第七章 微分方程

1、.第七章 微分方程教學(xué)目的：1了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4 會用降階法解下列微分方程：， 和5 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。教

2、學(xué)重點：1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法2、 可降階的高階微分方程， 和3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程；4、 自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；教學(xué)難點：1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。4、歐拉方程12. 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映, 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究. 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 在實踐中具有重要意義. 在許

3、多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對它進行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程. 例1 一曲線通過點(1, 2), 且在該曲線上任一點m(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 設(shè)所求曲線的方程為y=y(x). 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)y=y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程) . (1) 此外, 未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件: x=1時, y=2, 簡記為y|x=1=2. (2)精品.把(1)式兩端積分, 得(稱為微分

4、方程的通解) , 即y=x2+c, (3) 其中c是任意常數(shù). 把條件“x=1時, y=2”代入(3)式, 得 2=12+c, 由此定出c=1. 把c=1代入(3)式, 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛; 當(dāng)制動時列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 解 設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米. 根據(jù)題意, 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 . (4)此外, 未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件:

5、t=0時, s=0, . 簡記為s|t=0=0, s|t=0=20. (5) 把(4)式兩端積分一次, 得 ; (6)再積分一次, 得 s=-0.2t2 +c1t +c2, (7)這里c1, c2都是任意常數(shù). 把條件v|t=0=20代入(6)得 20=c1; 把條件s|t=0=0代入(7)得0=c2. 把c1, c2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0, 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間 (s). 再把t=50代入(9), 得到列車在制動階段行駛的路程 s=-0.2502+2050=500(m). 解 設(shè)列

6、車在開始制動后t秒時行駛了s米, s=-0.4, 并且s|t=0=0, s|t=0=20. 把等式s=-0.4兩端積分一次, 得 s=-0.4t+c1, 即v=-0.4t+c1(c1是任意常數(shù)), 精品.再積分一次, 得 s=-0.2t2 +c1t +c2 (c1, c2都c1是任意常數(shù)). 由v|t=0=20得20=c1, 于是v=-0.4t +20; 由s|t=0=0得0=c2, 于是s=-0.2t2+20t. 令v=0, 得t=50(s). 于是列車在制動階段行駛的路程 s=-0.2502+2050=500(m). 幾個概念: 微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的

7、方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的階: 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. x3 y+x2 y-4xy=3x2 , y(4) -4y+10y-12y+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階微分方程: f(x, y, y, , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y, , y(n-1) ) . 微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)

8、間i上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果在區(qū)間i上, fx, j(x), j(x), , j(n) (x)=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程f(x, y, y, , y(n) )=0在區(qū)間i上的解. 通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如 x=x0 時, y=y0 , y= y0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y=f(

9、x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為 . 積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線. 例3 驗證: 函數(shù) x=c1cos kt+c2 sin kt精品.是微分方程 的解. 解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù): , . 將及x的表達式代入所給方程, 得 -k2(c1cos kt+c2sin kt)+ k2(c1cos kt+c2sin kt)0. 這表明函數(shù)x=c1coskt+c2sinkt 滿足方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解. 例4 已知函數(shù)x=c1coskt+c2sinkt(k0)是微分方程的通解, 求滿足初始條件 x| t=0 =a, x| t=0 =0的特解. 解 由

10、條件x| t=0 =a及x=c1 cos kt+c2 sin kt, 得 c1=a. 再由條件x| t=0 =0, 及x(t) =-kc1sin kt+kc2cos kt, 得 c2=0. 把c1、c2的值代入x=c1cos kt+c2sin kt中, 得 x=acos kt. 12. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得y=x2+c. 一般地, 方程y=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y=2xy2 的通解. 因為y是未知的, 所以積分無法進行, 方程兩邊直接積分不能求出通解. 為求通解可將方程變?yōu)?

