第十三、十四章 直線相關(guān)與回歸分析(11講).ppt

1、2020/10/10,1,第十三、十四章 直線相關(guān)與回歸,景學安,2020/10/10,2,學習要點 1.掌握相關(guān)系數(shù)的意義、計算和假設檢驗 2.掌握回歸系數(shù)的意義、計算和假設檢驗 3.直線相關(guān)與回歸分析時應注意的問題,2020/10/10,3,學習要求 了解：散點圖的相關(guān)性意義；直線回歸分析的應用。 熟悉：秩相關(guān)的意義和Spearman秩相關(guān)系數(shù)的計算方法。 掌握：直線相關(guān)和回歸的意義和資料使用條件；相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)計算方法和假設檢驗的方法；相關(guān)與回歸分析的聯(lián)系與區(qū)別。,2020/10/10,4,在醫(yī)學研究中，常會有兩個變量之間相互聯(lián)系、相互影響，在數(shù)量上存在互相協(xié)同變化的關(guān)系，如年齡與血

2、壓、身高與體重、藥物劑量與動物死亡率、血鉛值與尿鉛值等。統(tǒng)計學常用相關(guān)與回歸來分析此類關(guān)系。 第一節(jié) 直線相關(guān)分析 當兩個變量（x,y）在數(shù)量上的協(xié)同變化呈直線趨勢時則稱為直線相關(guān)（linear correlation）,又稱簡單相關(guān)（simple correlation），用于分析雙變量正態(tài)分布資料。表示兩變量相關(guān)關(guān)系的重要指標就是相關(guān)系數(shù)。,2020/10/10,5,一、相關(guān)系數(shù)的意義 直線相關(guān)系數(shù)(linear correlation coefficient)又稱為Pearson積距相關(guān)系數(shù)，用符號r表示。它描述兩變量間直線相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向。r值的范圍為：1r1，當r0時，為

3、正相關(guān)，r=1為完全正相關(guān)；當r0時，為負相關(guān)，r=-1為完全負相關(guān)。當r愈接近1，表示兩變量的相關(guān)愈密切；當r愈接近0時，表示兩變量相關(guān)程度愈低；當r0時，稱為零相關(guān)，表示兩變量無直線相關(guān)關(guān)系，見示意圖13.2。,2020/10/10,6,圖13.2 相關(guān)系數(shù)示意,2020/10/10,7,一般認為，當樣本含量較大的情況下（n100），大致可按下列標準估計兩變量相關(guān)的程度：當r0.7時為高度相關(guān)；當0.7r0.4時為中度相關(guān)；當0.4r0.2時為低度相關(guān)。 二、相關(guān)系數(shù)的計算 相關(guān)系數(shù)r的計算公式：,2020/10/10,8,. .,. .,.,. .,. .,.,.,. .,. .,. .

4、,.,. .,.,. .,.,2020/10/10,9,例13.1 某醫(yī)師測量了15名正常成年男子的體重（kg）與CT雙腎體積（mL）大小，數(shù)據(jù)見表13.1所示。問體重與雙腎體積之間有無直線相關(guān)關(guān)系？,2020/10/10,10,表13.1 15名正常成年人體重和雙腎體積的測量值,計算步驟： 1.由原始數(shù)據(jù)繪制散點圖13.1，本資料呈直線相關(guān)趨勢。,2020/10/10,11,圖13.1 15名正常成年人體重和雙腎體積的散點圖,2020/10/10,12,2.根據(jù)表13.1原始數(shù)據(jù)計算出x，y，x2，y2，xy。 本例x893，y3991.56，x255719，y21082440.577，xy

5、243931.91。 3.計算X、Y的離均差平方和與離均差積和,2020/10/10,13,4.求相關(guān)系數(shù)r,三、相關(guān)系數(shù)的檢驗假設 上面所求相關(guān)系數(shù)r為樣本相關(guān)系數(shù)，是總體相關(guān)系數(shù)的估計值，要判斷 x與y間是否有相關(guān)關(guān)系就要檢驗r是否來自總體相關(guān)系數(shù)為零的總體。因為有抽樣誤差，即使在0的總體中隨機抽樣，r值也不一定等于零。因此計算出r值，要進行統(tǒng)計學檢驗。常用的方法為t檢驗。另外也可以直接查r界值表，確定P值。,2020/10/10,14,1. t檢驗法 t檢驗的計算公式,自由度n2,式中：Sr為相關(guān)系數(shù)的標準誤，n為樣本含量。,2020/10/10,15,例13.2 對例13.1資料所得r

