(N)是一個以自然數(shù)集為定義域的函數(shù).ppt

1、設(shè)xn=f (n)是一個以自然數(shù)集為定義域的函數(shù),將其函數(shù)值按自變量大小順序排成一列，x1, x2,xn, , 稱為一個數(shù)列. xn稱為數(shù)列的第n項，也稱為通項,數(shù)列也可表示為xn或xn=f (xn),第一節(jié)數(shù)列的極限,一、數(shù)列的極限,例.,看數(shù)列1.,從直觀上看,這個數(shù)列當n越來越大時, 對應(yīng)的項xn會越來越接近于1,或者說“當n趨向于無窮大時, 數(shù)列xn趨近于1.如何用精確的, 量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實?,注意到,實數(shù)a, b的接近程度由| ab |確定. | ab |越小, 則a, b越接近.因此, 要說明“ 當n越來越大時, xn越來越接近于1”就只須說明“ 當n越來越大時, |

2、xn1 |會越來越接近于0”.而要說明“| xn1 |越來越接近于0”則只須說明“ 當n充分大時,| xn1 |能夠小于任意給定的, 無論多么小的正數(shù)” 就行了,也就是說無論你給一個多么小的正數(shù), 當n充分大時, | xn1 | 比還小,由于是任意的,從而就說明了|xn1| 會越來越接近于0.,事實上, 給, 很小, 只須n1000 即可,數(shù)列中,從第1001項開始,以后各項都有,要,也即在這個,又給, 則從第10001項開始,以后各項都有,一般, 任給 0, 不論多么小,只須,. 因此, 從第,項開始, 以后各項都有,. 因是任意的, 這就說明了當n越來越大時,xn會越來越接近于1.,要使,

3、定義: 設(shè)xn是一個數(shù)列, a是一個常數(shù),若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN時, 都有|xna|,則稱a是數(shù)列xn當n無限增大時的極限, 或稱xn收斂于a,記作,這時, 也稱xn的極限存在, 否則, 稱xn的極限不存在, 或稱xn是發(fā)散的.,比如, 對于剛才的數(shù)列1. 有,注1. 定義中的是預(yù)先給定的, 任意小的正數(shù),其任意性保證了xn可無限接近于a,另外, 又是確定的, 它不是變量.,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,注2. 一般說來, N隨給定的變化而變化, 給不同的 確定的N也不同,另外, 對同一個來說, N不是唯一的(若存在一個N, 則N+1, N+2, , 均可作

4、為定義中的N.),若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,注3.,定義中“ 當nN時, 有| xna |”的意思是說, 從第N+1項開始,以后各項都有|xna |,至于以前的項是否滿足此式不必考慮. 可見一個數(shù)列是否有極限只與其后面的無窮多項有關(guān). 而與前面的有限多項無關(guān). 改變, 去掉數(shù)列的前有限項, 不改變數(shù)列收斂或發(fā)散的性質(zhì).,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,幾何意義:,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,由于| xna | a xn a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所謂xn以a為極限, 就是對

5、任何以a為心, 以任意小的正數(shù) 為半徑的 鄰域,總能找到一個N, 從第N+1項開始, 以后各項都落在鄰域 U(a, ) 內(nèi),而只有有限項落在U(a, )外部.看圖.,例1. 若xn=c (常數(shù)), 則,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,證:, 0. 由于|xn1|=|c c|= 0,取N=1, 當nN時, 有|xnc |=0,故,即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.,例2. 設(shè)q是滿足 |q |1的常數(shù), 證明,證. 若 q = 0 , 結(jié)論顯然成立., 0.,設(shè) 0 |q |1.,現(xiàn)在, xn = qn, a = 0.,(要證N, 當nN時, 有 |qn 0| ),因 | xn

6、a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | , 只須 |q | n 即可.,即 n ln |q | ln ,取正整數(shù),則當 n N 時, 有,從而有,| qn 0 | ,例3. 證明,證: 0,要使,則當nN時, 有,(要證N, 當nN時, 有,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,例4.,證:, 0,由于,要使 | xn a | ,則當 n N 時,有,例5.,證: (1) 設(shè) a = 1, 結(jié)論顯然成立.,(2) 設(shè) a 1,從而, 1+ nn, 0,(3) 設(shè) 0 a 1,即 0, N, 當nN時, 有, .,(因 0 a 1),

