幾何與代數(shù)課件：習(xí)題解析第六章

1、,幾何與代數(shù)習(xí)題解析第六章,2010年國家級精品課程,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,x = Qy,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換,坐標(biāo)軸的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,一般二次型f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,實對稱陣的正交相似對角化問題 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,n),p=3,q=0,r(g)=3, b=0,橢球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,單葉雙曲面,d0,

2、d0,雙葉雙曲面,d=0,二次錐面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,橢圓拋物面,p=1, q=1,雙曲拋物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,橢圓柱面,p=1, q=1,雙曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,拋物柱面,證明: (1),若n階方陣A滿足A2=2A. 證明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A相似于對角陣；,所以A相似于對角陣.,r(2EA)+ r(A) r(2EA+A)=n,r(2EA)+ r(A)n,(2EA)A=2AA2= 0,r(2EA)+ r(A) = n.,A的所有可能的特征值滿足2 2=0,(

3、2), = 0,2.,由Ax=, A對應(yīng)0有nr(A)個線性無關(guān)的特征向量.,由(2EA)x =, A對應(yīng)2有nr(2EA)個線性無關(guān)的特征向量.,n階方陣A共有2nn=n個線性無關(guān)的特征向量,(3) 若r(A)=r, 求|A+E|.,解: (3),若n階方陣A滿足A2=2A. 證明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A相似于對角陣；,并且A相似于對角陣.,A的所有可能的特征值滿足2 2=0, = 0,2.,(3) 若r(A)=r, 求|A+E|.,r(A)=r, 則與A相似的對角陣中有r個2,其余為0.,則存在可逆陣P, 使得,|A+E|,=|+E|,=3r,P1AP = ,由

4、P1(A+E)P = +E知,36.設(shè) . (1) a,b滿足什么條件時 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相應(yīng)的特征值。,(2)若是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值. 并討論 A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。 （共14分）,解：,(1),=2， a+b = 2,(2),=0,2, a,36.設(shè) . (1) a,b滿足什么條件時 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相應(yīng)的特征值。,(2)若是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值. 并討論 A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。 （共14分）,解：,當(dāng)a=2時，,(2),=0,2

5、, a,=2, a+b = 2,b=0，,2是二重特征值，,A能相似對角化.,對應(yīng)2的特征向量是,36.設(shè) .,(2)若是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值. 并討論 A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。 （共14分）,解：,當(dāng)a=2時，,(2),=0,2, a,=2, a+b = 2,b=0，,2是二重特征值，,A能相似對角化.,對應(yīng)2的特征向量是,對應(yīng)0的特征向量是,36.設(shè) .,(2)若是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值. 并討論 A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。 （共14分）,解：,當(dāng)a=0時，,(2),=0,2,

6、a,=2, a+b = 2,b=2，,0是二重特征值，,A不能相似對角化.,當(dāng)a=2時，,b=0，,2是二重特征值，,A能相似對角化.,設(shè)n階方陣A,B滿足r(A)+r(B)n，證明: A,B有相同的特征值和特征向量.,證明:,r(A)+r(B)n, 0是A,B相同的特征值, r(A) n，r(B)n, |A| = 0，|B| = 0,設(shè)A,B對應(yīng)于0的相同的特征向量為，,有非零解，作為相同的特征向量,設(shè)0是m階方陣AmnBnm的特征值，證明: 也是n階方陣BA的特征值.,證明:, 0是AB的特征值，,設(shè)AB對應(yīng)于的特征向量為，,則,否則，,矛盾。,所以也是n階方陣BA的特征值.,證明:,已知

7、n階方陣A相似于對角陣,并且A的特征向量均是矩陣B的特征向量.證明: AB = BA.,n階方陣A相似于對角陣,所以A有n個線性無關(guān)的特征向量,設(shè)為p1, p2, , pn,對應(yīng)的特征值設(shè)為1,2,n.,A的特征向量均是B的特征向量, 則B也有n個線性 無關(guān)的特征向量p1,pn, 對應(yīng)的特征值設(shè)為t1,tn.,令P = (p1,p2,pn), =diag(1,2,n),T =diag(t1,t2,tn),則P1AP=, P1BP=T, T=T.,于是AB = (PP1)(PTP1) = PTP1 = PTP1,= (PTP1)(PP1) = BA.,證充分性:,必要性：對實對稱正定陣A, 存在

8、正交矩陣Q,使得,因為A正定，所以特征值i0,正定,所以A正定。,核心思想: 由A和f()的性質(zhì)研究 f(A),證明:,3. 設(shè)A為n階方陣，證明二次型 f(x)=xTAx的矩陣為,所以 f(x)=xTAx 的矩陣為,解:,因為 Ax = 與ATAx = 同解，,9. 設(shè)mn矩陣A的秩為r，求二次型 f(x) = xTATAx 的規(guī)范形.,所以 r(A) = r(ATA) = r.,f(x) = xTATAx,= (Ax)T Ax,所以x, f(x) = (Ax)T Ax 0.,所以ATA的正慣性指數(shù)為 r.,從而f(x) 的規(guī)范形為 g(y),存在正交變換x = Qy, y, g(y) =