6、=0.875，檢驗體重與雙腎重量之間是否有直線相關(guān)關(guān)系。 （1）建立檢驗假設，確定檢驗水準 H0：0 ,兩變量間無直線相關(guān)關(guān)系。 H1：0 ,兩變量間有直線相關(guān)關(guān)系。 0.05。 （2）計算t值 本例n=15 ， r=0.875,2020/10/10,16,（3）確定P值，作出推斷結(jié)論 按n-2=13查t界值表，得 P0.001，按0.05水準，拒絕Ho，接受H1，相關(guān)系數(shù)有統(tǒng)計學意義，可認為體重和雙腎體積之間有直線相關(guān)關(guān)系。 2.查表法 查附表14, 相關(guān)系數(shù)界值表。按自由度n-2查r界值表，當r 時，則P；反之，r 時，則P。本例r0.875，r0.001(13)0.760 ，rr0.00

7、1(13)， 則P0.001。檢驗結(jié)果與t檢驗相同。,2020/10/10,17,第二節(jié) 秩相關(guān) 前面所述直線相關(guān)分析適用于雙變量為正態(tài)分布的資料，在實際工作中，常遇到有些資料并不呈正態(tài)分布，對于此類資料就不宜用上述所講的直線相關(guān)分析，而常用秩相關(guān)處理資料。秩相關(guān)（rank correlation）亦稱為等級相關(guān)，適用于分布類型不明的資料、偏態(tài)分布資料和等級資料的相關(guān)分析。本節(jié)主要介紹Spearman秩相關(guān)法，其分析步驟如下：,2020/10/10,18,1. 先將x，y 分別由小到大編秩次，數(shù)字相同時需要求平均秩次； 2.以pi表示xi的秩次，qi表示 yi的秩次，用pi、qi直接代替 x

8、和 y，直接計算Pearson積矩相關(guān)系數(shù)。,2020/10/10,19,3. 根據(jù)n查附表15，rs界值表，確定P值。如rsra,n ，則 P，說明x，y兩變量直線相關(guān)有統(tǒng)計學意義；如rs ra,n ，則 P，說明x，y兩變量直線相關(guān)無統(tǒng)計學意義。 例13.4 某研究者對15例3050歲成年男性的舒張壓(mmHg)與夜間最低血氧含量分級進行研究，結(jié)果見表13.2，試分析兩者的關(guān)聯(lián)性。,2020/10/10,20,表13.2 15例成年男子的舒張壓與夜間最低血氧含量分級測量值,2020/10/10,21,(1)建立檢驗假設，確定檢驗水準 H0：s=0,即舒張壓與夜間最低血氧含量分級無相關(guān)關(guān)系。

9、 H1：s0,即舒張壓與夜間最低血氧含量分級有相關(guān)關(guān)系。 =0.05。 (2)計算秩相關(guān)系數(shù)rs,2020/10/10,22,(3)確定P值,作出推斷結(jié)論 查附表15，rs界值表，n=15，r0.001,15=0.779，現(xiàn)rs r0.001,15，故P0.001。在=0.05水準上，拒絕Ho，接受H1，可以認為舒張壓與夜間最低血氧含量分級之間有正相關(guān)關(guān)系。,2020/10/10,23,第三節(jié) 直線回歸分析 一、直線回歸的概念 在描述兩變量間的關(guān)系時，若散點圖呈直線趨勢或有直線相關(guān)關(guān)系，可進行直線回歸（linear regression）分析。直線回歸分析就是找出一條最能代表這些數(shù)據(jù)關(guān)系的直線

10、方程，以說明兩變量間的依存關(guān)系。習慣上用x作為自變量，y作為因變量，則直線回歸方程為,2020/10/10,24,式中： 為因變量y的估計值，a為回歸直線y軸上的截距，為常數(shù)項；b為回歸系數(shù)即回歸方程的斜率，表示x改變一個單位時y的平均變動量。這與兩變量間嚴格對應的函數(shù)關(guān)系不同。直線回歸是回歸分析中最基本最簡單的一種，故又稱簡單回歸（simple regression）。,x,y,a,0,. . . . . .,. . . .,. .,. . .,. .,2020/10/10,25,二、直線回歸方程的求法 求直線回歸方程 ，關(guān)鍵在于計算a，b兩個系數(shù)，根據(jù)數(shù)學上的最小二乘法原理，即保證各實測點

