課件--概率論與數理統(tǒng)計概率第二章概率2-5

1、概率論第五節(jié)隨量的函數的分布問題的提出離散型隨連續(xù)型隨量的函數的分布量的函數的分布小結布置作業(yè)概率論一、問題的提出在實際中，人們常常對隨更感興趣.量的函數比如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，pd 2求截面面積 A=的分布.4概率論在比如 ，已知 t=t0時刻噪聲電壓 V 的分布，t0t0求功率 W=V2/R的分布等.( R 為電阻）概率論量 X 的分布已知，Y=g (X) (設設隨g 是連續(xù)函數），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.下面進行討論.概率論二、離散型隨量函數的分布 15 20.5 例1設X0.20.3求 Y= 2X + 3 的概率函數.

2、解：當 X 取值 1，2，5 時，Y 取對應值 5，7，13，Y 513 70.5故0.20.3概率論一般地，若X是離散型 r.v ，X 的分布律為 x1x2 L xn X ppL p1n 2g( x1 )g( x2 ) L g( xn )則 Y=g(X)ppLp12n如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.概率論- 11 00.6X 如：0.30.1則 Y=X2 的分布律為： 01Y0.60.4概率論三、連續(xù)型隨量函數的分布0 x 4( x) = x / 8,例2f設 X X0,其它求 Y=2X+8 的概率密度.設Y的分布函數為 FY(y)，FY(y)=P Yy = P

3、 (2X+8 y )解 y - 82y - 8)=P X 于是Y 的密度函數 = FX(2( y - 8) 1( y) = dFY ( y)=ffYXdy22概率4論0 x其它x / 8,fX ( x) = 0,( y - 8) 1( y) = dFY ( y)=ff Y=2X+8YX f (y-8)0dy22X 2f ( )=X 2 16y-8 y-8fX ( x) 00 x 4注意到時，( y - 8) 0f即 8 y 16 時，X2y - 8(y - 8 )=f此時X2168 y 0 時,F ( y) = P(Y y)= P( X 2 y)Y= P(-= FX (y X y ) - FX

4、 (-y)y )FY ( y) = P (Y y)概率論求導可得 1fy ),y ) +f(-y 0y 0= 2(dF( y)f( y) =XX Ydy0,yYx21-fX ( x) =2pe, - x 0y 02 ,2pY0,概率論從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關鍵的一步是設法從 g(X) y 中解出X,g(X) y 等價的X 的不等式 .從而得到與y - 8代替 X2X+8 y 例如，用 2 用 -y X y代替 X2 y 這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應的概率. 這是求r.v的函數的分布的一種常用方法. 概率論例4量X的概率密度為設隨2x0 x p其它求

5、Y = sinX 的概率密度.=p2f (x)00 x p0 y 1解當注意到,時當 y0 時,當 y1時,FY ( y) = 0,FY ( y) = 1故( y) = P (Y y)FY-1 Y 1概率論例4量 X 的概率密度為設隨2x0 x p其它=p2f (x)00 X 或 X 求 Y = sinX 的概率密度.22解 當 0 y 1 時,FY ( y) = P(Y y)= P(sin X y)=P(0 X arcsiny) +P(p- arcsiny X ）概率論2x dx2x dxparcsin y+=p 2p2p -arcsin y0y )2+ 1 - (p - arcsin= (

6、 arcsiny )2pp( y) = dFY ( y)f而Ydy求導得:20 y 1,fY ( y) = p1 - y20,其它概率論例5 已知隨量X的分布函數F(x)是嚴格單調的連續(xù)函數,證明Y=F(X)服從0,1上的均勻分布.證明設 Y 的分布函數是 G(y) ,G ( y) = P (Y y )0 y 1對 y 1 , G (y) = 1;又由于X的分布函數F是嚴格遞增的連續(xù)函數,函數 F-1 存在且嚴格遞增.其反0 Y 1概率論對0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X) y)F(y-)1)=F( F -(1y)= y=P(X 即Y的分布函數是y 1 0,G( y)= y, 1,求

7、導得Y的密度函數0 y 1其它1,g(y)=0,可見, Y 在0,1上服從的均勻分布.概率論下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出量函數的概率密度 .隨概率論定理設 X是一個取值于區(qū)間a,b，具有概率密度f(x)的連續(xù)型 r.v,又設y=g(x)處處可導，且對于任意恒有 g( x) 0或恒有 g( x) 0 ，則Y=g(X)是一x,個連續(xù)型r.v，它的概率密度為dh( y)f h( y),a y b其它f( y) = dy此定理的證明與前面的解題思路類似Y0,其中， a = ming( x),b = max g( x),a xba xbx=h (y) 是 y=g (x) 的反函數 .

8、概率論2 )服從正態(tài)分布，證明量X N (m ,s例7 設隨Y = aX + b 也服從正態(tài)分布.量 X 的概率密度為解隨- ( x- m )21f( x) =- x 2s 2e,Xs2py - by = g( x) = ax + b解得x = h( y) =ah( y) = 1所以Y = aX + b的概率密度為a( y - b ),1f( y) =- y +fyXaa概率論即( y -b - m )2- a11( y) =2s 2feys12pa y -(b+ am )2-2(as )2=- y +ea s2p所以Y = aX + b N (am + b,(as )2 )概率論四、小結量函

9、數的分布.這一節(jié)我們介紹了隨量，在求 Y= g (X) 的分布 g(X) y 轉化為X在一對于連續(xù)型隨時，關鍵的一步是把定范圍內取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P g(X) y .概率論練習題量 X 的分布律為：一、 設隨求 Y=X 2 的分布律二、設 XN（0，1）（1） 求 Y=eX 的概率密度（2） 求 Y=2X2+1 的概率密度。（3） 求 Y=| X |的概率密度。X21013P1/51/61/51/1511/30概率論量 X在（0，1）上服從均勻三、設隨分布（1） 求 Y=eX 的分布密度（2） 求 Y=2lnX 的概率密度。概率論量 X 的分布律為：一、 設隨求 Y=X 2 的分布律Y = X 2 的所有可能取值為：Y = 0,1,4,9解PY = 0= P X 2PY = 1= P X 2= 0 = P X = 0 = 1/ 5= 1= P X = 1或X = -17= P X = 1 + P X = -1 =30PY = 4= P X 2= 4 = P X = 2或X = -2= P X = 2 + P X = -2 = 1/ 5X21013P1/51/61/51/1511/30概率論PY = 4= P X 2= 4 = P X = 2或X = -2= P X = 2 + P