第7章_二階電路.ppt

1、第七章 二階電路,7.1 LC電路中的正弦震蕩 7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 7.3 直流RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng) 7.4 GLC并聯(lián)電路的分析,7.1 LC電路中的正弦震蕩,當(dāng)電路中包含有兩個獨立的動態(tài)元件時，描述電路的方程是二階線性常系數(shù)微分方程。在二階電路中，給定的初始條件有兩個，它們由儲能元件的初始值決定。,如果兩個獨立的動態(tài)元件是一個LC回路，儲能將不斷地在L和C（電場和磁場）之間往返，形成LC回路中的正弦等幅振蕩。,7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),7.2.1 電路和方程 7.2.2 過阻尼(over damped)情況 7.2.3 臨界阻尼(critically dampe

2、d)情況 7.2.4 欠阻尼(under damped)情況 7.2.5 零阻尼情況 7.2.6 二階電路的零輸入響應(yīng),7.2.1 電路和方程,如圖所示，電路中無電源，電路響應(yīng)為零輸入響應(yīng),有以下三種初始狀態(tài)情況：,下面僅以第一種情況為例討論該電路的零輸入響應(yīng)。 一. 定性分析,由KVL，有,二. 數(shù)學(xué)分析,初始條件為：,可求得特征根：,（1）式特征方程為,1、當(dāng) 時，即 時，S1、S2 為兩個不相等的負(fù)實根，其響應(yīng)形式為：,根據(jù)兩特征根的形式，響應(yīng)可分為四種：,2、當(dāng) 時, S1、S2 為兩相等的負(fù)實根，其響應(yīng)為：,稱為臨界阻尼,為臨界電阻,3、當(dāng) 時，即 時，S1、S2 為一對共軛復(fù)根：稱

3、為欠阻尼。則響應(yīng)形式為,式中： ； ;,4、當(dāng)R=0時，即0時，S1、S2 為一對共軛虛根：稱為無阻尼。則響應(yīng)形式為,7.2.2 過阻尼(overdamped)情況,特征根為兩個不相等的負(fù)實根，,令,其中,顯然有,（1）式通解為：,上式求導(dǎo)，得：,初始條件代入（3）、（4）式，得：,由（5）式求得,代入（3）得方程（1）滿足初始條件的解為：,進一步求得：,結(jié)果分析：,(2),(3) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的極值點,(4) 過渡過程的能量情況如下圖所示：,(5) 過阻尼情況下，電路具有非振蕩的過渡過程。,電壓和電流表達式中，特征根 s1= -1 對應(yīng)項 在過渡過程中起主要作

4、用。,7.2.3 臨界阻尼(critically damped)情況,特征根為兩個相等的負(fù)實根：,（1）式通解為：,上式求導(dǎo)，得：,初始條件代入（6）、（7）式，求得：,代入（6）式得微分方程（1）滿足初始條件的解為：,分析可知， uc 、iL 波形圖與過阻尼情況類似。,7.2.4 欠阻尼(underdamped)情況,特征根為一對共軛復(fù)根：,其中,可設(shè)（1）式通解為：,上式求導(dǎo)，得：,初始條件代入（8）、（9）式，得：,由（10）式求得,其中,、d 、0及 的關(guān)系如下圖所示：,方程（1）滿足初始條件的解為：,進一步求得：,分析：,(1) uc 和 iL 均是幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦函數(shù)。,(

5、2),(4) uc 的過零點即 iL的極值點。,結(jié)果分析,*過渡過程中電場和磁場能量相互轉(zhuǎn)換，由于耗能電阻的存在，總能量逐漸減少。,吸能 放能 耗能,*欠阻尼情況下，電路具有阻尼振蕩(damped oscillation)或衰減振蕩的過渡過程。由 可知uc(t) 和iL的包絡(luò)線函數(shù)分別為,稱 為衰減系數(shù)， 越大，則電壓和電流衰減越快；稱 d 為衰減振蕩角頻率， d 越大，則電壓和電流振蕩越劇烈。,7.2.5 零阻尼情況,特征根為一對共軛虛根：,（相當(dāng)于欠阻尼情況下 =0、d = 0 、 = 0 。）,利用欠阻尼情況的分析結(jié)果，得：,零阻尼情況下，電路響應(yīng)為等幅振蕩的正弦函數(shù)，0稱為無阻尼振蕩角