11、 兩邊積分, 得精品. , 或, 可以驗證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx形式, 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 g(y)=f(x)+c, 由方程g(y)=f(x)+c所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對稱形式的一階微分方程: 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式: p(x, y)dx+q(x, y)dy=0在這種方程中, 變量x與y 是對稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當(dāng)q(x,y)0時, 有 . 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當(dāng)p(x,y)0時, 有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個一階微

12、分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎=j(x)y(y)的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1) y=2xy, 是. y-1dy=2xdx .(2)3x2+5x-y=0, 是. dy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是.(4)y=1+x+y2+xy2, 是. y=(1+x)(1+y2).(5)y=10x+y, 是. 10-ydy=10xdx.(6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量,

13、 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設(shè)積分后得g(y)=f(x)+c; 第三步 求出由g(y)=f(x)+c所確定的隱函數(shù)y=f(x)或x=y(y)g(y)=f(x)+c , y=f (x)或x=y(y)都是方程的通解, 其中g(shù)(y)=f(x)+c稱為隱式(通)解. 精品. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+c1, 從而 . 因為仍是任意常數(shù), 把它記作c, 便得所給方程的通解 . 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+lnc,從而

14、. 例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量m成正比. 已知t=0時鈾的含量為m0, 求在衰變過程中鈾含量m(t)隨時間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是m(t)對時間t的導(dǎo)數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程 , 其中l(wèi)(l0)是常數(shù), l前的曲面號表示當(dāng)t增加時m單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為 m|t=0=m0. 將方程分離變量得 . 兩邊積分, 得, 即 lnm=-lt+lnc, 也即m=ce-lt. 由初始條件, 得m0=ce0=c, 精品.所以鈾含量m(t)隨時間t變化的規(guī)律m=m0e-lt . 例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比,

15、并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t). 降落傘所受外力為f=mg-kv( k為比例系數(shù)). 根據(jù)牛頓第二運動定律f=ma, 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 , 初始條件為 v|t=0=0. 方程分離變量, 得 , 兩邊積分, 得, , 即 (), 將初始條件v|t=0=0代入通解得, 于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化為 , 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即. 于是原方程的通解為. 例4 有高為1m的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面面積為1cm2. 開始時容器內(nèi)盛滿了水,

16、 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律. 解 由水力學(xué)知道, 水從孔口流出的流量q可用下列公式計算: , 精品.其中0. 62為流量系數(shù), s為孔口橫截面面積, g為重力加速度. 現(xiàn)在孔口橫截面面積s=1cm2, 故 , 或. 另一方面, 設(shè)在微小時間間隔t, t+dt內(nèi), 水面高度由h降至h+dh(dh0), 則又可得到 dv=-pr2dh, 其中r是時刻t的水面半徑, 右端置負號是由于dh0的緣故. 又因 , 所以 dv=-p(200h-h2)dh. 通過比較得到 , 這就是未知函數(shù)h=h(t)應(yīng)滿足的微分方程. 此外, 開始時容器內(nèi)的水是滿的, 所以未知函數(shù)h=h(t)

17、還應(yīng)滿足下列初始條件: h|t=0=100. 將方程分離變量后得 . 兩端積分, 得 , 即 , 其中c是任意常數(shù). 由初始條件得 , . 因此 . 上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系. 12. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成精品.的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程. (2)不是齊次方程. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程. (5)是齊次方程. 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y

18、=ux, 有 , 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 解 原方程可寫成 , 因此原方程是齊次方程. 令, 則精品. y=ux, , 于是原方程變?yōu)?, 即 . 分離變量, 得 . 兩邊積分, 得u-ln|u|+c=ln|x|, 或?qū)懗蒷n|xu|=u+c. 以代上式中的u, 便得所給方程的通解 . 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點o發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設(shè)此凹鏡是由xoy面上曲線l: y=y(x)(y0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點. 在l上任取一點m(x

19、, y), 作l的切線交x軸于a. 點o發(fā)出的光線經(jīng)點m反射后是一條平行于x軸射線. 由光學(xué)及幾何原理可以證明oa=om, 因為 , 而 . 于是得微分方程,整理得. 這是齊次方程. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 精品.兩邊積分, 得 , , , 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 .這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設(shè)河邊點o的正對岸為點a, 河寬oa=h, 兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從點a游向點o, 設(shè)鴨子的游速為b(ba), 且鴨子游動方向始終朝著點 o. 求鴨子