7、綜合得,本例也可用有理化的方法處理.,注意到公式,從而,(分母都用1代).,以下同(2).,證:,反設(shè)xn收斂, 但極限不唯一,設(shè)ba, 取,即, xna, 且xn b, (n), ab.,第二節(jié)數(shù)列極限的性質(zhì)及收斂準則,一、數(shù)列極限性質(zhì),定理1. 若數(shù)列收斂, 則其極限唯一.,由極限定義, 1, 當nN1時,N2, 當nN2時,取N=maxN1, N2, 則當nN時, 上兩式同時成立.,從而當 nN時, 有,矛盾, 故極限唯一.,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,幾何意義:,數(shù)列的有界性.,定義: 沒有數(shù)列xn=f (n), 若M0, 使得|xn|M, n=1, 2,

8、. 則稱數(shù)列xn有界,否則, 稱xn無界.,由于 |xn|MMxnM xnM, M.,故, 所謂xn有界, 就是xn要全部落在某個對稱區(qū)間M, M內(nèi).,看圖,例1. xn=(1)n有界, 而xn=n2無界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,設(shè)xna (n),則對n=1, 2, ,有|xn|M,證:,由定義, 對=1, 存在自然數(shù)N,當nN時, 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|1+|a|. 取M=max|x1|, |x2|, |xN|, 1+|a|,M,若 0, 正整數(shù)N, 使得當nN 時, 都有|xna|,定理2. 若xn收斂, 則xn有界

9、.,定理2的逆命題不成立, 如xn=(1)n有界, 但由定義和幾何意義知(1)n是發(fā)散的.,看圖,x,1,1,0,(,),(,),定理3.,證：如圖, (1), (2),取 N = maxN1, N2,則當 n N時, (1), (2)同時,成立，即 xn yn.,在定理3中取 yn= 0.,故正整數(shù)N, 當nN時,證:,則,從而 a b = 0.,類似證明 a 0的情形.,推論2.,證: 反設(shè) a N1時, 有xn yn.,取 N2 = maxN, N1,則當 n N2 ( N)時,有 xn yn.,此與條件矛盾.,推論3: 設(shè)有數(shù)列xn, 若正整數(shù)N, 當nN時, 則,有 xn0 (xn0

10、). 且,a0 (a0).,比如,注: 在推論3中, 即使xn0, 也只能推出a0,定理4.,xn yn zn,證:, 0 , N1, 當n N1時, 有 |xn a| .,(1),即 a xn a + (2),(夾逼定理). 設(shè)數(shù)列xn, yn, zn滿足正整數(shù)N, 當 n N 時, 有,N2, 當n N2時, 有 a zn a + (3),取 N * = maxN, N1, N2,則當n N * 時, (1), (2),(3)同時成立.,有,a xn yn zn a + ,即 | yn a | .,特別, 若在夾逼定理中, xn 和 zn 中有一個為常數(shù)列, 并滿足定理條件. 定理當然成立

11、.,即,若 a yn zn ,夾逼定理的意義有: (1) 給出判斷數(shù)列 yn 存在極限的方法;,(2) 給出了求 yn 的極限的方法.,這一方法能解決很多較為困難的求極限問題.,例2. 求,解：用夾逼定理求解，,記,適當放大和縮小，形成定理要求的連不等式,考慮將 xn,由于,所以,例3. 求數(shù)列,解：回憶結(jié)論,得出當 a 1 時的結(jié)論的方法是,記,得,得,現(xiàn)在類似，記,則,解得,易證,所以,所謂數(shù)列xn 子列，就是從數(shù)列 x1, x2, , xn, 中任取無窮多項，,這個數(shù)列稱為xn的子列.,比如，x2, x5, x14, , x78, 就是xn的一個子列,上列中n1=2, n2=5, n3=

12、14等.,二、子列,注：,易見 k nk .,前必已從xn中抽出了k1項，,xn的第 k 項后的項中抽出，,也即 k nk .,(3) 對任何兩個正整數(shù) h, k, 若 h k, 則有 nh nk .,反之，若 nh nk, 則 h k.,這是因子列次序與原數(shù)列次序相同.,在子列中位置靠后的項，在原數(shù)列中位置也靠后，反之也對.,a 的定義是：,此時，記為,或,定理5.,證：充分性.,由于xn可看作它自已的一個子列.,由條件 xn 的任何子列都以 a 為極限，,故,必要性.,注：由定理5，若 xn 的兩個子列一個收斂于 a , 而另一個收斂于 b，且 ab, 則xn發(fā)散；,或者，xn中有一個子列

