高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線(xiàn)創(chuàng)新題

1、談?wù)劷馕鰩缀沃械慕忸}編題組題教師的教學(xué)活動(dòng)，決不單是備課與上課。特別是數(shù)學(xué)教師，整天打交道最多的，就是數(shù)學(xué)題了。本文（或本講座）準(zhǔn)備就解析幾何的知識(shí)內(nèi)容，說(shuō)說(shuō)與解題編題組題相關(guān)的問(wèn)題。解題 1 先看兩個(gè)例子（本文各節(jié)自成例序）例 1一直線(xiàn)與x 軸、y 軸都不平行， 也不過(guò)原點(diǎn)； 點(diǎn) m (x,y) 在上； 點(diǎn) p（ 2，1），q(3x+2y-1,3x-2y+1)在與垂直的直線(xiàn)上。求直線(xiàn)的方程。例 2一張白紙上僅有雙曲線(xiàn)的圖象，試用圓規(guī)與直尺畫(huà)出它的焦點(diǎn)。例 1 是一道與直線(xiàn)相關(guān)的題目，難道直線(xiàn)問(wèn)題還有一般來(lái)說(shuō)做不出來(lái)的題目嗎？例2 給人的感覺(jué)就是一道神秘兮兮、頭緒玄乎的難題。作為高中數(shù)學(xué)教師，

2、具有一定的解題能力，甚至是解決具有相當(dāng)難度數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，應(yīng)該說(shuō)是必須修行與具備的功力。對(duì)于解數(shù)學(xué)題所顯現(xiàn)的能力范疇，主要是指哪些方面呢？ 2 解題能力，不言而喻，主要就是指普通數(shù)學(xué)問(wèn)題不被難倒，甚至具有相當(dāng)難度數(shù)學(xué)問(wèn)題也難不倒的能力。這里指的數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)然主要是指中學(xué)數(shù)學(xué)范疇的基本初等數(shù)學(xué)問(wèn)題。例 2 后面還要說(shuō)到，我們先看例1 的解決。例 1解：設(shè)直線(xiàn)的方程為y=kx+b,k 存在 ,kb 0, 的方程為 y11 (x2).把 q 代入，k即有 (3x2 y 1) 11 ( 3x2y1) 2. 化簡(jiǎn)，得 3(1+k)x+2(1 k)y 3=0. (1)k由于的方程經(jīng)如此整理, 變量 (x,

3、y) 就是中的變量 , 斜率 k 就是中的 k, 故化作了與kx y+b=0 。（ 2） 同樣的方程。比較（1）、（ 2），應(yīng)有3(1 k )2(1 k)3 . ( kb0)k1b由 2k2 2k-3 3k=0, (k 3)(2k+1)=0。解得 k=3 或 k= 1/2 。k=3 時(shí) b= 3/4 ； k= 1/2 時(shí)， b=1.的方程為y 3x3或 y1 x 1.42例 1 同一法的解題構(gòu)思并不是那么容易“想到”的。而一旦“想到”，也就不顯得稀奇。例1 的解決過(guò)程給我們以什么啟示呢？ 1所謂題目的難易，其實(shí)是相對(duì)的。即便是競(jìng)賽題，你熟悉了其中的門(mén)道，其命題的途徑，其解題的構(gòu)思，特別是基本的

4、數(shù)學(xué)思想、方法、技巧，也就自而然之地融會(huì)貫通于其中，亦即不感覺(jué)到怎樣的難。否則，我國(guó)參賽隊(duì)自加入國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽以來(lái)，屢拿第一也就顯得不可理解；另一方面，即便是小學(xué)的數(shù)學(xué)題，也許也有你頗感為難的問(wèn)題與時(shí)候。 2所謂熟悉，是解決不了根本問(wèn)題的。如例1，高中師生對(duì)于直線(xiàn)問(wèn)題，不會(huì)不熟悉。因此，解有份量的題還得有靈感。所謂數(shù)學(xué)靈感，是對(duì)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)題的條件與要求，理解與應(yīng)用相當(dāng)?shù)轿坏囊环N感覺(jué)。 3解所謂難題， 要有一定的知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題、 數(shù)學(xué)思想與方法的積累；即要有相當(dāng)?shù)幕居?xùn)練。所以話(huà)還得說(shuō)回來(lái)，畢竟熟能生巧。見(jiàn)得多了，練得多了，又有相當(dāng)?shù)乃季S機(jī)敏性，解題功力一定漸長(zhǎng)。 3 解題能力除了解一

