比較判斷法解析高考試題_徐章韜

1、2 00 9 年第 2 期救學(xué)救學(xué)忍祥夕比較判斷法解析高考試題20 20 4 1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系博士生 徐章韜。在數(shù)學(xué)分析里有比較判斷法 若正項級數(shù)又 a 收斂, o 成 b 簇 a (乞=1 , 2 , , n , ) ,則級數(shù) 藝 b 也收斂.這種思想可用于不等式的落=l證明中. 常常見到要證形如 藝 A ) a 的不等公=l式, 其中 A (i = 1 , 2 , , n) 是一組結(jié)構(gòu)相同的式子. 若能把 a 分解成a = 藝 B 的形式, 同蔥=l時又 能得到 A )盡 , 則 藝 A 、 ) 藝盡 = a 得公二 1證 這種通過逐項比較并判斷A ; 妻 B (乞=1 , 2 ,

2、, 司而證明 藝 A ) a 的方法稱為比較判斷誣=1法 . 類似地, 若人)盡 0 (乞= 1 , 2 , , 。 ),則 n A ) n 盡 , 稱為比較法判斷法 . 只要落二 1玄= 1運用得,尋.妙這種貌似平常的方法實非 常例 l (02 20 年全國 高考 試勘 已 知數(shù)列a 。 ,a n +,=a 吳一na 。+1 ,n=z ,2 , 3 ,當(dāng) al)3 時,證明: 對一切 n ) 1 都有 I)( a 。 李。, ,、111 .一1 ._ _.( 一 )一下異+ 一。喜n + 2;皿;二一 +一 +乞一21+a i1 +a Z1+a義分析:l( )略 .欲證 (助式, 因左右兩邊

3、結(jié)構(gòu)不同項數(shù)也不相等不宜直接作比較為使用,”.工q.11比較判斷法,把 +=丁+百+11_之1二二 , 二 .+形式.東萬二的1 +a 、2乞+ 工芯甲一昌曰土上.一9,則原命題成立 由比較判斷法故比較1 +a 1“1 , 2一 ) 的大小與乏=n砰了,證明:(l ) 由a 。 + ; = a 足一 n a 。 + 1 = a 。 (a 。 一。 ) + 1 ) a n (n + 2 一 n ) + 1 = Za 。 + 1 , 知 1 +a n + 1 )2 (1 + a 。 ),即1一白O11(n= 1, 2 , ),1 +a 。 一卜二1 +a 九1工 . 任上月,1 + a 一 )1

4、了 3 ,a i毛1 +1191一0,自,上上1 +1a Z1.),1 +al;、a 。簇不r (n= 1 ,2 ,卜藝腸十1及1_1土,0白 二 , 一一蕊 ) ;:,-:乞.1 1 十 a 鑫二2名一1例 2 一(2 0 0 4 年全 國高考試題 1 ) 已知數(shù)列 a 。 的前n 項和 凡 滿足凡 =Za 。 + (一 1 )“ ,n )1 .(I ) 寫出數(shù)列 的前 3 項 al ,a Z , a 3 ;(l )求數(shù)列a, _。的通項公式;皿)證明對任意整數(shù)。)4 ,(有1+1+17一8一a4一as二二”_a)”一、,_.牡(、牌、)開3【-()!:I略.an=22 幾一2 +一 l幾一

5、 ,分析n 妻 1_二不宜直接作比較 為使用比較判斷法. _.,7妥把6于與不等式左邊相比較的形式.拆分成易1土一1811110白叭1327因,二二:一1曰.Z一2+(一1 )污4一an“一上一4a1+十+口m可以簡化成一5a十曰口On一9助 .+Om一n一o05洲,、殲萬可可石一。11八11藝一州+(1 )1矛面,間一“疊.萬因“ 一 1浮百 此要比較E二了下.下不二萬 與衛(wèi)1藝石石的大下2 1+2令T、一 l)-一蔥=l可以。一4二乞,則 藝, 、華1”二 5, ,二4而百不)花.疊,;互萬(一 1 )+有時取 +1有時取一 1故把相鄰的兩項佩J,看作一項來考慮 .證明:(l) 當(dāng) i 為