13、發(fā)散，則xn發(fā)散.,0, 1, 0, 1, ,發(fā)散.,1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ,發(fā)散.,推論.,若數(shù)列xn滿足 x1x2xn, 則稱xn為單調(diào)遞增數(shù)列.,若x1x2xn, 則稱xn為單調(diào)遞減數(shù)列.,單調(diào)遞增和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.,三、收斂準則,例4. xn=n2是單調(diào)遞增數(shù)列, 但xn是發(fā)散的.,xn=(1)n是有界數(shù)列, 但xn=(1)n也是發(fā)散的.,定理6. 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限;,單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.,即, 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,例5.數(shù)列,是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列.,證: 首先注意到, 當ab0時,有,移項, 有,即,(1) 取,

14、有,即,(2) 取,有,即,(e=2.71828, 為一無理數(shù)),定理7:,| xnxm | .,證：略,(柯西收斂準則) 數(shù)列xn收斂的充要條件是 0, N 0, 當n, mN 時，有,例6. 利用柯西收斂原理證明 xn=1+q+q2+ +qn ( | q |1) 收斂.,證： 0，設(shè) m n，,| xmxn |,要使| xmxn | , 只須,即(n+1)ln |q| ln (1|q|),取正整數(shù),則當 n, mN 時，有| xnxm | .,故 xn 收斂.,定義1.,或, 0, N 0, 當 n N 時, 有 | xn | . 則稱 為無窮小量(無窮小數(shù)列).,第三節(jié) 數(shù)列極限運算,一

15、、無窮小量,(1) 無窮小量是指該數(shù)列以0為極限,任何一個量若其極限不為0, 則不是無窮小量.,所以, 除0外的任何常量(常數(shù)列)都不是無窮小量.,(3) 常數(shù)列 xn = 0 是無窮小量.,注:,定理1. (極限與無窮小的關(guān)系定理),證: , 0, N 0, 當 n N 時, 有 | xna | .,即| n | .,故 xn= a + n , 其中n 0 (n+時).,則 0, N 0, 當 n N 時, 有 |n | .,即| xna | ., 若 xn= a + n , 其中n 0 (n+時).,故,性質(zhì)1. 有限多個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量.,性質(zhì)2. 有限多個無窮小量的乘積仍是無

16、窮小量.,則 xn yn 是無窮小量 . 即 有界量乘無窮小量仍為無窮小量.,推論. 常量乘無窮小量仍為無窮小量.,性質(zhì)3. 若 xn 是無窮小量, | yn | M(當 n N 時),性質(zhì)4. 若 xn 是無窮小量, yn a (0),則,1. 兩個無窮小量的商不一定是無窮小量.,2. 性質(zhì)1, 2中的條件有限多個不能丟.,注:,例1.,解:,例2.,解:,故 原式 = 0.,看數(shù)列 xn = n2, 即， 1, 22, 32, , n2, .,當 n 越來越大時, 數(shù)列 xn 的值也越來越大, 要多么大就有多么大, 可以大于預(yù)先給定的任意大的數(shù)G.稱為無窮大數(shù)列(無窮大量).,二、無窮大量

17、,定義2. 若 G 0(無論多么大), N 0, 當 n N,時, 有 | xn | G ,則稱 xn 為無窮大量, 記作,(1),(2) 任何常數(shù)列(常量)都不是無窮大量.,注:,即, 當n N 時, xn 都落在區(qū)間 G, G外面.,在 G, G內(nèi), 只有 xn 的有限多個項.,例3. 設(shè) | q | 1.,證: G 0, (要證N 0, 當 n N 時, 有 | qn | G ),要使 | qn | = | q |n G.,只須,則當 n N 時, 有 | qn | G,故,例4. 數(shù)列 xn = (1+(1)n)n 是否為無窮大量?,解: 數(shù)列 xn 為,0, 22, 0, 24, 0

18、, 26, .,如圖,所以 xn 不是無窮大量.,定義3.,從幾何上看,xn .,xn +.,證: 設(shè) xn 為無窮大量, 要證 為無窮小量., 0,因 xn 為無窮大量.,從而,定理2. 若 xn 是為無窮大量, 則 為無窮小量.,若 xn 是為無窮小量(xn 0), 則 為無窮大量.,(1) 兩個無窮大量的和, 差, 兩個無窮大量的商都不一定是無窮大量.,比如, 當n +時, n2 , n2 ,但,n2 + (n2) = 0,都不是無窮大量.,但, +(+) = +,+() = .,注:,(2) 有界量乘無窮大量不一定是無窮大量.,無窮小量乘無窮大量不一定是無窮大量(無窮小量),特別,比如

19、, 當xn = n2 ,yn = 0,則 xnyn = 0 不是無窮大量.,(3) 若數(shù)列 xn , 則 xn 無界,但反之不對.,如, 當xn = (2+(1)n)n . 無界, 但不是無窮大量.,(4) = , (有界量) = .,定理3. 設(shè)數(shù)列 xn和 yn 的極限都存在. 且,則,(1),(2),(3) 設(shè) C 為常數(shù)，有,(4) 當 b0 時，有,三、數(shù)列極限的運算法則,證：只證(1).,因,由極限與無窮小關(guān)系，,有，,xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).,從而 xn yn =(a b)+(n n ),由無窮小量性質(zhì)知n n0(n+),再由極限與無窮小的關(guān)系定理，

20、知,定理4. 若,證：由于,注意到不等式 | | A | | B | | | A B |,從而 | | xn | | a | | | xn a | ,故,反之不對.,比如, 設(shè) xn = (1)n.,例5. 求,解:,一般, 稱形為 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 為 x 的一個 k 次多項式. 其中k為非負整數(shù)，ai為常數(shù), a00.兩個多項式的商稱為有理式(有理函數(shù)).,對這種以n為自變量的有理函數(shù)的極限問題(n時), 可將分子，分母同除以分母的最高次冪n2.,由于分母的極限等于5(0), 分子的極限等于3，,= 0，,= .,故,一般，若 a0, b0 都非0，則

21、,，,0，,k L,k L,例6. 求,解：有理化.,= 50.,例7. 求,解：注意到求和公式,= 2.,例8. 求,解：注意到,從而,所以，原式=,例9. 求,解：注意到,從而，,故,例10. 設(shè)x0=1,證明 xn 的極限存在，并求之.,證：,通常要證明某數(shù)列極限存在可考慮用:(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2)夾逼定理(條件中往往有不等式).此例用(1),注意到 0 xn 2, 即 xn 有界.,且x1 x0,同理，,=,即 xn 單調(diào)遞增.,因 xn 0 , 故 a 0.,設(shè)有數(shù)列u1, u2, , un, ,則式子,稱為一個(常數(shù)項)無窮級數(shù).,第n項un稱為級數(shù),的一般項或通項.,

22、第四節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì),一、基本概念,級數(shù)是無窮多個數(shù)的和. 它可能是一個確定的數(shù), 也可能不是一個確定的數(shù).,比如,0+0+ +0+ =0,而1+1+ +1+就不是,一個數(shù).,記 Sn = u1+ u2 + +un. 稱為此級數(shù)的前n項部分和.,(如 S1= u1, S2 = u1+u2, , Sn = u1+ u2 + + un.),由部分和構(gòu)成的數(shù)列S1, S2, Sn , , 稱為此級數(shù)的部分和數(shù)列.,易見. (i) un = SnSn 1,(ii) 從形式上看, 有,定義:,則稱此級數(shù)收斂,極限值S 稱為該級數(shù)的和.,記作,稱為該級數(shù)的余和(余項, 余式),例1.,稱為等比級數(shù)

23、. r 稱為公比. 討論等比級數(shù)斂散性.,解:,從而,(i),事實上, 若0 r 1,若1 r 0, 則 r = | r |, rn = (1)n | r |n,從而,(ii),(iii),(iv),不存在.,綜合:,例2.,解:,故,故該級數(shù)收斂, 且有,例3.,證:,故此級數(shù)發(fā)散.,例4.證明級數(shù),收斂, 并求它們的和S.,解: 為求Sn .,故級數(shù),從而,且 S = 2.,性質(zhì)1. (級數(shù)收斂的必要條件).,證:,由于 un = Sn Sn1,二、基本性質(zhì),注1.,性質(zhì)1是級數(shù)收斂的必要條件而非充分條件. 也即,注2.性質(zhì)1的逆否命題為,這是以后我們判定一個級數(shù)發(fā)散的重要結(jié)論.,例.級數(shù)

