高二數(shù)學(xué)教案：8.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(三)

1、課題： 8 1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（三）教學(xué)目的：1. 使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系2. 使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)移法 （也稱代換法， 中間變量法， 相關(guān)點法） 求動點軌跡方程的方法與橢圓有關(guān)問題的解決教學(xué)重點： 運用中間變量法求動點的軌跡教學(xué)難點：運用中間變量法求動點的軌跡授課類型：新授課課時安排：1 課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1橢圓定義 ：平面內(nèi)與兩個定點 F1 , F2 的距離之和等于常數(shù)（大于| F1 F2 |）的點的軌跡叫作橢圓 ，這兩個定點叫做 橢圓 的焦點 ，兩焦點 間的距離叫做橢圓的焦距注意 : 橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個定點 - 兩點間距離

2、確定（2）繩長 - 軌跡上任意點到兩定點距離和確定P在同樣的繩長下， 兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點間距離較短， 則所畫出的橢圓較圓 （F1F2圓 ）橢圓的形狀與兩定點間距離、 繩長有關(guān) ( 為下面 離心率 概念作鋪墊 )2. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：y（ 1） x2y2P1a2b2F1OF2它 所 表 示 的 橢 圓 的 焦 點 在 x 軸 上 ， 焦 點 是xF1 ( c,0) F2 (c,0) ，中心在坐標(biāo)原點的橢圓方程其中a 2c 2b 2yPF2（ 2） y2x21Oa2b 2F1它 所 表 示 的 橢 圓 的 焦 點 在 y 軸 上 ， 焦 點 是F1 (0,c), F2

3、 (0,c) , 中心在坐標(biāo)原點的橢圓方程其x中 a2c 2b 2在 x 2y 21 與 y 2x21這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a b 0 的要求，如方程a 2b 2a2b 2x2y21(m0, n 0, mn) 就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，mn第 1頁共 6頁可與直線截距式xy1 類比，如 x2y 21中，由于 ab ，所以在 x 軸上的 “截距”aba2b2更大，因而焦點在x 軸上 (即看 x2 , y 2 分母的大小 )二、講解范例：例 1如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P 向 x 軸作垂線段 PP，求線段 PP的中點 M的軌跡（若 M分

4、PP之比為1 ，求點 M的軌跡）M 的坐標(biāo)為2解：（ 1）當(dāng) M是線段 PP的中點時，設(shè)動點y( x, y) ，則 P 的坐標(biāo)為 ( x,2 y)P因為點 P 在圓心為坐標(biāo)原點半徑為2 的圓上，M所以有x2(2 y)24 ，即x 2y21-2OP 2x4所以點 M 的軌跡是橢圓，方程是x 2y 214（2）當(dāng) M分 PP之比為 1時，設(shè)動點 M的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則 P 的坐標(biāo)為 (x, 3 y)22因為點 P 在圓心為坐標(biāo)原點半徑為2 的圓上，P所以有x 2( 3 y)24 ，即x 29 y21M2416-2O P2x所以點 M 的軌跡是橢圓，方程是x 29 y21416例2已知x

5、軸上的一定點（1,0），Q為橢圓 x2y21上的動點，求AQ中點M的軌跡A4方程解：設(shè)動點 M的坐標(biāo)為 (x, y) ，則 Q 的坐標(biāo)為 (2x1,2 y)因為點 Q 為橢圓 x 2yy21上的點，QM4(2x1)21) 2-2OA2 x所以有( 2y) 21 ，即 (x4 y 2142所以點 M 的軌跡方程是 ( x1 ) 24y 212第 2頁共 6頁例 3長度為2 的線段 AB 的兩個端點 A、B 分別在 x 軸、 y 軸上滑動， 點 M分 AB的比為2 ，3求點 M的軌跡方程解：設(shè)動點 M 的坐標(biāo)為 (x, y) ，則 A 的坐標(biāo)為 (5 x,0)B 的坐標(biāo)為 (0, 5 y)32因為