9、(AQy)T AQy 0.,解:,因為 Ax = 與ATAx = 同解，,9. 設(shè)mn矩陣A的秩為r,求f(x) = xTATAx 的規(guī)范形.,所以 r(A) = r(ATA) = r.,所以x, f(x) = (Ax)T Ax 0.,所以ATA的正慣性指數(shù)為 r.,從而f(x) 的規(guī)范形為 g(y),存在正交變換x = Qy, y, g(y),設(shè)A為n階可逆陣，則ATA 的正慣性指數(shù)為,n,2(3). = (1,2,3,4), 則的A = T的正慣性指數(shù)為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,11. mn矩陣A的秩為 , f(x) = xTATAx必為正定的？,n,證1: 設(shè),所

10、以A不是正定陣.,證2: 令,顯然A,B相合,并且相合的矩陣有相同的正定性.,則,則,所以B不是正定陣.,所以A不是正定陣.,12. 設(shè)A= (aij)為n階實對稱矩陣，若對角線上有一個aii 0, 則A必不是正定矩陣.,證明:,設(shè)為B對應(yīng)于的特征向量, 則,14. 設(shè)A為n階實對稱矩陣，B為n階實矩陣,且A與A BTAB均為正定矩陣,是B的一個實特征值, 則 |1 .,15. 設(shè)A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,證明: M正定 A, B都正定.,證明: (), M正定, 0, 0, A, B都正定.,x, y , ,證明: (),P1AP =,M正定 特征值1, , s, 1

11、, , t 0, A, B都正定.,15. 設(shè)A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,證明: M正定 A, B都正定., A,B實對稱, 必存在正交陣P, Q,使得,證明: (), 設(shè)A為s階的, 則當(dāng)i s時,M正定 M的各階順序主子式 0, A, B的各階順序主子式 0,A,B,O,O,M的i階順序主子式,= A的i階順序主子式,當(dāng)i s時, M的i階順序主子式,= |A|B的is階順序主子式, A, B都正定.,15. 設(shè)A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,證明: M正定 A, B都正定.,證明: (), 因為A, B都正定,PTAP = E, QTBQ = E,

12、所以存在可逆陣P, Q使,因而M正定.,15. 設(shè)A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,證明: M正定 A, B都正定.,證明: (), 因為A, B都正定,A = PTP, B = QTQ,所以存在可逆陣P, Q使,因而M正定.,15. 設(shè)A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,證明: M正定 A, B都正定.,證明:,因為A正定,QT(CTBC)Q = ,所以存在可逆陣C, 使,17. 設(shè)A, B都是同階實對稱矩陣, 且A正定，,證明:存在可逆陣P, 使 PTAP, PTBP均為對角陣.,CTAC = E.,同時CTBC 是與B合同的實對稱矩陣.,所以存在正交陣Q,

13、使,令P = CQ, 所以P可逆, 使PTBP = , PTAP = E.,同時QT(CTAC)Q = QTEQ = E,證明:,因為A正定,所以AT =A, A的所有特征值i0, i=1,2,n.,因為A正交,A的所有特征值i2=1, 則i=1, i=1,2,n.,所以ATA = A2 = E,所以實對稱陣A與E相似.,即存在可逆矩陣P,使得,19. 設(shè)A既是正定陣又是正交陣，證明：A是單位陣.,方陣A與E 相似 ,A與E相合A正定,方陣A與E 相抵 A 可逆，,線性無關(guān),A = P1Ps Q1 Qt,滿秩,非奇異,非退化, 特征值均不為零,實對稱陣A 可逆 正負慣性指數(shù) p+q=n.,A的

14、行向量組線性無關(guān),方陣A 正交 A可逆.,實對稱陣A 正定 A可逆.,反之不然,反之不然,i 0,p=n,A=PTP,k0,A既是正定陣又是正交陣，則A是單位陣., A = E,設(shè)A,B都是n階可逆陣，則必有 .,A. 存在可逆矩陣P，使得,B. 存在可逆矩陣P，使得,C. 存在可逆矩陣P，Q使得PAQ=B,D. A(A+B)B是可逆矩陣,C,證明1:,因為A可逆,所以A的正負慣性指數(shù)p+q=n.,并且p(A)=q(A)=q.,設(shè)A與A在實數(shù)域上相合,則p(A)=p(A)=p,所以 n=2p 為偶數(shù).,設(shè)A為n階可逆實對稱矩陣，證明：如果A與A在實數(shù)域上合同，則n必是偶數(shù).,證明2:,設(shè)A與A

15、在實數(shù)域上相合,則存在可逆陣P,使得,因為A可逆,所以|A|0.,所以n為偶數(shù).,當(dāng)k 時， 是橢球面，,1(10). 設(shè),當(dāng)k 時， 是柱面。, 1,= 1,當(dāng)k 1時，,是單葉雙曲面。,當(dāng)k 1時，,是雙葉雙曲面。,當(dāng)k 1時，,是圓錐面。,2(2). 下列矩陣中，與 合同的是,不對稱,不對稱,(D),A. A與C相似，B與D合同,B. A與C合同，B與D相似,C. A與B相似，C與D合同,D. A與B合同，C與D相似,A不對稱，不與B,C合同,C,解：,設(shè)D為由yOz平面中的直線z = 0, 直線z = y ( y 0) 及拋物線y + z2 = 2, 圍成的平面區(qū)域. 將D繞y軸旋 轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體. (1) 畫出平面區(qū)域D的圖形; (2) 分別寫出圍成的兩塊曲面S1, S2的方程; (3) 求S1,S2的交