20、游過的跡線的方程. 例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從岸邊點a游向正對岸點o, 設(shè)鴨子的游速為b(ba), 且鴨子游動方向始終朝著點o, 已知oa=h, 求鴨子游過的跡線的方程. 解 取o為坐標原點, 河岸朝順水方向為x軸, y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時刻t鴨子位于點p(x, y), 則鴨子運動速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過的軌跡方程為精品. , 0yh. 將代入后的整理過程: . 12.4

21、線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果q(x)0 , 則方程稱為齊次線性方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方程叫做對應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y=0y=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得 , 兩邊積分, 得 , 或 , 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 精品. 例

22、1 求方程的通解. 解 這是齊次線性方程, 分離變量得 , 兩邊積分得 ln|y|=ln|x-2|+lnc, 方程的通解為 y=c(x-2). 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設(shè)想成非齊次線性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化簡得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和. 例2 求方程的通解. 解 這是一個非齊次線性方程. 先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解. 分離變量得 , 兩邊積分得 ln y=2ln (x+1)+ln c, 齊次線性方程的通解為 y=

23、c(x+1)2. 用常數(shù)變易法. 把c換成u, 即令y=u(x+1)2, 代入所給非齊次線性方程, 得 精品. , 兩邊積分, 得 . 再把上式代入y=u(x+1)2中, 即得所求方程的通解為 . 解: 這里, .因為 , , ,所以通解為 . 例3 有一個電路如圖所示, 其中電源電動勢為e=emsinwt(em、w都是常數(shù)), 電阻r和電感l(wèi)都是常量. 求電流i(t). 解 由電學(xué)知道, 當(dāng)電流變化時, l上有感應(yīng)電動勢. 由回路電壓定律得出 , 即 . 把e=emsinw t代入上式, 得 . 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中 , . 由通解公式, 得 精品. .

24、 其中c為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n0, 1)叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), , 是伯努利方程. (3), , 是伯努利方程. (4), 是線性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以yn除方程的兩邊, 得 令z =y1-n , 得線性方程 . 例4 求方程的通解. 解 以y2除方程的兩端, 得 , 即 , 令z=y-1, 則上述方程成為 . 這是一個線性方程, 它的通解為精品. . 以y-1代z , 得所求方程的通解為 . 經(jīng)過變量代換,

25、 某些方程可以化為變量可分離的方程, 或化為已知其求解方法的方程. 例5 解方程. 解 若把所給方程變形為 , 即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里用變量代換來解所給方程. 令x+y=u, 則原方程化為 , 即. 分離變量, 得 , 兩端積分得 u-ln|u+1|=x-ln|c|. 以u=x+y代入上式, 得 y-ln|x+y+1|=-ln|c|, 或x=cey-y-1. 12. 5 全微分方程 全微分方程: 一個一階微分方程寫成 p(x, y)dx+q(x, y)dy=0 形式后, 如果它的左端恰好是某一個函數(shù)u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=p(x,

26、 y)dx+q(x, y)dy, 那么方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0就叫做全微分方程. 這里 , , 而方程可寫為 du(x, y)=0. 全微分方程的判定: 若p(x, y)、q(x, y)在單連通域g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且 , 則方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0是全微分方程, 全微分方程的通解: 精品. 若方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0是全微分方程, 且 du(x, y)=p(x, y)dx+q(x, y)dy則 u(x, y)=c, 即 . 是方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0的通解 例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+

27、(3x2y-3xy2+y2 )dy=0. 解 這里 , 所以這是全微分方程. 取(x0, y0)=(0, 0), 有 . 于是, 方程的通解為 . 積分因子: 若方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0不是全微分方程, 但存在一函數(shù) m=m(x, y) (m(x, y)0), 使方程 m(x, y)p(x, y)dx+m(x, y)q(x, y)dy=0是全微分方程, 則函數(shù)m(x, y)叫做方程p(x, y)dx+q(x, y)dy=0的積分因子. 例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0; (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0. 解 (1)方程

28、ydx-xdy=0不是全微分方程. 因為 , 所以是方程ydx-xdy=0的積分因子, 于是是全微分方程, 所給方程的通解為. (2)方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0不是全微分方程. 將方程的各項重新合并, 得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0, 再把它改寫成 , 精品.這時容易看出為積分因子, 乘以該積分因子后, 方程就變?yōu)?, 積分得通解 , 即. 我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y+p(x)y=q(x). 可以驗證是一階線性方程y+p(x)y=q(x)的一個積分因子. 在一階線性方程的兩邊乘以得 , 即 , 亦即 . 兩邊積分, 便得通解 , 或 .