6、頻率。電場和磁場不斷進行著完全的能量交換，但總能量并不減少，任一時刻的電路總能量都等于電路的初始儲能。因振蕩僅由電路的初始儲能所產(chǎn)生，故稱為自由振蕩。,無阻尼,欠阻尼,臨界阻尼,電路所示如圖， t = 0 時打開開關(guān)。求 : 電容電壓uC , 并畫波形圖。,解:,(1) uc(0-)=25V iL(0-)=5A,特征方程為 50s2+2500s+106=0,例:,(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A,例：判斷如圖所示電路，是過阻尼情況還是欠 阻尼情況。,解：由KVL可知,由KCL知,則,其特征方程為,左圖為有源RC振蕩電路，討論k取不同值時u2的零輸入響應(yīng)。,節(jié)點A列寫KCL有

7、：,KVL有：,特征方程,特征根,（1）,整理得：,（2）,令,第七章 二階電路,7.1 LC電路中的正弦震蕩 7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 7.3 直流RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng) 7.4 GLC并聯(lián)電路的分析,電路如圖，電路響應(yīng)由電源和電路的原始儲能共同產(chǎn)生。,或：,（1）,二階電路的全響應(yīng):,通解為：,其中 ucp 為方程的一個特解，可求得：,uch 為方程對應(yīng)齊次方程的通解，它的形式?jīng)Q定于方程的特征根也有四種，討論與零輸入響應(yīng)相同。,代入初始條件，即可確定2個待定的積分常數(shù)。,電路的全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成,電路的固有頻率為,當(dāng)電路的固有頻率s1s2時，對

8、應(yīng)齊次微分方程的通解為,微分方程的特解為,全響應(yīng)為,利用以下兩個初始條件,可以得到,對uC(t)求導(dǎo)，再令t=0得到,求解這兩個代數(shù)方程，得到常數(shù)K1和K2后就可得到uC(t)。,例: 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0時電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。,解：t0時，(t)=1V，可以作為直流激勵處理。首先計算 電路的固有頻率,根據(jù)這兩個固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全響應(yīng)的表達式為,利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1-1和K2-0.75，得到電容電壓

9、的零狀態(tài)響應(yīng),可以畫出電容電壓和電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的波形為：,注：圖(c)和(d)表示當(dāng)電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時的電 容電壓和電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的波形曲線。,例:電路如圖所示。已知 R =4，L =1H，C =1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0時， 電容電壓和電感電流的響應(yīng)。,解：先計算固有頻率,這是兩個不相等的負(fù)實根，其通解為,特解為,全響應(yīng)為,利用初始條件得到,聯(lián)立求解以上兩個方程得到,最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng),求電流 i 的零狀態(tài)響應(yīng)。,i1= i 0.5 u1,= i 0.5(2 i)2 = 2i 2,由KVL：

10、,整理得：,首先寫微分方程,解：,例：,特征根為： P1= 2 ，P2 = 6,解答形式為：,第三步求特解 i,由穩(wěn)態(tài)模型有：i = 0.5 u1,u1=2(20.5u1),i=1A,第二步求通解,第四步定常數(shù),由0+電路模型：,第七章 二階電路,7.1 LC電路中的正弦震蕩 7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 7.3 直流RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng) 7.4 GLC并聯(lián)電路的分析,7.3 GCL并聯(lián)電路分析,它是RLC串聯(lián)電路的對偶電路,二階微分方程為：,特征根：,響應(yīng)形式：,2、G ，臨界阻尼。,3、G ,為欠阻尼。,4、G0 ，為無阻尼。,1、G ,為過阻尼。,(1) 列微分方程,(2)求特解,解：,例：,應(yīng)用結(jié)點法：,(3)求通解,特征根為： P= -100 j100,(4)定常數(shù),特征方程為：,(5)求iR,或設(shè)解答形式為：,定常數(shù),i1= i - 0.5 u1,=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2,由KVL,整理得：,二階非齊次常微分方程,解：第一步列寫微分方程