5、定難題的功力，還指一般解題思路的清晰縝密，解題方法的簡(jiǎn)明得當(dāng)，解題過(guò)程的輕松自如。走了很大的彎路，煩瑣地解出一道題，看來(lái)是成功了，也許卻失敗了。首先在理念上，要十分清醒、十分明確地感悟到，數(shù)學(xué)就是一門(mén)追求簡(jiǎn)明的科學(xué)。在教學(xué)上，要鼓勵(lì)用好方法，講究用巧方法；不主張滿(mǎn)足結(jié)果。應(yīng)追求思考在路子上，思維在點(diǎn)子上，思索在力度上。第 1頁(yè)共 9頁(yè)比如拋物線(xiàn)上任意四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否做到一組對(duì)角相等。如果這樣說(shuō)明：如圖1-1，對(duì)于等腰三角形 oab ，比較弦 ab 上的圓周角，當(dāng) c 離 a 較近時(shí)，顯然 c o；c 在相當(dāng)遠(yuǎn)的地方， c接近于 0。其間必有點(diǎn)使 c=o。但有學(xué)生這樣說(shuō)明：如圖 1-2 ，作

6、任意弦 ac的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 d、 b，則四邊形 abcd為箏形， a=c。顯然更簡(jiǎn)明直觀。既然如此，就宜采用此法。筆者決不是排斥同一問(wèn)題的不同解法，而是說(shuō)應(yīng)追求相對(duì)更好更為切合的方法。 4 解題能力不光是解難題，巧解題，還注意功力體現(xiàn)于速度上。數(shù)學(xué)解題是應(yīng)檢測(cè)敏捷性的。這樣，就更要求理解、應(yīng)用、解決的基本功要扎實(shí)，特別是一步步的驗(yàn)算與推理，保持連貫與正確應(yīng)力求過(guò)硬。在教學(xué)中要訓(xùn)練學(xué)生的認(rèn)真、耐心、完備的心理素質(zhì)，克服看題不細(xì)，做題不精，毛糙，不規(guī)范，不知檢查、反饋、整理等毛病。 5 正因?yàn)榻忸}能力是一種顯現(xiàn)綜合素質(zhì)的能力，所以怕做難題，或只做難題都是偏頗的。不講過(guò)程，忽視規(guī)范與完備更相

7、當(dāng)有害。到了高年級(jí)，更應(yīng)講究對(duì)解題能力的辯證理解。既不為一個(gè)小步驟的失誤耿耿于懷，要看到大的方面；又不能眼高手低，總是不以為然。讀題與做題相結(jié)合。講究質(zhì)量、講究效率正是高年級(jí)特別是畢業(yè)班學(xué)生追求的目標(biāo)； 也是解題能力努力的一種境界。 因此，主次概念、 重輕概念、急緩概念，平中思變、穩(wěn)中求奇，都是高境界以理性指導(dǎo)解題的基本策略。由于年齡、閱歷的特點(diǎn)，即便是高中學(xué)生，對(duì)題目及其解決的理解辨析能力是頗需訓(xùn)練的；相當(dāng)關(guān)鍵的，是上述大小意識(shí)。編題 1 編題的意義、前提和準(zhǔn)則當(dāng)一名稱(chēng)職的數(shù)學(xué)教師，光有即便是出色的解題能力還不怎么樣。必須要有不錯(cuò)的編題能力，才能稱(chēng)之為可以。從解題到編題，不能只看作層次差異，