6、奇數(shù)時 有, 花下1挑百不1 萬石萬而3萬尹2+2 乞+322+22乞+蔥+萬 可不廠而萬 1時,yn)!下巧+ 1萬。+1一x。厄。+,、軍。,、 .,、_,、_+、言iy。 +i萬x。1es牡11X n工幾 +iX 。丈;- ,-了一二二二+二二- - -二-,二二衛(wèi)衛(wèi))竺,衛(wèi)三名JU0,.衛(wèi)土進(jìn)衛(wèi)士蘭+戈一 1 )藝+ (一 1 )1.,止絲王即衛(wèi)止止竺x 。 + lx 。夕。一 x nZm 一” +一 1 m 一 2+2一1 爪 一丈)衛(wèi)“(n 任 N)即X 。一y。蕊二,一二二 - - 二一- 一,了-*,11(+)+仍+卜 )X nx 。 + 1 一 夕。 + -十1: 擊劫 +(

7、n,又工藝一乞藝二。 +任“ 一 1= 12二夸/12) (入=ilx 泛+ 1 一 兮+ z病)又1二, 一二、戶、/1一!丈十、一1一八名 仔。幾一入久1i= l l7鑒411上J.一A1入一 1二丁花 萬一自、例 4(2 0 7 年湖北高考試題) 已知二 。 為二_111.一UO乍.從肉 一 +一十+口m一 1 時( 1 +口40 5:m)1 +。x;1111100門, , 、十十一了_L一_。 _/_1、n白Q上_。一_ + .一十十一工1_a二a 。 十 1且萬幾多0,匕知!1】 a4a乒氣 )丁卞少幾+3沂以 原不等式對 任意的整數(shù) (。 )4 ) 都成立求證:, 一 二共 “/1

8、、m, /,”,例 3(試題)已知數(shù)列n+ J/O 時,證生匕 燕叢 (。N):分析(I ) 略()明三(助把不等式兩邊分別分解成。 個數(shù)之積,如+1琉1 一榮 當(dāng)入 1,證明三2三+二衛(wèi)蘭十()n時竺由比較判斷法 知若洲 沁二衛(wèi)(xZ 一甘2x 3 一 萬3劣。一 y 。入則命題必成立.()l(刃擊)工。+ l一夢+ 1入一1一幾爪、/。已n一由知一才1分析:略.欲證式,因左右兩邊結(jié)構(gòu)不v/l瓢縮等數(shù)(了)同, 項數(shù)也不相等,為使較故猜” 一十一1/、11 幾瞿羅上一.用比擊一o一一n判斷法n比列刀飛飛叮、/衛(wèi)-、之和 .即證 1 一鎮(zhèn)上.因入一 11、乃一,故此數(shù)列 視n +3一可 為首項

9、n + 3/“公比“1 1無 遞”比(1 ) 從命題編制的角度看, (1 )和 (1 ) 應(yīng)有內(nèi):In,的窮“在 聯(lián)系 大了利用 (助 把()化成分式的 式貴縮的形,一)+ 2n + 1“3“久1。 。n、lp_(0一 1 時,1 +。 二 蕊 (1 +x )爪 ,由比較 判斷法,故比 較竺衛(wèi).續(xù)1一竺二衛(wèi)一令 x二n+3x 一1 ,x。+ 1。+1一 夕年第期救2 92!擊學(xué)n十 3一m刀1、了、 J /,即有1一I一燕“、一一“(擊)一 一擊n(1一“ 上由已、鬧“01(自.0上, 、/了、.1 m故有卜擊)(,(1)利用 (n )共銳竺 “告“當(dāng))6 時,令,()( )幾“. /占白上、

