幾何與代數課件：總復習

1、,幾何與代數總復習,2010年國家級精品課程,線性 方程組 Ax=b,加法和數乘,轉置: (AB)T=BTAT,A1: AB=BA=E,分塊運算: 分塊轉置,初等行(列)變換,秩: r(A)=行(列)秩,Ak , f(A),Eigen pair: A= (),相似: P1AP=B,xR3時判別直線和 平面的位置關系,b可由A的列向量組 A1, A2 , ,An線性表示,方陣的特征值和特 征向量 A= (),方陣的相似對角化 問題 P1AP=,實對稱陣正交相似對角化Q1AQ=diag(1,n),正交變換化實二次 型為標準形,直角坐標變換化二次 曲面為標準形,AB: 交換律消去律,|A|: Rnn

2、 R,tr(A)=aii: Rnn R,A*=(Aji): AA*=|A|E,相合: PTAP=B,正定: AT=A, xTAx0 (x),判別解: r1r2無解 r1=r2=n 唯一解, r1=r2n 無窮多解,(A b) rref,基解:非主列變 量=e1.enr,特解:非主列 變量=0,方陣,零矩陣,初等 矩陣,對稱 矩陣,對角 矩陣,單位矩陣,反對稱 矩陣,正交 矩陣,正定 矩陣,可逆 矩陣,幾何與代數復習要點,方陣的特殊形式,特殊矩陣,行矩陣A1n: 只有一行, 又名行向量.,列矩陣An1: 只有一列, 又名列向量.,零矩陣: 每個元素都是0, 常記為Omn或O.,初等矩陣: 由單位

3、矩陣經過一次初等變換所得.,方陣: 行數=列數.,對稱矩陣: AT = A.,對角矩陣: diag1, 2, , n, 常用表示.,數量矩陣: kE, 或kI, 其中k為常數.,單位矩陣: 主對角線元素都是1, 其余元素都是0, 常記為E或I.,反對稱矩陣: AT = A.,正交矩陣: QTQ = QQT = E.,正定矩陣: AT = A且x 有xTAx 0.,可逆矩陣: AB = BA = E.,幾何與代數復習要點,矩陣乘法消去率一般不成立.,矩陣乘法的交換律和消去率,矩陣乘法交換率一般不成立,(AB)k,Ak Bk,(A+B)2,A2 + B2+2AB,(A+B)(AB) A2B2,但是

4、，消去率在A可逆時成立.,矩陣乘積可交換的情況：,1. 方陣,4.,5.,AkAl=AlAk,3. (a Em) Amn = Amn(a En),2. 對角矩陣 =,幾何與代數復習要點,非零子式的最高階數,矩陣的秩,6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B),A中至少有一個 r級子式0, 任一k(r)級子式=0.,r(Amn) minm, n,9) 設A是n(2)階方陣, 則,2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).,3) r(Amn) = r A P,Q可逆,A =P Q.,設 A, B 都是可逆方陣, 則,常用的分塊矩陣求逆

5、和行列式公式,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|, |A| |B| |C| |D|,秩,階梯陣,r(A)=非0行數,行變換,極大無關組(基),階梯陣,主列對應原矩陣的列,行變換,行最簡形,非主列的線性表示關系,解線性方程組Ax=b (AX=B),(A b) 行變換 (A B)行變換,階梯陣,判別解:r1r2無解r1=r2=n 唯一解, r1=r2n無窮多解,行最簡形,基解:非主列變量為e1.enr,特解:非主列變量為0,逆矩陣,行變換,行最簡形,(A E) (E A1),行列式,行/列變換,三角形,某行(列)有 一非0元素,注意對角線方向的符號,按此行(列)展開,二. 用初等變