11、至回歸直線的縱向距離的平方和最小。可得出a，b的計算公式為,2020/10/10,26,例14.1 例13.1 資料，問體重與雙腎體積之間有無直線回歸關(guān)系？ 建立回歸方程的具體步驟： 1.繪制兩變量之間的散點圖。見圖13.1，觀察到兩變量呈直線趨勢。 2.求,本例x893，y3991.56，x255719，y21082440.577，xy243931.91。,2020/10/10,27,3. 計算回歸系數(shù)b及截距a。,4.列出回歸方程,5. 繪制回歸直線 在自變量X的實測值范圍，任意指定相距較遠且易讀的兩個數(shù)值，代入直線回歸方程，求出相應的y的估計值，確定兩點，用直線連接即得回歸直線。,202

12、0/10/10,28,本例：x1取40， =219.96，x2取80， =316.56。連接點 （40，219.56）和 （80，316.56）即得回歸直線。,圖13.1 15名正常成年人體重和雙腎體積的散點圖,2020/10/10,29,三、回歸系數(shù)的假設檢驗 前面所述直線回歸方程中，回歸系數(shù)b為樣本回歸系數(shù)，假設在總體回歸系數(shù)=0的總體中抽樣，得出樣本的b不一定為0，因此需作總體回歸系數(shù)是否為0的假設檢驗，常用方差分析或t檢驗。 （一）方差分析 其基本原理可以用圖14.1直觀表達，任意點p(x,y)離開過 的水平線的距離 可分成兩段，即,2020/10/10,30,P .,y,x,0,圖1

13、4.1 因變量的離均差平方和分解示意圖,2020/10/10,31,是P點與回歸直線的縱向距離，稱為殘差（residual）,反映了x對y的線性影響之外的因素對y的變異作用。 是估計值 與均數(shù) 之差。它的大小與回歸系數(shù)b有關(guān)，|b|越大， 也越大；反之亦然。 經(jīng)數(shù)學推導可得下式：,用符號表示為： SS總=SS回+SS殘,2020/10/10,32,SS總為y的總離均差平方和，即不考慮y與x的回歸關(guān)系時y的總變異。 SS回稱為回歸平方和，反映了y的總變異中由于x與y的直線關(guān)系而使y的總變異減少的部分，即在y的總變異中可以用x解釋的部分， SS回越大，說明回歸效果越好。 SS殘稱為殘差平方和，反映

14、了x對y的線性影響之外的因素對y的變異作用。 SS殘= SS總- SS回。 上述三項自由度為：總=n-1， 回=1， 殘=n-2， 總= 回+ 殘,2020/10/10,33,利用方差分析的原理，計算檢驗統(tǒng)計量F值：,MS回越大，MS殘越小，F(xiàn)值越大，即越有理由拒絕=0的無效假設，反之亦然。 實際計算時：,2020/10/10,34,例14.2 試用方差分析對例13.1資料的樣本回歸方程作假設檢驗。 (1)建立檢驗假設，確定檢驗水準 H0：0 ,體重和雙腎體積之間無直線回歸關(guān)系。 H1：0 ,體重和雙腎體積之間有直線回歸關(guān)系。 =0.05。 (2)計算檢驗統(tǒng)計量,2020/10/10,35,（

15、3）確定P值，作出推斷結(jié)論 1=回=1，2=殘=n-2=13，查附表4，F(xiàn)界值表， F0.01(1,13)=9.07，現(xiàn)F F0.01(1,13)，即P0.01。在=0.05水準上，拒絕H0，接受H1，回歸方程有統(tǒng)計學意義，可以認為正常成年人體重和雙腎體積之間有直線回歸關(guān)系。,2020/10/10,36,表14.2 直線回歸的方差分析表,（二）t檢驗,，=n-2,式中，Sb為b的標準誤；Sy.x為剩余標準差，是指扣除x對y的影響后，y對于回歸直線的離散程度。,2020/10/10,37,例14.3 試用t檢驗對例13.1資料的樣本回歸方程作假設檢驗。 (1)建立檢驗假設，確定檢驗水準 H0：0

16、 ,體重和雙腎體積之間無直線回歸關(guān)系。 H1：0 ,體重和雙腎體積之間有直線回歸關(guān)系。 =0.05。 (2)計算tb值,2020/10/10,38,（3）確定P值，作出推斷結(jié)論 =n-2=15-2=13，查附表3，t界值表，得P0.001。在=0.05水準上，拒絕H0，接受H1，回歸方程有統(tǒng)計學意義，可以認為正常成年人體重和雙腎體積之間有直線回歸關(guān)系。 方差分析和t檢驗的關(guān)系為： ，如本例6.530= 。所以對同一資料，方差分析和t檢驗假設檢驗的結(jié)論是一致的。,2020/10/10,39,四、總體回歸系數(shù)的置信區(qū)間 樣本回歸系數(shù)b是總體回歸系數(shù)點估計值， 雙側(cè)(1-)的置信區(qū)間可由下式計算,例