10、n、戶. lm 依次等于 2“、.了、/一l1,O/ 11Q一,黔)“(一“默丟擊)( )(、把上述各不等式兩邊分別相加有生些廠、 “、幾+3/+ 1幾/31/、 1/ 1 、 2/n五不萬十 十萬不百又習(xí)十戈習(xí)戈少又夕.L上,、.n/、2+ +、了、l一乙n1: .當(dāng) n妻 6 時,+ 2 )n 十+ 31,n(n(n + 1 )幾 (。 + 3 )“ .原方程沒有正整數(shù)解.當(dāng)。 =1 時,3 尹4 , 等式不成立.當(dāng) n = 2 時, 3 2 + 4 2 = 5 2 , 等式成立.當(dāng) n = 3 時, 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 , 等式成立.當(dāng) 牡 = 4 時, 34 +

11、 4 4 + 5 4 + 6 4 為偶數(shù), 而 7 4為奇數(shù),故 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 4 尹7 4 , 等式不成立 .當(dāng) n 二 5 時, 同 n 二 4 時情形類似, 等式不成立 .故滿足原方程的正整數(shù)解為 n=2 , 3 .注 : 運用 比較判斷法首先要從項數(shù)上著眼 ,由此涉及到常數(shù)的分解, 想法是 自然的.例 5(02 10 年全國高考試題) 已知 乞、 。 、 n是 正整數(shù), 且 1 。 簇 n , 求證: 價A 盆 m A 乳.(上接第2一 73 頁)丫 0 續(xù) 夸 6 0, 2 0。 一 5 S O X , 一 8 0。 , , 一 1 0碧, 8 時 0 碧分

12、 一 7 時 3 7 六分 一 3 3 若分,故小陳同學(xué)” 家庭 作業(yè)共做了 3 3 若分評注: 由例 5、 例 6 我們可以發(fā)現(xiàn), 在一小時救學(xué)忍詳5證明:不等式兩邊項數(shù)相等, 可試著用比較判斷法 .記 A 氛 n7 恤氛僻 n l。 (m 一 1 ) (m 一 乞+ 1 )。 【n(、 一 1 ) (n 一 乞+ 1 )1,即要證 (。 。 ) 。 (。一 1 )1 。 (。 一 乞+ 1 )! (。 n ) 。 (n 一 1 ) 【。(n 一 乞+ 1 ).逐項 比較對應(yīng)項 可。 一 勸與。 (n 一 喲, 其中無 =o , 1 , 2 , ,乞一 l ,因為 n (7n一 勸一 7n

13、(n 一 勸= (。 一 n )k 成 0.當(dāng) k = 0 時, 。 (仇 一 0 ) = 。 (n 一 0 );當(dāng) k = 1 , 2 , , 乞一 1 時,n (。 一 k ) n7 (n 一 k ).蔥一 1藝一 l所以 ifn (。 一 k ) fl。 (。 一 k ), 即有k =0無= 0記 A氛 n7 A 補在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)重視樸素、 直觀觀念的教學(xué) . 上述四道高考題, 難度不可謂不小, 但在分解 (使之結(jié)構(gòu)相同)一逐項比較一判斷這樣一個樸素、 直觀觀念的照耀下, 解題思路的獲取卻是自然的、 簡單的. 以 2 0 7 年湖北高考為例說明之 , 雖然該壓軸題以伯努利不等式與勾股定理的拓展為背景, 既將等式與不等式巧妙結(jié)合, 又將數(shù)學(xué)歸納法、 數(shù)列求和法、 放縮法、 構(gòu)造法、 反證法等方法融為一體, 還將特殊與一般的思想、有限與無限的思想、 分類與整合的思想集于一身, 其結(jié)論蘊涵著勾股定理在連續(xù)整數(shù)下的多維推廣, 是一道立意深遠(yuǎn)的好題, 旨在選拔一些數(shù)學(xué) 能力優(yōu)異的考生, 但是如果考生有分解一逐項 比較一判斷這樣一個樸素、 直觀的觀念 , 卻也并不是高不可攀. 這可能在命題