6、 | AB |2，y所以有(5x) 2(5y)24 ，即25x 225y24BM3294OAx25 x225 y24所以點 M 的軌跡方程是94例 4已知定圓 x2y 6x550 ，動圓 M和已知圓內(nèi)切且過點P(-3 ， 0) ，求圓心 M的軌跡及其方程分析：由兩圓內(nèi)切， 圓心距等于半徑之差的絕對值根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號表示此結(jié)論：MQ8MPy上式可以變形為 MQMP8，又因為r 8MPQ68 ，所以圓心 M的軌跡是以 P， Q 為焦PO Q點的橢圓解已知圓可化為： x3 2y 264x圓心 Q(3， 0) ， r8 ，所以P 在定圓內(nèi)設(shè)動圓圓心為 M (x, y) ，則 MP 為半徑又圓 M和

7、圓 Q內(nèi)切，所以MQ 8MP ，即MQ MP8 ，故 M的軌跡是以 P，Q為焦點的橢圓， 且 PQ中點為原點， 所以 2a8 ，b27 ，故動圓圓心 M的軌跡方程是：x 2y 21167三、課堂練習(xí) ：（1）已知橢圓 x 2y21上一點 P到橢圓的一個焦點的距離為3，則 P 到另一個焦點的距2516離是 （）A.2B.3C.5D.7答案： Dx2y2（）（2）已知橢圓方程為1, 那么它的焦距是2011A.6B.3C.331 D.31答案： A第 3頁共 6頁（3）如果方程 x2ky 22 表示焦點在y 軸上的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是A. （ 0， +） B.(0,2)C.(1,+ )D.

8、(0,1)答案： D(4) 已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)是F1（ -2 ， 0）， F2（ 2， 0），并且經(jīng)過點 P（ 5 ,3），則橢22圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 _答案： x2y21106（5）過點 A（ -1 ，-2 ）且與橢圓 x2y 21的兩個焦點相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_答69案： x 2y 2136（6）過點P（3 ， -2 ）， Q（ -23 ， 1）兩點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案： x 2y 21255四、小結(jié) ：用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的方法轉(zhuǎn)移法是在動點的運動隨著另一個點的運動而運動，而另一個點又在有規(guī)律的曲線上運動，這種情況下才能應(yīng)用的，運用這種方法解題的關(guān)鍵是尋求兩動點的坐標(biāo)間的關(guān)系五、課后作業(yè)：

9、1已知圓 x2y 2，從這個圓上任意一點P 向 y 軸作垂線段 ，求線段 的中點 M的軌跡 .選題意圖：訓(xùn)練相關(guān)點法求軌跡方程的方法，考查“通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)”這一解析幾何基本思想 .解：設(shè)點 M的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則點 P 的坐標(biāo)為 ( 2x, y) . P 在圓 x2y 21 上， (2x) 2y 21，即x2y 21.14點 M的軌跡是一個橢圓4x 2y 212ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別是B(0 ，6)和 C(0 ，-6)，另兩邊 AB、AC的斜率的乘積是 - 4 ，9求頂點 A 的軌跡方程 .選題意圖： 鞏固求曲線方程的一般方法， 建立借助方程對應(yīng)曲線后舍點的解題意思，

10、 訓(xùn)練根據(jù)條件對一些點進行取舍 .解：設(shè)頂點A 的坐標(biāo)為 ( x, y) .第 4頁共 6頁依題意得y 6y64 ，xx9頂點 A 的軌跡方程為x2y 26) .811( y36說明：方程x2y2y 軸有兩個交點，而此兩交點為（，）與811對應(yīng)的橢圓與36(0 ， 6) 應(yīng)舍去 .3已知橢圓的焦點是F1 (1,0), F2 (1,0) ， 為橢圓上一點，且F1 F2 是 PF1 和PF2 的等差中項 .(1) 求橢圓的方程；(2) 若點 P 在第三象限，且PF1 F2 120，求 tan F1PF2 .選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識，靈活運用等比定理進行解題解： (1) 由題設(shè) PF1 PF2 F1F2 4 2a 4 ， 2 c=2， 3yx 2y 2P橢圓的方程為1.FOF2431（）設(shè) F1 PF2，則 PF2 F1 60 由正弦定理得：F1F2PF2PF1sinsin120sin(60)由等比定理得：F1 F2PF1PF2sinsin120sin(60)24sin3sin(60)2整理得： 5 sin3(1cos )sin3 故 tan31 cos522235