17、14.4 計算例13.1資料的總體回歸系數(shù)的95%置信區(qū)間。 b=2.465，Sb=0.3775，t0.05/2,13=2.160， (2.465-2.1600.3775 , 2.465+2.1600.3775)=(1.650,3.280) 該區(qū)間不包括0，說明和回歸系數(shù)假設檢驗的結(jié)論是一致的。,2020/10/10,40,五、決定系數(shù),R2取值在0到1之間，且無單位。它反映了回歸貢獻的相對程度，即在因變量y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的比例。 例如在例13.1資料，SS回= 15534.927，SS總=20270.495，,說明成年男性體重信息可以解釋雙腎體積變異的76.64%，還有剩余的23

18、.36%的信息則通過體重以外的因素來解釋。,2020/10/10,41,六、直線回歸分析的應用 （一） 總體均數(shù)的置信區(qū)間 在直線回歸方程的計算中，給定的xi算出的 只是總體均數(shù) 點估計值。由于抽樣誤差的存在， 是有波動的。其抽樣誤差的標準誤計算公式為：,的雙側(cè)（1-）置信區(qū)間為：,2020/10/10,42,本書例14.1成年男性腰圍與腹腔內(nèi)脂肪面積的研究中，回歸方程為,已算出Sy.x=13.03535，lxx=950.778, =90.990，x1=81.3，代入上式計算,2020/10/10,43,當=0.05時，t0.05/2,18=2.101, 則 的95%置信區(qū)間為 75.1939

19、72.1015.0276=（64.63，85.76） 用同樣的方式計算出每個xi對應的 置信區(qū)間，以x為橫坐標，y為縱坐標，將置信區(qū)間的上下限分別連接起來形成兩條弧形線間的區(qū)域稱為回歸直線的置信帶(confidence band)。 由上述因變量總體均數(shù)標準誤計算公式看出，當xi= 時，標準誤達到最小值 ，其對應的置信帶最窄，越遠離該均數(shù)點，置信帶寬度越大。,2020/10/10,44,圖14.3 總體均數(shù) 置信區(qū)間和個體y值的預測區(qū)間,2020/10/10,45,(二) 因變量個體y值的預測區(qū)間 利用回歸方程進行預測是回歸方程的重要應用。也就是將已知自變量x代入直線回歸方程，可得到應變量y的

20、估計值 。 對于給定的xi，計算得 只是y的均值，y的預測值也存在波動范圍，其標準差為Sy|xi，按下式計算：,x=xi時個體y值的雙側(cè)（1-)預測區(qū)間為,2020/10/10,46,仍以例14.1資料x1=81.3 為例，其預測值y的標準差為,y1 值的95%預測區(qū)間為,用同樣的方式計算出每個xi對應的yi值 95%預測區(qū)間，以x為橫坐標，y為縱坐標，將預測區(qū)間的上下限分別連接起來形成兩條弧形線間的區(qū)域稱為y值的預測帶(prediction interval)。,2020/10/10,47,（三）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制 統(tǒng)計控制（statistical control）是利用回歸方程進行逆

21、估計，即要求應變量y值在一定范圍內(nèi)波動，進一步來得到自變量x的取值，然后通過x取值來控制y的變化。 例 在硝酸鈉的溶解實驗中，測得在不同溫度(）x下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)y的數(shù)據(jù)見下表。若要求溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)在80份以上，溫度如何控制？（設=0.05）,2020/10/10,48,表 不同溫度下溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù),由原始數(shù)據(jù)計算可知：,=0.05，=9-2=7，單側(cè)t0.05,7=1.895。本例要求溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)y在80份以上，對應于個體y值的95%預測區(qū)間單側(cè)下限值為：,2020/10/10,49,當 =80時，通過上式解得xi=16.56（），即把溫度控制在16.56以上，就有95%的可能是溶解于100份水中的硝酸鈉分數(shù)控制在80份以上。 第四節(jié) 進行直線相關(guān)與回歸分析時應注意的問題 （一）作相關(guān)回歸分析要有實際意義。不要把毫無聯(lián)系的兩種現(xiàn)象作相關(guān)回歸分析。,2020/10/10,50,（二）相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。當事物間的內(nèi)在聯(lián)系尚未被認識時，相關(guān)分析可為理論研究提供依據(jù)。 （三）在進行直線相關(guān)與回歸分析之前，應先繪制散點圖。當