吉林大學(xué)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn).ppt

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽自1985年由美國開始舉辦，競賽以三名學(xué)生組成一個隊，賽前有指導(dǎo)教師培訓(xùn)。賽題來源于實際問題。比賽時要求就選定的賽題每個隊在連續(xù)三天的時間里寫出論文，它包括：問題的適當(dāng)闡述；合理的假設(shè)；模型的分析、建立、求解、驗證；結(jié)果的分析；模型優(yōu)缺點討論等。,這項賽事自誕生起就引起了越來越多的關(guān)注，逐漸有其他國家 的高校參加。我國自1989年起陸續(xù)有高校參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。1992年起我國開始舉辦自己的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，并成為國家教育部組織的全國大學(xué)生四項學(xué)科競賽之一。,由于數(shù)學(xué)建模比賽的進(jìn)行,刺激大學(xué)生來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,因此關(guān)于數(shù)學(xué)建模的課程也逐步的開展起來. 下面我們就先了解

2、一下數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷史.,數(shù)學(xué)建模是一門新興的學(xué)科，20世紀(jì)70年代初誕生于英、美等現(xiàn)代工業(yè)國家。在短短幾十年的歷史瞬間輻射至全球大部分國家和地區(qū)。,80年代初，我國高等院校也陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，隨著數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動（包括數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)（建模）試驗課程等）的開展，這門課越來越得到重視，也深受廣大學(xué)生的喜愛。,原因： 一是由于新技術(shù)特別是計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的實際問題需要用計算機(jī)來解決，而計算機(jī)與實際問題之間需要數(shù)學(xué)模型來溝通。 二是社會對大學(xué)生的要求越來越高 ，大學(xué)生畢業(yè)后要適應(yīng)社會的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價值。,2 課程特點 很強(qiáng)的實用性：教材的內(nèi)容來自于實際

3、。 知識的廣泛性：依賴于各方面的基礎(chǔ)知識。 內(nèi)容的趣味性：有些問題就象是做游戲，引人入勝 教學(xué)方式的多樣性：教師講授方式，小組討論方式， 學(xué)生報告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。,3 教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的綜合能力。,1）“雙向翻譯”能力 2）運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合分析能力 3）結(jié)合其他專業(yè)特別是應(yīng)用計算機(jī)解 決問題的能力 4）觀察力和想象力 5）提高撰寫科研論文的能力 6）團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神,4 教學(xué)參考書,1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第三版).高等教育出版社. 2 沈繼紅等.數(shù)學(xué)建模.哈爾濱工程大學(xué)出版社. 3 周義倉,赫孝良.數(shù)學(xué)建模實驗.西安交通大學(xué)出版社. 4 劉來福,

4、曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.北京師范大學(xué)出版社. 5 陳義華.數(shù)學(xué)模型.重慶大學(xué)出版社.,5 應(yīng)用的數(shù)學(xué)軟件,目前我們比較常見的數(shù)學(xué)軟件有： Matlab Mathematics Maple Lingo Lindo Spss ,Sas,MATLAB 科學(xué)計算，最優(yōu)化求解，微分方程求解，統(tǒng)計分析，編程、符號運(yùn)算、結(jié)果可視化 SPSS,SAS 統(tǒng)計分析 LINDO/LINGO 最優(yōu)化求解 MATHEMATICA 符號運(yùn)算、科學(xué)計算，最優(yōu)化求解，微分方程求解，統(tǒng)計分析，編程,模型定義與分類,我們常見的模型 玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 直觀模型 直觀模型： 實物模型，主要追求外觀上的逼真 水箱中的艦艇

5、、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型：為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以進(jìn)行模擬試驗，間接地研究原型的某些規(guī)律。 地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型 還有思維模型，數(shù)學(xué)模型等.,模型：是我們對所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，模擬不一定是對實體的一種仿造，也可以是對某些基本屬性的抽象。,模型定義,數(shù)學(xué)模型： 1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。 2）本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 3）姜啟源（中）的

