2015學(xué)年余姚自主招生數(shù)學(xué)試題

1、2015學(xué)年余姚自主招生數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共7題，每題5分，共35分）1二次函數(shù)的圖像如右圖所示，則化簡(jiǎn)二次根式 的結(jié)果是（ ）Aa+b B-a-b Ca-b+2c D-a+b-2c2.有4支隊(duì)伍進(jìn)行4項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到5、3、2、1分。每隊(duì)的4項(xiàng)比賽得分之和算作總分，如果已知各隊(duì)的總分不相同，并且其中一隊(duì)獲得了三項(xiàng)比賽的第一名，問(wèn)總分最少的隊(duì)伍最多得多少分？（ ）A7 B8 C9 D103已知a是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線不經(jīng)過(guò)（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4有一種長(zhǎng)方體集裝箱，其內(nèi)空長(zhǎng)為5米，高4.5米，寬3.4米，用這樣的集裝箱運(yùn)長(zhǎng)為

2、5米，橫截面的外圓直徑為0.8米的圓柱形鋼管，最多能運(yùn)（ ）根。A20根 B21根 C24根 D25根5將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，每格至多放一個(gè)球，則3個(gè)空格相連的概率是（ ）A B C D 6用x表示不大于x的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4 7. 對(duì)每個(gè)x，y是,三個(gè)值中的最小值，則當(dāng)x變化時(shí)，函數(shù)y的最大值是（ ）A 4 B 6 C 8 D 二、填空題（共7題，每題5分，共35分）8. 已知，且a0,則= 。9G是ABC的重心，過(guò)G的直線交AB于M，交AC于N，則= 。10. 已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，且滿足abc,a+b+c=0.那么，的取值范圍是

3、。11.在ABC中，AB=AC，且過(guò)ABC某一頂點(diǎn)的直線可將ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則各內(nèi)角的度數(shù)為 。12對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根記作(n2),則= 。 13. 設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則= 。14.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 3、 解答題（本題有4小題，共60分）15. （10分）試求實(shí)數(shù)（ 1），使得方程 的兩根都是正整數(shù)。16.（12分）如圖1, 矩形鐵片ABCD的長(zhǎng)為, 寬為; 為了要讓鐵片能穿過(guò)直徑為的圓孔, 需對(duì)鐵片

4、進(jìn)行處理 (規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時(shí)鐵片不能穿過(guò)圓孔); (1)如圖2, M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn), 若將矩形鐵片的四個(gè)角去掉, 只余下四邊形MNPQ, 則此時(shí)鐵片的形狀是_, 給出證明, 并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)鐵片都能穿過(guò)圓孔; (2)如圖3, 過(guò)矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點(diǎn)E、F(不與端點(diǎn)重合), 沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個(gè)全等的直角梯形鐵片;當(dāng)BE=DF=時(shí), 判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過(guò)圓孔, 并說(shuō)明理由;為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過(guò)圓孔, 請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)度的取值范圍 圖2圖1圖317.（14分）喜歡鉆研的小亮對(duì)75

5、角的三角函數(shù)發(fā)生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特殊角有著密切的關(guān)系，能否通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值求75的正弦值呢？經(jīng)研究，他發(fā)現(xiàn)：sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30,于是他大膽猜想：（為銳角）。將圖1（a）等積變形為圖1（b）可用于勾股定理的證明，現(xiàn)將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2（a）和圖2（b）。如圖,銳角為的直角三角形斜邊為m，銳角為的直角三角形斜邊為n，請(qǐng)你借助圖2（a）和圖2（b）證明上述結(jié)論能成立。18.（14分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1ADC=60，等邊AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊

6、DC、CB的中點(diǎn)求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)記等邊AEF的外心為點(diǎn)P猜想驗(yàn)證：如圖2猜想AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由自主招生模擬答卷（數(shù)學(xué)卷） 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)一、選擇題（每小題5分，共35分）題號(hào)1234567答案二、填空題（每小題6分，共35分）8 9 10 11 12 13 14 三、解答題（第15題10分，第16題12分，第17、18每題14分

7、，共50分）1516圖2圖1圖317 18重點(diǎn)中學(xué)提前招生試卷（數(shù)學(xué)）答案一、 選擇題1. C 2. B 3. D 4.B 5. A 6. C 7. B二、 填空題8. 2 ；9. 1； 10. ；11. （45、45、90）（36、36、108）（36、72、72）（、）；12.； 13. 5796 14.三、 解答題15. ，16. 解：（1）是菱形，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MGNP于點(diǎn)G，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，AMNBPNCPQDMQ，MN=NP=PQ=QM，四邊形MNPQ是菱形，能穿過(guò)圓孔（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHEF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EKAD于點(diǎn)K顯然AB=a，故沿著與

8、AB垂直的方向無(wú)法穿過(guò)圓孔，過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線RS，故只需計(jì)算直線RS與EF之間的距離即可，AHF=EKF=90，AFH=EFK，AHFEKF，該直角梯形鐵片不能穿過(guò)圓孔；17.如圖2(a)，原來(lái)內(nèi)部的正方形變成了一個(gè)平行四邊形，m，n為相鄰兩邊，其夾角為，得它的面積是mnsin()（其中m 、n 分別是相鄰兩個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)度）如圖2(b)，原來(lái)的兩個(gè)小正方形變成了兩個(gè)矩形，其面積之和是msinncosmcosnsin與上面一樣，圖2(a)與圖2(b)中空白部分的面積相等，所以有mnsin()msinncosmcosnsin，化簡(jiǎn)得sin()sincossincos。18（1）證明：如圖1，連接OE、0F，四邊形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ADC，AD=DC=BC，COD=COB=AOD=90又E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，,點(diǎn)O即為AEF的外心；猜想：外心P一定落在直線DB上理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI