變力做功的計算

1、.變力做功的計算公式適用于恒力功的計算，對于變力做功的計算，一般有以下幾種方法。一、微元法對于變力做功，不能直接用進(jìn)行計算，但是我們可以把運動過程分成很多小段，每一小段內(nèi)可認(rèn)為f是恒力，用求出每一小段內(nèi)力f所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方法具有普遍的適用性。但在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運動方向相同或相反的變力的做功問題。例1. 用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為r的水平圓軌道運動一周，如圖1所示，已知物塊的質(zhì)量為m，物塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為。求此過程中摩擦力所做的功。圖1思路點撥：由題可知，物塊受的摩擦力在整個運動過程中大小不變

2、，方向時刻變化，是變力，不能直接用求解；但是我們可以把圓周分成無數(shù)小微元段，如圖2所示，每一小段可近似成直線，從而摩擦力在每一小段上的方向可認(rèn)為不變，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起來，便可求得結(jié)果。圖2精品.正確解答：把圓軌道分成無窮多個微元段，摩擦力在每一段上可認(rèn)為是恒力，則每一段上摩擦力做的功分別為，摩擦力在一周內(nèi)所做的功。誤點警示：對于此題，若不加分析死套功的公式，誤認(rèn)為位移s0，得到w0，這是錯誤的。必須注意本題中的f是變力。小結(jié)點評：對于變力做功，一般不能用功的公式直接進(jìn)行計算，但有時可以根據(jù)變力的特點變通使用功的公式。如力的大小不變而方向總與運動方向相同或相反時，可用計算

3、該力的功，但式子中的s不是物體運動的位移，而是物體運動的路程。發(fā)散演習(xí)如圖3所示，某個力f10n作用于半徑r1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向任何時刻與作用點處的切線方向保持一致。則轉(zhuǎn)動半圓，這個力f做功多少？圖3答案：31.4j。二、圖象法在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力f，橫坐標(biāo)表示物體在力的方向上的位移s。如果作用在物體上的力是恒力，則其fs圖象如圖4所示。經(jīng)過一段時間物體發(fā)生的位移為s0，則圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于力對物體做的功wfs，s軸上方的面積表示力對物體做正功（如圖4（a）所示），s軸下方的面積表示力對物體做負(fù)功（如圖4（b）所示

4、）。精品.圖4如果fs圖象是一條曲線（如圖5所示），表示力的大小隨位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個小矩形面積分別表示相應(yīng)恒力做的功。當(dāng)階梯折線越分越密時，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積，可見曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。由于fs圖象可以計算功，因此fs圖象又稱為示功圖。圖5例2. 子彈以速度射入墻壁，入射深度為h。若子彈在墻中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h，求子彈的速度應(yīng)增大到多少？思路點撥：阻力隨深度的變化圖象如圖6所示，由圖象求出子彈克服阻力做的功，再由動能進(jìn)行求解。圖6正確解答：解法一：設(shè)射入深度為h時，子彈克服阻力做

5、功w1；射入深度為2h時，子彈克服阻力做功w2。由圖6可知精品.根據(jù)動能定理，子彈減少的動能用于克服阻力做功，有聯(lián)立求解得。解法二：設(shè)阻力與深度間的比例系數(shù)為k，ffks。由于ff隨位移是線性變化的，所以ff的平均值為。根據(jù)動能定理，有聯(lián)立求解得。小結(jié)點評：若力隨位移按一次方函數(shù)關(guān)系變化時，求功時可用平均作用力來代替這個變力，用恒力功的公式求功，也可用fs圖象求功；若力隨位移的變化不是一次函數(shù)關(guān)系，則可用圖象求功，而不能用平均值求功。發(fā)散練習(xí)1. 如圖7所示，有一勁度系數(shù)k500n/m的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質(zhì)量m2kg的物塊，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)，彈簧處于自然狀態(tài)?，F(xiàn)緩慢

6、推動物塊使彈簧從b到a處壓縮10cm，然后由靜止釋放物塊，求（1）彈簧恢復(fù)原長時，物塊的動能為多大？（2）在彈簧恢復(fù)原長的過程中，物塊的最大動能為多大？精品.圖7答案：（1）1.7j；（2）1.764j。提示：（1）從a到b的過程，對物體應(yīng)用動能定理得，其中。w彈可利用示功圖求出，畫出彈簧彈力隨位移變化的圖象（如圖8所示）f1kx1，彈力做功的值等于oab的面積，即，所以。圖8（2）放開物體后，物體做的是加速度越來越小的加速運動，當(dāng)彈簧的彈力等于摩擦力時，物體有最大的動能。設(shè)此時彈簧的壓縮量為。由得。物體的位移。在這一過程中彈力的功在數(shù)值上等于圖8中梯形oadc的面積，即精品.，所以物塊的最大

7、動能為。2. 用質(zhì)量為5kg的均勻鐵索從10m深的井中吊起一質(zhì)量為20kg的物體，在這個過程中至少要做多少功？（g取10m/s2）答案：2250j提示：作用在物體和鐵索上的力至少應(yīng)等于物體和鐵索的重力，但在拉起鐵索的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也逐漸減小，即拉力是一個隨距離變化的變力。從物體在井底開始算起，拉力隨深度h的變化關(guān)系是（0h10），作出fh圖線如圖9所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖中梯形面積表示），得出。圖93. 一輛汽車質(zhì)量為1105kg，從靜止開始運動，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離是線性關(guān)系，且，是車所受阻力，當(dāng)該車前進(jìn)100m時，牽引力做了

8、多少功？答案：1107j。精品.提示：阻力。則牽引力為。作出fs圖象如圖10所示，圖中梯形oabd的面積表示牽引力的功，所以。圖10三、利用wpt求變力做功這是一種等效代換的觀點，用wpt計算功時，必須滿足變力的功率是一定的。例3. 汽車的質(zhì)量為m，輸出功率恒為p，沿平直公路前進(jìn)距離s的過程中，其速度由v1增至最大速度。假定汽車在運動過程中所受阻力恒定，則汽車通過距離s所用的時間為_。思路點撥：汽車以恒定的功率p加速時，由pfv可知，牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)fff時，加速度減小到零，速度達(dá)到最大，然后以最大的速度做勻速直線運動。正確解答：當(dāng)fff時，汽車的速度達(dá)到最大

9、v2，由可得對汽車，根據(jù)動能定理，有兩式聯(lián)立得精品.。誤點警示：有同學(xué)可能這樣解：平均速度，時間。這樣解是錯誤的，因為汽車的運動不是勻加速運動，不能用求平均速度。小結(jié)點評：汽車以恒定的功率起動時，牽引力是變力，牽引力的功不能用wfs計算，但可以用wpt計算；若用求牽引力的功也是錯誤的，因為牽引力隨位移的變化不是線性關(guān)系，不能用求平均牽引力。發(fā)散演習(xí)質(zhì)量為m的汽車在平直的公路上從速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t后，前進(jìn)了距離s，此時恰好達(dá)到其最大速度，設(shè)此過程中汽車發(fā)動機(jī)始終以額定功率p工作，汽車所受的阻力為恒力ff，則這段時間里，發(fā)動機(jī)所做的功為（ ）a.b.c.d.答案：a、b提示：發(fā)動

10、機(jī)所做的功即為發(fā)動機(jī)牽引力做的功，由功率定義可知wpt，選項b正確。汽車以恒定功率起動，當(dāng)fff時，達(dá)到最大速度，應(yīng)有，所以t，選項a正確。選項c、d均將汽車的運動看作勻變速運動，其中選項c是先求出a，再求出合外力ma的功，選項d是先算出平均速度，然后用精品.表示發(fā)動機(jī)做的功，顯然都是錯誤的，因為機(jī)車的運動是變加速運動而不是勻變速運動。四、利用功能關(guān)系求變力功求變力所做的功，往往根據(jù)動能定理、機(jī)械能守恒定律和功能關(guān)系等規(guī)律，用能量的變化量等效代換變力所做的功。這種方法的優(yōu)點是不考慮變力做功過程中力的大小及方向的細(xì)節(jié)，只考慮變力做功的效果能量變化，解題過程簡捷，是求變力功的首選方法。例4. 如圖

11、11所示，質(zhì)量m2kg的小球系在輕細(xì)橡皮條一端，另一端固定在懸點o處。將橡皮條拉直至水平位置oa處（橡皮條無形變）然后將小球由a處靜止釋放，小球到達(dá)o點正下方h0.5m處的b點時的速度為v2m/s。求小球從a運動到b的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取g10m/s2。圖11思路點撥：取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，在小球從a運動到b的過程中，只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力做功，機(jī)械能守恒。正確解答：取過b點的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時的彈性勢能為零。設(shè)在b時橡皮條的彈性勢能為ep2，由機(jī)械能守恒定律得則橡皮條的彈性勢能增加6j，則小球的機(jī)械能必減少6j，故橡皮條的彈力對小球

12、做功6j。精品.小結(jié)點評：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類彈力做功可用機(jī)械能守恒定律結(jié)合彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系。發(fā)散演習(xí)1. 將一質(zhì)量為m的物體以初速度v0豎直向上拋出，落回拋出點時的速度為v，已知空氣阻力與速率成正比，則從拋出到落回拋出點的整個過程中，空氣阻力做的功為_。答案：。提示：對整個過程應(yīng)用動能定理。2. 如圖12所示，物體沿曲面從a點無初速度滑下，滑至曲面的最低點b時，下滑的高度為5m，速度為6m/s。若物體的質(zhì)量為1kg。則下滑過程中物體克服阻力所做的功為多少？圖12答案：根據(jù)動能定理可得。五、利用動能定理求變力功6質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為r的圓

13、周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用。設(shè)某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（ ）精品.amgr bmgr cmgr dmgr5某消防隊員從一平臺跳下，下落2m后雙腳觸地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使自身重心又下降了0.5m。在著地過程中，地面對他雙腿的平均作用力是他自身重力的（ ）a2倍； b5倍； c8倍； d10倍4如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值f時，轉(zhuǎn)動半徑為r，當(dāng)拉力逐漸減小到時，物體以另一線速度仍做勻速圓周運動，半徑為2r，則物體克服外力所做的功是( )a0bcd2如圖所示，ab為1/4圓弧軌道，bc為水平直軌道，圓弧的半徑為r，bc的長度也是r，一質(zhì)量為m的物體，與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為，當(dāng)它由軌