6、定義：是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問題。 總之，數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。 。,數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言描述了的實際事物或現(xiàn)象。它一般是實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個實際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。,為了使

7、描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。,古希臘時期：“數(shù)理是宇宙的基本原理” 文藝復(fù)興時期：應(yīng)用數(shù)學(xué)來闡明現(xiàn)象“進(jìn)行嘗試” 微積分法的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)與世界密切聯(lián)系起來，用公式、圖表、符號反映客觀世界越來越廣泛，越來越精確。,費(fèi)馬（P.Fermal 1601-1665）用變分法表示 “光沿著所需時間最短的路徑前進(jìn)” 牛頓（Newton 1642-1727）

8、將力學(xué)法則用單純的數(shù)學(xué)式表達(dá)， 如，牛頓第二 定律,什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象的過程。這里的實際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測，試驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容。,我們也可以這樣直觀地理解這個概念：數(shù)學(xué)建模是一個讓純粹數(shù)學(xué)家（指只懂?dāng)?shù)學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用的數(shù)學(xué)家）變成物理學(xué)家，生物學(xué)家，經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等等的過程。,為什么要建立數(shù)學(xué)模型？ 在科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)因為其眾所周知的準(zhǔn)確而成為研究者們最廣泛用于交流的語言因為他們普遍相信，自然是嚴(yán)格地演化著的，盡管控

9、制演化的規(guī)律可以很復(fù)雜甚至是混沌的。因此，人們常對實際事物建立種種數(shù)學(xué)模型以期通過對該模型的考察來描述，解釋，預(yù)計或分析出與實際事物相關(guān)的規(guī)律。,數(shù)學(xué)建模的步驟,模型準(zhǔn)備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。,模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）。模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分,模型檢驗：將模型分析結(jié)果與實際情

10、形進(jìn)行比較，以此來驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。 模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。,一般來說數(shù)學(xué)建模過程可用如下框圖來表明：,數(shù)學(xué)模型“航行問題”,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速、水速各多少？ 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程 答：船速、水速分別為20千米/小時、5千米/小時,數(shù)學(xué)建模示例建模示例之一 椅子的穩(wěn)定性問題,問題： 將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的

11、四條腿同時著地，即放穩(wěn)。,1 假設(shè) 1）地面為光滑曲面； 2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的； 3）只要有一點著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接 觸視為幾何上的點接觸； 4）椅子的中心不動。,2 建模分析:,表示A,C與地面距離之和,正方形ABCD 繞O點旋轉(zhuǎn),表示B,D與地面距離之和,則由三點著地，有,不失一般性，設(shè)初始時：,用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,3數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)命題：.,假設(shè)： 是 的連續(xù)函數(shù)， 且 對任意 ， 求證：至少存在 ，使得,4模型求解,證明： 將椅子轉(zhuǎn)動 ，對角線互換，由,可得,令,由 的連續(xù)性,根據(jù)介值定理，在 中至 少存在一點 ,使得 ,即,又,

12、所以,結(jié)論：能放穩(wěn)。,連續(xù)函數(shù)的介值定理,a,b,o,x,y,思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？,數(shù)學(xué)建模競賽論文寫作,摘要部分,應(yīng)當(dāng)包括的內(nèi)容 1.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）2.建模的思想 3.算法思想（模型求解思路） 4.建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，算法特點，結(jié)果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗.） 5.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論）（回答題目所問的全部“問題”）,模型假設(shè)部分 模型的假設(shè)主要有兩個方面 （1）根據(jù)題目中條件做出假設(shè)； （2）根據(jù)題目要求做出假設(shè)。 注意點： 關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。,模型建立部分 （1） 基本模型首先要有數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)公式、方案等

13、）， 基本模型要求完整，正確，簡明； (2） 簡化模型要明確說明（簡化思想，依據(jù)）， 簡化后模型，盡可能完整給出； （3） 模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。 數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數(shù)學(xué)上：高（級）、深（刻）、難（度大）。能用初等方法解決的、就不用高級方法； 能用簡單方法解決的，就不用復(fù)雜方法； 能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。,模型建立部分 （4）鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標(biāo)新立異 數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在1）建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；2）模型求解中；3）結(jié)果表示、分析、檢驗，模型檢驗；4）推廣部分 （5）在問題分析推導(dǎo)過

14、程中，需要注意的問題： 分析要中肯、確切；術(shù)語要專業(yè)、內(nèi)行； 原理、依據(jù)要求正確、明確；表述要求簡明，關(guān)鍵步驟要列出。忌外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長。,模型求解部分 （1） 需要建立數(shù)學(xué)命題時：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。 （2） 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。 （3） 計算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。 （4） 設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。,結(jié)果分析、檢驗部分 （模型檢驗及模型修正 結(jié)果表示） （1） 最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的； （2） 對數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗。結(jié)果

15、不正確、不合理、或誤差大時，分析原 因，對算法、計算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)； （3） 題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；,模型評價部分 優(yōu)點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建?？稍诖俗觥＿M(jìn)行推廣或模型改進(jìn)時，盡量使用已經(jīng)用過的術(shù)語。,參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出,不要列沒引用的文獻(xiàn)和圖書 參考文獻(xiàn)中書籍的表述方式為： 編號 作者，書名，出版地：出版社，出版年。 參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為： 編號 作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年。 參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為： 編號 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）。,檢查答卷的主要三點 把

16、三關(guān) （1） 模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性 （2） 結(jié)果的正確性、合理性； （3） 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩,一般說來，數(shù)學(xué)模型主要有下列幾種類型: 1.優(yōu)化模型； 2.微分方程模型； 3.統(tǒng)計分析模型； 4.插值擬合模型 ； 5.計算機(jī)模擬和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法；,寫答卷前的思考和工作規(guī)劃 答卷需要回答哪幾個問題建模需要解決哪幾個問題 問題以怎樣的方式回答結(jié)果以怎樣的形式表示 每個問題要列出哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)建模要計算哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù) 每個量，列出一組還是多組數(shù)要計算一組還是多組數(shù),競賽中必須做和注意的事情,寫答卷前的思考和工作規(guī)劃 答卷需要回答哪幾個問題建模需要解決哪幾個問題 問題以怎樣的方式回答結(jié)

17、果以怎樣的形式表示 每個問題要列出哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)建模要計算哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù) 每個量，列出一組還是多組數(shù)要計算一組還是多組數(shù),答卷要求的原理 準(zhǔn)確科學(xué)性 條理邏輯性 簡潔數(shù)學(xué)美 創(chuàng)新研究、應(yīng)用目標(biāo)之一，人才培養(yǎng)需要 實用建模，實際問題要求,建模理念 應(yīng)用意識要解決實際問題，結(jié)果、結(jié)論要符合實際；模型、方法、結(jié)果要易于理解， 便于實際應(yīng)用；站在應(yīng)用者的立場上想問題，處理問題。 數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)方法解決問題，要有數(shù)學(xué)模型；問題模型的數(shù)學(xué)抽象，方法有普適性、科學(xué)性，不局限于本具體問題的解決。 創(chuàng)新意識建模有特點，更加合理、科學(xué)、有效、符合實際；更有普遍應(yīng)用意義；不單純?yōu)閯?chuàng)新而創(chuàng)新。,注意數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)語言 與實際問題及其背景的結(jié)合 數(shù)學(xué)模型的建立是用來解決或者說明實際問題，因此特別要注意該競賽并非要你解決一個數(shù)學(xué)問題，而是一個實際問題，所以必須要記住最終要將數(shù)學(xué)的語言或者結(jié)論轉(zhuǎn)換為實際問題中的語言。建立模型過程中一定要講清楚實際問題是怎么變成數(shù)學(xué)問題的，數(shù)學(xué)結(jié)論也應(yīng)當(dāng)放到實際背景問題中檢驗、說明。整個數(shù)學(xué)建模過程應(yīng)當(dāng)由三個階段：建立模型實際問題數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解；模型檢驗：數(shù)學(xué)解實際問題的解決。（注意這三個部分同等重要，不要