6、換求逆矩陣,(左行右列),(A E),(E A1),(A B),(E A1B),解AX=BX= A1B,解XA=BX= BA1,一. 初等陣與初等變換,一次初等 行變換,(左行右列),A B,E BA1,三. 用初等變換解矩陣方程,一次初等 列變換,方陣的行列式,定義,性質,計算,方程組Ax=b, |A|0,秩:r(A)=rr級子式0,任一k(r)級子式=0,特征多項式: |EA|,伴隨矩陣: A*=(Aji), AA*=|A|E,逆矩陣: A1 = A*/|A|,面積/體積,叉積/混合積,|AT| = |A|.,|A| |A|.,|A| |A|.,1. 化為三角形行列式,3. 行列式按行(列

7、)展開,2. 箭形行列式的計算,4. 提公因子法,5. 降階遞推法, aik Ajk = |A|ij ,6. 分解行列法,行列式與矩陣的區(qū)別,| |,初等變換時用 =, 或( ),初等變換時用,2. 如何計算一個可逆矩陣的逆矩陣？,1. 如何判斷矩陣是否可逆？,A為方陣,|A| 0,由推論：A(?) =E,由性質：,(kA)1 = k1A1.,(AB)1 = B1A1.,分塊求逆：,由公式：,(A E),(E A1),用初等行變換：,n階方陣A可逆, A與E相抵, A的行最簡形為E.,A為初等陣的乘積,多角度看可逆陣, A的行(列)向量組線性無關, 任一n維向量 都可由行(列)向量組線性表示,

8、 A的特征值均不為零, A的行(列)向量組的秩都是n.,(非退化陣),(滿秩), A的行(列)向量組是Rn的基., A為Rn的兩組基下的過渡矩陣., A的解空間的維數為0., A的列空間的維數為n., ATA為正定陣.,方陣A與E 相似 A = E ,A與E相合A正定,i 0,p=n,A=PTP,k0,特 征 值 和 特 征 向 量,|EA| = |E(P1AP)|,i = tr(A), i = |A|,A可逆A的特征值0, 1/是A1的特征值; |A|/是A*的特征值.,|EA| = |EAT|,A = f(A) =f(),對應于不同特征值的 特征向量線性無關,AT=AR,對應于不同 特征值

9、的特征向量正交,相似對角化,P 1AP=diag(1,n),A有n個l.i.的特征向量,A(復)r(iEA)=nni,A有n個不同特征值A,A的零化多項式的根可能是 但未必都是A的特征值.,Rnn,Rmn,相抵,相似,正交 相似,Rnn, 實對稱,相抵標準形,為初等陣,i為特征值,秩,特征值, 跡,行列式,秩,相合,Rnn,r,p,q, 對稱性,秩,實對稱,若A可相似 對角化,實對稱陣相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.,正定性,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,x = Qy,作直角系的旋轉變換,坐標軸的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1

10、z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,一般形式 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,實對稱陣的正交相似對角化問題 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,n),p=3,q=0,r(g)=3, b=0,橢球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,單葉雙曲面,d0,d0,雙葉雙曲面,d=0,二次錐面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,橢圓拋物面,p=1, q=1,雙曲拋物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,橢圓柱面,p=1, q=1,雙曲柱面,

11、r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,拋物柱面,向量,向 量,線性 運算,度量,內積,線性 映射,向量,向量組,矩陣,線性方程組,幾何與代數復習要點,向量空間,V Rn,對加法數乘封閉,Rn本身,e1, e2, , en,n,零空間,無,0,齊次線性方程組的解空間 xRn|Ax = , ARmn,Ax = 的基礎解系,n r(A),生成子空間L(1, ,s) = k11+ kss|k1,ksR,1, , s的 極大無關組,1, , s的秩,A的秩,A的列向量組的 極大無關組,矩陣A的列空間, 即L(A1,A2, An),n r(A),Ax = 的基礎解系,A的秩,A的列向量

12、組的 極大無關組,A的核空間或零空間K(A)=xRn|Ax= ,A的值域R(A)= Ax|xRn=L(A1,A2, An),x11+x22+xss= 只在x1=x2=xs=0時成立.,(1,s)x= 只有零解., (1,s)x=Ax= 有非零解,向量組1,s-1,s線性相關,向量組1,s-1,s 線性無關, r(A) s, r(A) = s =向量個數, 某個向量i可由其余的向量線性表示.,共線共面的推廣,唯一表示定理: I l.i.,I,l.d.可由I 唯一線性表示.,Th4.3 大向量組由小向量組線性表示大向量組l.d.,Th4.5. 若I可由II線性表示, 則秩(I)秩(II); 且這兩