29、例3用積分因子求的通解. 解 方程的積分因子為 . 方程兩邊乘以得 , 即, 于是 . 因此原方程的通解為. 12. 6 可降階的高階微分方程 一、y(n)=f (x)型的微分方程 解法: 積分n 次 , , . 例1 求微分方程y=e2x-cos x 的通解. 精品. 解 對所給方程接連積分三次, 得 , , , 這就是所給方程的通解. 或 , , , 這就是所給方程的通解. 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力f的作用沿ox軸作直線運動. 設(shè)力f僅是時間t的函數(shù):f=f(t). 在開始時刻t=0時f(0)=f0, 隨著時間t的增大, 此力f均勻地減小, 直到t=t時, f(t)=0. 如果開始時質(zhì)點位

30、于原點, 且初速度為零, 求這質(zhì)點的運動規(guī)律. 解 設(shè)x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為 . 由題設(shè), 力f(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時, f(0)=f0, 所以f(t)=f0-kt; 又當(dāng)t=t時, f(t)=0, 從而 . 于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 , 其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得 . 再積分一次, 得 . 由初始條件x|t=0=0, , 得c1=c2=0. 于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 , 0tt. 解 設(shè)x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為 mx=f(t). 由題設(shè),

31、f(t)是線性函數(shù), 且過點(0, f0)和(t, 0), 精品.故 , 即.于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 . 其初始條件為x|t=0=0, x|t=0=0. 把微分方程兩邊積分, 得 ,再積分一次, 得 , 由初始條件x|t=0=0, x|t=0=0, 得c1=c2=0. 于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 , 0tt. 二、y= f(x, y)型的微分方程 解法: 設(shè)y=p則方程化為 p=f(x, p). 設(shè)p=f(x, p)的通解為p=j(x,c1), 則 . 原方程的通解為 . 例3 求微分方程 (1+x2)y=2xy滿足初始條件 y|x=0=1, y|x=0=3的特解. 解 所給方程是y=f(

32、x, y)型的. 設(shè)y=p, 代入方程并分離變量后, 有 . 兩邊積分, 得 ln|p|=ln(1+x2)+c, 即 p=y=c1(1+x2) (c1=ec). 由條件y|x=0=3, 得c1=3, 所以 y=3(1+x2). 兩邊再積分, 得 y=x3+3x+c2. 又由條件y|x=0=1, 得c2=1, 于是所求的特解為 y=x3+3x+1. 例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索, 兩端固定, 繩索僅受重力的作用而下垂. 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線?精品. 三、y=f(y, y)型的微分方程 解法: 設(shè)y=p,有 . 原方程化為 . 設(shè)方程的通解為y=p=j(y, c1), 則原方程的通解

33、為 . 例5 求微分yy-y2=0的通解. 解 設(shè)y=p, 則, 代入方程, 得 . 在y0、p0時, 約去p并分離變量, 得 . 兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc, 即 p=cy或y=cy(c=c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為 ln|y|=cx+lnc1, 或 y=c1ecx (c1=c1). 例5 求微分yy-y2=0的通解. 解 設(shè)y=p, 則原方程化為 , 當(dāng)y0、p0時, 有 , 于是 , 即 y-c1y=0, 從而原方程的通解為 . 例6 一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落到地面時的速度和所需的時間（不計空氣阻力）. 12

34、. 7 高階線性微分方程精品. 一、二階線性微分方程舉例 例1 設(shè)有一個彈簧, 上端固定, 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標原點. 給物體一個初始速度v00后, 物體在平衡位置附近作上下振動. 在振動過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t). 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復(fù)力f=-cx. 又設(shè)物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則 , 由牛頓第二定律得 . 移項, 并記, , 則上式化為 , 這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動的微分方程. 如果振動物體還受到鉛直擾力 f=hsin pt的作用, 則有 , 其中.