24、 1 + 2 + + n +,故級數(shù)發(fā)散.,故此級數(shù)發(fā)散.,性質(zhì)2.,則, R,證:,特別 (i) 取 =1, = 1.,(ii) 取 = 0.,推論:,證:,由性質(zhì)2.,矛盾.,性質(zhì)3.,證: 只證在級數(shù)中去掉一項的情形. 其余情形類似.,u1 + u2 + +uk1+ uk+1 +,在級數(shù)中去掉或增加有限項. 不改變級數(shù)的斂散性.,由于uk是常數(shù), 其極限存在且為uk . 因此,即新級數(shù)與原來的級數(shù)有相同的斂散性.,性質(zhì)4.,則對其任意加括號后所得到的級數(shù)仍然收斂, 且其和不變.,即, 若 u1+ u2 +un += S. (收斂),則任意加括號后所成新級數(shù).,(u1+ u2) + (u3

25、+u4+u5) + (u6 + u7) + = V1+ V2 + V3 + = S. (收斂),其中, V1= (u1+ u2), V2= (u3+u4+u5), V3= (u6 + u7),證: 用m表示加括號后所成級數(shù),V1+ V2 + V3 + = (u1+ u2) + (u4+u4+u5) + (u6 + u7) +的前m項部分和.,則 1 = V1 = (u1+ u2) = S2,2 = V1 + V2 = S5,3 = V1 + V2 + V3 = S7, ,一般, 設(shè)m = Sn .,其中 m n .,當m時, n. 從而,故, 加括號后所成級數(shù)收斂于S.,注:,比如, 級數(shù)(1

26、1)+(11)+(11)+ 收斂于0.,但去括號的級數(shù),是發(fā)散的.,或由S2n = 0, 而S2n1=1,性質(zhì)4的逆命題不成立.即, 若加括號后所成級數(shù)收斂. 不能保證原來級數(shù)(即, 去括號的級數(shù))收斂.,推論: 若加括號的級數(shù)發(fā)散. 則原來級數(shù)發(fā)散.,證: (略),例4.,證: 注意不等式. 若x 0.,故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.,例5.,證:,記Wn = un + Vn .,從而Vn = Wn un .,正項級數(shù)的部分和數(shù)列 Sn=u1+ u2 + +un 是單調(diào)遞增數(shù)列 0 S1 S2 Sn .,第五節(jié) 常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別法,一、正項級數(shù)斂散性的判別法,從而Sn有界,也,就有上界.,定理1.正

27、項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列Sn有界(有上界).,推論:,(最后一個充要條件可由無界數(shù)列. 無窮大量的定義以及Sn單調(diào)遞增得到.),定理2.(比較法).,n = 1, 2, , 則,(1),(2),證:,故, (1),(2),注2.實際應(yīng)用時, 要判正項級數(shù)收斂. 可將un,注1.定理2中條件“ un Vn”只須從某項開始,以后一直成立即可.,逐步放大, un Vn .,例1.,解: (1) 若 0 P 1.,(2) 若 P 1. 考慮對P級數(shù)按下列方法加括號所成級數(shù).,從而, 加括號的P級數(shù)收斂.,原來級數(shù)收斂加括號的級數(shù)收斂.”,由于“ 對正項級數(shù)而言,故, 當P 1時, P級數(shù)收斂.,推論. (比較法的極限形式),則這兩個級數(shù)有,相同的斂散性.,例2.,解: 常以P級數(shù)和調(diào)和級數(shù)作為推論中的,例3.,解:,定理3. (比值法, 或,達朗貝爾判別法).,則,(1) 1時, 級數(shù)收斂.,(2) 1或 = +時, 級數(shù)發(fā)散.,(3) = 1時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(須用另外的方法判斷).,例4.,解:, 1,故級數(shù)收斂.,例5.,解:,故級數(shù)發(fā)散.,例6.,解:,所以, 用