8、首先取決于你職業(yè)熱愛(ài)與敏感激發(fā)的興趣與動(dòng)力。許多教師只會(huì)解題，但絕對(duì)產(chǎn)生不了編題的激情，原因固然很多,總之對(duì)數(shù)學(xué)（教學(xué)）本職的認(rèn)識(shí)與感悟也就差了一截。你想成功編題，編出好題，首先你必須熟悉與研究課程標(biāo)準(zhǔn)、考綱考點(diǎn)、考題特別是高考題的分布特點(diǎn)、 命題方向與價(jià)值取向。這個(gè)問(wèn)題本身就具有復(fù)雜性。從命題者 （小組） 本人（自身） 到廣大師生，對(duì)上述最基本、 最重要問(wèn)題的理解與看法都不盡相同；另一方面， 光是對(duì)這些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入誤區(qū)，或?qū)е赂泻Ω鼑?yán)重的后果。 “陣而后戰(zhàn)，兵家之常；運(yùn)用之妙，存乎一心” 。根本的問(wèn)題還在于對(duì)知識(shí)的理解與掌握， 對(duì)基本技能顯現(xiàn)的基礎(chǔ)與功力。 一方面，歷年的

9、高考題， 高考的命題方向與取向，其特點(diǎn)甚至規(guī)律不能不研究，特別是強(qiáng)調(diào)能力、創(chuàng)意的今天；另一方面，又不能絕對(duì)化，還是著眼于基礎(chǔ)訓(xùn)練與解題能力的提高。但畢竟說(shuō)明了，你想編題，你必須先大量做題；先充分關(guān)注、了解、研究、整理與數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是典型數(shù)學(xué)題例相關(guān)的問(wèn)題。在充分積淀的基礎(chǔ)上，然后盡情發(fā)揮你的潛質(zhì)，經(jīng)過(guò)歷練與提升，于是，能編出題目，能編出好題目的成功前景會(huì)對(duì)你形成召喚。 2編題的幾個(gè)主要成因你有了編題的內(nèi)在要求，嘗試著去做，體會(huì)、經(jīng)驗(yàn)、愉悅自然會(huì)蘊(yùn)含其中。就本文來(lái)說(shuō)，當(dāng)然也是最實(shí)質(zhì)、最主要的地方。 本人想就此僅對(duì)解析幾何知識(shí)內(nèi)容所自編、 改編的數(shù)學(xué)問(wèn)題述之一二， 拋磚以引玉。 1 “借題”以發(fā)

10、揮如前已述，要想編好題，必先解好題，只是在做題時(shí)，多存著幾分研究、探討的心。我們知道，摩仿往往是創(chuàng)新的前奏。先想想人家這題目是怎樣形成的，要解決什么問(wèn)題。由此有何可深掘之處，因之培養(yǎng)感覺(jué)。舉例如下：例 1 在標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓、雙曲線(xiàn)中，m 是過(guò) x 軸焦點(diǎn)、斜率為 k1的弦的中點(diǎn)， mo 的斜率為 k2, 則成立 e2=1+k 1k2。在拋物線(xiàn)中，有類(lèi)似結(jié)論嗎？有圓錐曲線(xiàn)的同一關(guān)系式嗎？1第 2頁(yè)共 9頁(yè) 是蒲榮 提到的一個(gè)數(shù)學(xué) ，其 并不 解決。筆者否定了 個(gè) 。得到的 果是：拋物 y22 px ( p 0)中,2k12k2 k10 ( e1).k22. 即顯然 k2 k122k12k1然而，

11、 個(gè) 果的關(guān)系式太好， ，一個(gè)數(shù)學(xué) 隨之 生：題 1 已知拋物 y2=2px (p0)的焦點(diǎn)弦 ab 的斜率 a，ab 的中點(diǎn) m ， om 的斜率 k。 把 k 表示 a 的函數(shù)。k2a 2 ,a0 求 k 的取 范 。k 2 ,0)(0,2 1 a22你看，多好的一道 度適中、 味雋永的 ！題 2 b 是已知 x2y 21 的上 點(diǎn)， a （ 0， 1/3）的直 交 于p、 q， 判斷bpq54是 角三角形、直角三角形 是 角三角形且 明之。本 的 是基于以下的 果：結(jié)論 1在 x2y21 (a b 0) 中， 上的 點(diǎn) a 直角 點(diǎn)的內(nèi)接三角形apq中，弦 pqa2b2 定點(diǎn) ma(a2

12、b2 ) ,0；短 上 點(diǎn) b 直角 點(diǎn)的內(nèi)接三角形bpq中，弦 pq 定點(diǎn) m 0,b(a 2b2 ) 。a2b 2a2b2所取符號(hào)由 形很易確定。由 1， a（ 0，-2/9 ） ，bpq恰 直角三角形；a 上移， bpq就是 角三角形了。需要 明的是， 于bpq，只有 b 可能 非 角。另外，在雙曲 中，也有 似 ：結(jié)論 2 在雙曲 x2y 21 (a 0, b 0, a b) 中，a2b 2自 的一個(gè)端點(diǎn)a，作互相垂直的兩直 交雙曲 于p、 q，則 pq所在直 定點(diǎn)a( a 2b 2 ),0。m2b 2a端點(diǎn)與定點(diǎn)相 的符號(hào)相同。2 、 3 種以 曲 點(diǎn) 直角 點(diǎn)的 直角三角形 定點(diǎn)，

13、 于拋物 而言， 果就更 我 所熟知了：結(jié)論 3 拋物 y2=2px (p0) 的 點(diǎn) o 作互相垂直的弦 op、 oq ， 弦 pq 定點(diǎn) m(2p,0) 。當(dāng)然，借 以 必 要有一定的解 意味，從一個(gè) 改 一兩個(gè)數(shù)據(jù)形成另一個(gè) 并無(wú)趣味。但從重要的特點(diǎn)和 出 ，把需要考 的知 串 其中，情況就大不相同。如 2， bpq 的形狀判斷，可由 bp bq 與 0 的比 解決之?；话阕帜?特殊數(shù)據(jù)推算，正符合考 的要求。 2 以“目 ”有 我 確定一個(gè) 的考 方向， 又希望 合相 的知 點(diǎn) 出考 ， 只要 背景 置得當(dāng)，深入而 致的思考 ，由量 累到 ，好 目可以逐步成形完善。比如筆者希望 一道

14、 曲 里的數(shù)列 ， 精竭 ，思之再三， 于 成一 ：題 3如 3，p1 ，p2， p3是拋物 y=x 2 上 x=1,2,3, 上的點(diǎn)，求第 3頁(yè)共 9頁(yè)22222n( 2n21)s op1p1p2p2 p3pn 1pn .3 3 反用以陳題有的陳題具有一定的典型特征，加強(qiáng)認(rèn)知可以鞏固知識(shí)，亦同時(shí)強(qiáng)化解題能力。本著強(qiáng)主枝、去次蔓的解題精神，對(duì)這樣的題改造變衍以形成新題是一種對(duì)路的思索。請(qǐng)看題 4 如圖 4，已知拋物線(xiàn) y 2=2px p0 ) 上任意一點(diǎn) a(x 0 y 0)，(,a 關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為b， b 向右平移2p 個(gè)單位至 m ，又過(guò) a 作拋物線(xiàn)的弦ap、aq 且 ap aq ，試

15、問(wèn) p、m 、q 三點(diǎn)是否在一條直線(xiàn)上？（在一條直線(xiàn)上）其原題是， 前面我們?cè)f(shuō)到結(jié)論3，拋物線(xiàn)上的弦op oq 時(shí)，pq 過(guò)定點(diǎn) m (2p,0) 。其實(shí)直角頂點(diǎn)不一定是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，當(dāng)它任意時(shí)，如為a (x 0,y0) ，則 pq 過(guò)定點(diǎn) m(x 0+2p ， -y0)。此即題 4 的相反結(jié)論。但有意義的是，證明 pq 過(guò)定點(diǎn)m ，不如證明已知m 時(shí)， p、 m 、q 在一條直線(xiàn)上更有做頭。不妨按npmq 證明之，更符合解析幾何結(jié)合向量知識(shí)的解題意蘊(yùn)。只是拋物線(xiàn)設(shè)做參數(shù)形式：x2 pt 2y,更方便于解決。2 pt提到結(jié)論 3，筆者也有題在編：題 5在射線(xiàn) oq 上取長(zhǎng)度為 2p 的線(xiàn)段

