定時，注意分類討論.【答案】或3.已知，求的值.【知識點】弦化切公式的靈活應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】化歸

11、思想【解題過程】解：分子分母上下同時除以得：【思路點撥】關(guān)于的齊次分式，可以弦化切，變形為關(guān)于的式子.【答案】4.已知，則求的值.【知識點】熟練應(yīng)用公式【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解： 【思路點撥】利用完全平方公式構(gòu)造，代入即可.【答案】5.求證：【知識點】三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：左邊= =右邊【思路點撥】恒等式變形可由左到右，亦可由右到左，“切化弦”是常用統(tǒng)一函數(shù)名的辦法.【答案】見解題過程能力型 師生共研1(1)已知，且為第二象限角，求.(2)已知，求.(3)已知，求.【知識點】熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系式及符號判定【數(shù)學(xué)思想】方程的思想和分類討論思想 【解題過程】 (1)

12、，且是第二象限角，cos.tan.(2)sin，是第一或第二象限角當(dāng)是第一象限角時，cos.tan；當(dāng)是第二象限角時，tan.(3)sinm(m0，m1)，cos(當(dāng)為第一、四象限角時取正號，當(dāng)為第二、三象限角時取負(fù)號)當(dāng)為第一、四象限角時，tan；當(dāng)為第二、三象限角時，tan.【思路點撥】先求與sin的平方關(guān)系相聯(lián)系的cos，再由公式求tan.(2)(3)中的范圍不確定，須討論確定開方的符號【答案】(1) (2)或 (3)或2.已知sincos，(0，)，則(1)sincos_；(2)sin3cos3_；(3)tan_【知識點】三者的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】方程的思想和整體代換的思想【解題過程】 (

13、1)sincos，(sincos)2.2sincos.又(0，)，sin0，cos0.sincos.(2)sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)(1).(3)方法一：由解得sin，cos.tan.方法二：因為sincos，sincos，由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin，cos是方程x2x0的兩根，所以x1，x2.又sincos0，cos0，sincos0，是第一、三象限角由得(為第一象限角)，或(為第三象限角)sincos.sin23sincos1311.方法二：tan3，sin2cos21，sin23sincos11111.【思路點撥】解這類問題有兩個方法，一是直接求出sin和cos的值，再代入