35、這就是強迫振動的微分方程. 例2 設(shè)有一個由電阻r、自感l(wèi)、電容c和電源e串聯(lián)組成的電路, 其中r、l、及c為常數(shù), 電源電動勢是時間t的函數(shù): e=emsinwt, 這里em及w也是常數(shù). 設(shè)電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動勢為el . 由電學(xué)知道 , , , 根據(jù)回路電壓定律, 得 , 即 , 或?qū)懗?, 精品.其中, . 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(e=0), 則上述成為 . 二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為 y+p(x)y+q(x)y=f(x), 若方程右端f(x)0時, 方程稱為齊

36、次的, 否則稱為非齊次的. 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 y+p(x)y+q(x)y=0, 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y+p(x)y+q(x)y=0. 的兩個解, 那么 y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程的解, 其中c1、c2是任意常數(shù). 齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理. 證明 c1y1+c2y2=c1 y1+c2 y2, c1y1+c2y2=c1 y1+c2 y2. 因為y1與y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0, 所以有 y1+p(x)y1+q(x)y1=0及y2+p(x)y2+q(x)y2=0, 從而 c1y1+c

37、2y2+p(x) c1y1+c2y2+q(x) c1y1+c2y2 =c1y1+p(x)y1+q(x)y1+c2y2+p(x)y2+q(x)y2=0+0=0. 這就證明了y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān): 設(shè)y1(x), y2(x), , yn(x)為定義在區(qū)間i上的n個函數(shù). 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1, k2, , kn, 使得當(dāng)xi 時有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)0成立, 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間i上線性相關(guān); 否則稱為線性無關(guān). 判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法: 對于兩個函數(shù), 它們

38、線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān). 例如, 1, cos2x , sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 精品.的兩個線性無關(guān)的解, 那么 y=c1y1(x)+c2y2(x) (c1、c2是任意常數(shù))是方程的通解. 例3 驗證y1=cos x與y2=sin x是方程y+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為 y1+y1=-cos x+cos x=0, y2+y2=-sin x+sin

39、 x=0, 所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2, 要使 k1cos x+k2sin x0, 只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(-, +)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=c1cos x+c2sin x. 例4 驗證y1=x與y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為 (x-1)y1-xy1+y1=0-x+x=0, (x-1)y2-xy2+y2=(x-1)ex-xex+ex=0, 所以y1=x與y2=ex都是方程的解,

40、因為比值e x/x 不恒為常數(shù), 所以y1=x與y2=ex在(-, +)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=x 與y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=c1x+c2e x. 推論 如果y1(x), y2(x), , yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n-1)+ +an-1(x)y+ an(x)y=0 的n個線性無關(guān)的解, 那么, 此方程的通解為 y=c1y1(x)+c2y2(x)+ + cnyn(x), 其中c1, c2, , cn為任意常數(shù). 二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): 我們把方程 y+p(x)y+q(x)y=0叫做與非齊次方程 y+p(x)y+q(x)

41、y=f(x)對應(yīng)的齊次方程. 定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一個特解, y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么精品. y=y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解. 證明提示: y(x)+y*(x)+p(x) y(x)+y*(x)+q(x) y(x)+y*(x) = y +p(x)y +q(x)y + y* +p(x)y* +q(x)y* =0+ f(x)= f(x). 例如, y=c1cos x+c2sin x 是齊次方程y+y=0的通解, y*=x2-2是y+y=x2的一個特解, 因此 y=c1cos x+c2sin x+x2-2

42、是方程y+y=x2的通解. 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和, 如 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+ f2(x), 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)與y+p(x)y+q(x)y=f2(x)的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解. 證明提示: y1+y2*+p(x) y1*+y2*+q(x) y1*+y2* = y1*+p(x) y1*+q(x) y1*+ y2*+p(x) y2*+q(x) y2* =f1(x)+f2(x). 12. 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

43、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y+py+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解, 那么y=c1y1+c2y2就是它的通解. 我們看看, 能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程 y+py+qy=0得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、r2可用公式 求出. 精品. 特征方

44、程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時, 函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因為, 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (2)特征方程有兩個相等的實根r1=r2時, 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因為, 是方程的解, 又 , 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=aib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-