13、個向量組等價 秩(I)=秩(II).,反之不成立,向量組的線性相關與線性無關,向量組的線性相關與線性無關,其中1, , s是維數相同的列向量(1, 2, , s也是維數 相同的列向量), 則1, , s也是線性相關的.,一些常用的結論,(1) 含有零向量的向量組一定線性相關.,(2) 單個向量 構成的向量組線性相關 = .,(3) 兩個向量, 線性相關 與的分量成比例.,(4) 若1, , s線性相關, 則1, , s, s+1, , t也線性相關.,若1, , s, s+1, , t線性無關, 則1, , s也線性無關.,(5) 任意n+1個n維向量線性相關.,幾何與代數復習要點,則I0與I

14、等價.,(7) 向量組1, , s (s2) 線性相關的充分必要條件是:,其中至少有某一個向量可由其余的向量線性表示.,(8) 若向量組1, , s線性無關, 而1, , s, 線性相關,則 一定能由1, , s線性表示, 且表示的方式是唯一的.,(9) 若向量組I: 1, , s可由向量組II: 1, , t 線性表示,并且s t, 則向量組I是線性相關的.,(10) 若1, , s線性無關, 且可由1, , t線性表示, 則s t.,(11) 若向量組1, , s和1, , t都線性無關, 并且這兩個,向量組等價, 則s = t.,(12) 設I0: 1, , r是向量組I: 1, , s

15、的一個極大無關組,一些常用的結論,幾何與代數復習要點,向量組的線性相關與線性無關,這兩個向量組的秩都是2, 但它們不等價. 事實上, I中的,不能由II線性表示. ),例如:,一些常用的結論,(13) 若向量組I: 1, , s可由向量組II: 1, , t線性表示,則秩(I)秩(II);,若這兩個向量組等價, 則秩(I) = 秩(II).,(注: 一般情況下, 兩個向量組的秩相等時, 它們未必等價!,幾何與代數復習要點,向量組的線性相關與線性無關,向量的數量積、向量積和混合積,| |=| | |sin =S,正定性,線性性, Schwartz不等式,反對稱性 = , =0 , = /, =

16、a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面體),輪換對稱性, (1),(2),(5),(, , ) =0 共面,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空間直線的方程,2. 標準(對稱)方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關的一些問題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三個向量共面,重要信息:,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第三章 幾何空間,平面方程,向量的內積,過原點: Ax+By+Cz = 0,平

17、面方程,向量的混合積,/x軸: By + Cz + D = 0,/y軸: Ax + Cz + D = 0,/z軸: Ax +By + D = 0, x軸: Ax + D = 0, y軸: By + D = 0, z軸: Cz + D = 0,幾何與代數復習要點,直線方程,向量的叉積,直線方程,兩平面相交,幾何與代數復習要點,位置關系,點,線,面的位置關系,兩直線之間的夾角 (方向向量的夾角),點到直線:,點到平面:,異面直線:,兩平面之間的夾角 (法向量的夾角),直線與平面的夾角 (方向向量與法向量 夾角的余角),幾何與代數復習要點,解：,（01-02）六 (12%) 設A =,求參數k; 2

18、.求一個42矩陣 B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;,因為秩(A) = 2, 所以k = 0.,秩(A) = 2.,3. 問是否存在秩大于2的M使得AM = O? 為什么?,Ax = 的基礎解系中含有兩個線性無關的解向量,可取,解：,（01-02）六 (12%) 設A =,求參數k; 2.求一個42矩陣 B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;,因為秩(A) = 2, 所以k = 0.,秩(A) = 2.,3. 問是否存在秩大于2的M使得AM = O? 為什么?,Ax = 的基礎解系為1, 2.,由于任何一個滿足AM = O的矩陣M的列向量組 都可以由1, 2線性表示,因而不

