復(fù)變函數(shù)第2講x

1、1,3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,1、乘積與商,因此 |z1z2|=r1r2， Arg(z1z2)=Argz1+Argz2.,注意其幾何意義.,2,結(jié)論 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的輻角之差。,3,2、冪與根,2.1定義z的n次冪：,則有,- 棣美弗公式.,2.2 定義z的n次根： 若有 w n=z,則稱w為z的n次根，記為,定義,4,如何求z的n次根呢？,5,注：1任一非零復(fù)數(shù)開 n次方，有且僅有n個不同的根； 2它們均勻分布在以原點(diǎn)為中心，r1/n為半徑的圓周上.,6,例2.,例1.,7,8,4 區(qū)域，單連通，多連通,1、區(qū)域的概念,1.1 鄰域：復(fù)平

2、面上以z0為中心，半徑為的圓內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合稱為z0的一個鄰域,記為,去心鄰域：由不等式 0|z-z0|所確定的點(diǎn)集。,以下設(shè)G為一平面點(diǎn)集.,9,1.3 開集 若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是 內(nèi)點(diǎn)，則稱G是開集.,1.4 區(qū)域 設(shè) D是一個開集， 且D是連通的，稱 D是一個區(qū)域.,D-區(qū)域,1.5 邊界與邊界點(diǎn) 已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何 鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是 D的邊界點(diǎn)；,D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.,10,1.6 閉區(qū)域: 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，記作 .,1.7 有界域與無界區(qū)域：如果區(qū)域D可以包含在一個以原點(diǎn)為中心的圓里面，則稱D為有界的；否則稱為無界

3、的.,例如,表示一個閉區(qū)域.,例如,11,2、 簡單曲線（或Jordan曲線),令z(t)=x(t)+i y(t) atb ; 則曲線方程可記為：z=z(t)， atb,有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.,2.1,12,13,3. 單連通域與多連通域,2.4 簡單閉曲線的性質(zhì),14,例 |z|1是多連通區(qū)域。,注：1. 多連通區(qū)域的一個顯著特點(diǎn)：內(nèi)部含有洞或 裂縫. 2. 任一簡單閉曲線將復(fù)平面分為內(nèi)、外兩部分，內(nèi)部單連通，外部多連通. 3. 屬于單連通區(qū)域D內(nèi)的任何一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn).,單連通區(qū)域,多連通區(qū)域,15,5 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性,1、 復(fù)

4、變函數(shù)的定義,定義 設(shè)G是一個復(fù)數(shù)z=x+iy的集合, 如果有一個確定的法則存在, 按照這一法則, 對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z, 就有一個或幾個復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng), 則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)), 記作： w=f(z).,如果z的一個值對應(yīng)著w的一個值, 則函數(shù)f(z)是單值的; 否則就是多值的. 集合G稱為f(z)的定義集合, 對應(yīng)于G中所有z對應(yīng)的一切w值所成的集合G*, 稱為函數(shù)值集合.,16,在以后的討論中, 定義集合G常常是一個平面區(qū)域, 稱之為定義域, 并且, 如無特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).由于給定了一個復(fù)數(shù)z=x+iy就相當(dāng)于給定了兩個實(shí)數(shù)x和y

5、, 而復(fù)數(shù)w=u+iv亦同樣地對應(yīng)著一對實(shí)數(shù)u和v, 所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當(dāng)于兩個關(guān)系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它們確定了自變量為x和y的兩個二元實(shí)變函數(shù).,17,如:,定義：若對集合A中的任一元素a，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，總有集B中的元素b相對應(yīng)，則稱 f 是集合A到集合B的一個映射，記為f: ab， a、b分別稱為映射的原象和象.,18,在幾何上， w=f(z)可以看作：,定義域,函數(shù)值集合,19,因此，象點(diǎn)與原象點(diǎn)相比，模是原來的平方，幅角是 原來的二倍.除此而外,我們還不難發(fā)現(xiàn)，這一映射還具有 這樣的特性：,將頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域映成角形域，只不

6、過夾角擴(kuò)大為二倍.如：將z平面第一象限映成w平面一、二象限, 即上半平面; 將單位圓映成單位圓.,所以在該映射下,20,圖示,21,解：原曲線的方程為：,記,則,-這就是象曲線的實(shí)參數(shù)方程.,消去參數(shù)，得,這是一個圓周.,于是象曲線方程為：,22,3、 復(fù)變函數(shù)的反函數(shù),定義 設(shè) w =f (z) 的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*, G*中的 每一個點(diǎn)w必將對應(yīng)著G中的點(diǎn).按照函數(shù)的定義，在G*上 就確定了一個單值（或多值）函數(shù)，它稱為w =f (z) 的反函數(shù)，也稱為映射w =f (z)逆映射.,則稱z=(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.,當(dāng)它們都是單射時,稱為一一對應(yīng).,23,4、

7、函數(shù)的極限,幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn) 入z0 的充分小去 心鄰域時,它的象 點(diǎn)f(z)就落入A的 一個預(yù)先給定的 鄰域中.,24,注：從形式上來看，復(fù)變函數(shù)的極限定義與一元實(shí)函數(shù) 是完全類似的，但實(shí)際上二者有很重要的區(qū)別.主要是因?yàn)樵趶?fù)平面上，變量z趨于z0的方式有無窮多種，可以從不同的方向，既可以沿直線，也可以沿曲線.這一點(diǎn)跟二元函數(shù)的極限有相似之處.,所以，如果僅憑某幾個特殊方向，還不能判斷極限存在。 如果方向不同，變化趨勢也不一樣，則極限一定不存在.,25,相關(guān)性質(zhì),定理的重要意義在于將復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為兩個二元實(shí)函數(shù)的極限問題，這是在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)討論過的問題。,26,證明：,27,反過來,28,5、函數(shù)的連續(xù)性,定理2,29,由此，復(fù)函數(shù)的連續(xù)性問題也轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的實(shí)問題.,本定理的證明可根據(jù)定理1立即得到.,相關(guān)性質(zhì),30,根據(jù)定理2和定理3還可推得:,定理4. 1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零) 仍是連續(xù)函數(shù). 2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)還是連續(xù)函數(shù).,2. 在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)在曲線上是有界的.