19、存在秩大于2的矩陣M使得AM = O.,所以這樣的矩陣M的秩一定 2.,(2) 探討變換問題的條件,例6. 設,證明：,(1)證：,設 x 是Ax = 0的非零解.,令B=(x,0,0),則,(2)證1：,設 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基礎解系.,令B=(x1,x2,xn-r,0,0),則,(2)證2：,則存在n階可逆陣P,Q, 使得,令,則,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(2) 探討變換問題的條件,(2) 探討變換問題的條件,例6. 設,(3)證明：,(2)證1：,設 x1,x2,xn-r是Ax = 0的基礎解系.,(2)證2：,則存在n階可逆陣P,Q, 使得,令,則,(3)證：,則存在n階

20、可逆陣P,Q, 使得,令,則,3. 培養(yǎng)發(fā)散思維,(2) 探討變換問題的條件,令B=(x1,x2,xn-r,0,0),則,(08-09) 若A,B為n階可逆陣, 則,(01-02)5. 設矩陣A及A+E均可逆, 且G =E(A+E)1, 則G1 = .,E+A1,(A+E)1A,G1 =A1 (A+E),.,若A滿足 , 則,1. 關于逆矩陣,若A滿足 , 則,1. 關于逆矩陣,(09-10)七(2)(4分) 設A,B都是n階方陣，若存在不為0的數x,y使得AB=xA+yB, 證明：AB=BA.,證明:,由 AB = xA+yB 知,(A yE) (B xE) = xyE.,(B xE) (A

21、 yE) = xyE.,故 BA = xA+yB = AB.,設n階矩陣A滿足A2 = 2A, 以下結論未必成立的 . AE可逆, 且(AE)1 = AE; (B) A = O或A = 2E; (C) 若2不是A的特征值, 則A = O; (D) |A| = 0或A = 2E.,B,(AE) (AE) = A22A+ E=E,(AE)1 = AE;,則(A2E) 可逆,A2 = 2A A(A2E)=0,|A| |A2E|=0, |A| 0時A可逆, A = 2E.,消去率不成立,1. 關于逆矩陣,（02-03）一6. 若4階方陣A的秩為2, 則伴隨矩陣A*的秩為 ;,0,設A, B都是3階方陣

22、, AB = O, r(A) r(B) = 2, 則r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;,D,3,為偶數,2. 關于矩陣的秩,判斷正誤：設A23, B23, 則|ATB| = O.,r(ATB) r(B) min2,3=2,(ATB)33,法II：Bx=有非零解,則ATBx=也有非零解,|ATB| = O.,若4階矩陣A,B的秩都為1,則,r(A+B)2,0,設3階矩陣A= (1,2,3), B= (2+3,123,1). 若A的行列式|A| = 3, 則B的行列式|B| = .,6,1/70,若A是正交矩陣, 則|A3AT| = ;,1,設3

23、階方陣A滿足AT = A, 則|A| =,0,設3階方陣A的特征值為1,2,3, 則|A26A1+E|=,64,3. 關于方陣的行列式,設3階方陣A的特征值為1,2,3, 則,4. 關于方陣的跡,設3階實對稱陣A有三重特征值，trA=1，則 A =,trA= 3 = 1, = 1/3,實對稱陣A與 (1/3)E 相似。,(1/3)E,若矩陣A滿足A2 = A, r(A) = r, 則 trA =,2 - = 0, = 0,1,r,4. 關于方陣的跡,(08-09)七(2) (4分)設A為n階實對稱陣，i (i= 1,n)是A的特征值, 證明：,A的特征值是1 ,n,證明：,所以A2的特征值是12 ,n2,設 = (1, 2), = (1, 1), 則 T = ;,(T)2010 =,1,5. 關于方陣的正整數冪,T =,(T)2009 (T) =,解：,設XA = AB + X, A =,求X 99.,方程可化為X(AE) = AB .,初等列 變換,可得X=AB(A