16、op，一動(dòng)點(diǎn) m 滿(mǎn)足mop, mpq arctan(1 tan 2 ), 0.24建立適當(dāng)?shù)钠矫孀鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)m 的軌跡方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)名稱(chēng)。延長(zhǎng) mp 到 n，使 on om ，證明點(diǎn) n 也在以（ 1）取消范圍限制后點(diǎn)m 的軌跡上。其中（ 1）的解就是拋物線(xiàn)段y2 =2px。 (y2p)可見(jiàn)陳題反用是一個(gè)很好的擬題途徑。只是反用時(shí)要經(jīng)過(guò)匠心設(shè)計(jì)，周三打磨，應(yīng)使因之?dāng)M出的題看不出，或想不到與原題有什么因果聯(lián)系。只有這樣，才能使編擬的題上質(zhì)量上檔次。再看一例：題 6已知 p（ p，0）是平面直角坐標(biāo)系x 軸上的一點(diǎn)（p0）， m 、n 兩點(diǎn)在 y 軸上，且 |mn|=2p 。過(guò)m 、 n 、

17、p 三點(diǎn)作一個(gè)圓。 求圓心 c 的軌跡方程。 （ y2=2px，拋物線(xiàn)） 設(shè) op 的垂直平分線(xiàn)交曲線(xiàn)c 于 a、 b 兩點(diǎn)，求曲線(xiàn)c 關(guān)于以 ab 為對(duì)稱(chēng)軸的曲線(xiàn) c的方程。（ y2=-2p(x-p) ）對(duì)兩條曲線(xiàn)以 ab 為準(zhǔn)， ab 的左邊取曲線(xiàn)c 的部分曲線(xiàn)段； ab 的右邊取曲線(xiàn) c的部分曲線(xiàn)段，包括 ab 形成一個(gè)圖形。讓這個(gè)圖形以ab 的中垂線(xiàn)為軸，即繞著ab 的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體。以此幾何體模擬為某植物的種子，且使ab 成水平線(xiàn)放置（形如上下凸起的圍棋子）。如果 ab=2cm，且這樣的種子上下、 前后、左右整齊堆放于一內(nèi)壁為10 104 的盒子內(nèi)， 搭載于神舟 *號(hào)宇宙

18、飛船進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，第 4頁(yè)共 9頁(yè)則一個(gè)這樣的盒子共可搭載多少枚這樣的植物種子？(100 枚)這樣的題有多濃的品位。其實(shí)題6（1）的原題就是，已知拋物線(xiàn)y2=2px (p0) ，點(diǎn) p (p,0)， c 是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，以 |cp|為半徑的圓被y 軸所截，則弦長(zhǎng)為定值2p。但題 6 當(dāng)然已面目全非。如果改 p (p,0)為 p (a,0)，使不向拋物線(xiàn)處聯(lián)想，則更有意思。只是本題還有（2）、（3），讓做題者知道是拋物線(xiàn)也好。題 6 還可展現(xiàn)得更充分些。筆者另加（4）為附加題： 附加題： 如果改變放置方式，能否增多放入的種子？如不能增多，請(qǐng)給予證明；如能夠增多，可增多多少（ 說(shuō)明： 放置時(shí)，

19、線(xiàn)段 ab 只能按水平或垂直方向）？（水平但錯(cuò)位放置時(shí)，可放置5 53+4 4 2=107 ，多放置 7 枚。垂直不合。 ） 4 改變于條件我們編題，切不能為編題而編題，如果說(shuō)，要對(duì)一道題加以改造形成新題，那一定要顯現(xiàn)有舊題變動(dòng)的原因，新題成立的新意。否則，還不如不改。試看下例：例 1 已知 p 是橢圓外一點(diǎn)，過(guò) p 作兩切線(xiàn) 1、 2， f1是焦點(diǎn) f1 關(guān)于 1 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， f2是焦點(diǎn) f2 關(guān)于 2 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。如圖 6-1 ，證明 pf1 f2 pf1f2。應(yīng)該說(shuō)，這是一個(gè)蠻不錯(cuò)的題，但圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題現(xiàn)在的平面解析幾何教學(xué)已經(jīng)淡出；又題目的解決雖然會(huì)用到橢圓的相關(guān)性質(zhì) （如光學(xué)性質(zhì)）

20、 ，但離教學(xué)較遠(yuǎn)， 要證明的問(wèn)題也過(guò)于平面幾何化。 那么，怎么進(jìn)行變化與改造呢？筆者擬成為第 5頁(yè)共 9頁(yè)題 7如圖 6-2，f1、 f2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p、q 是橢圓上直線(xiàn)f1f2 上方的任意兩點(diǎn)，連至 a ，使 pa=pf1；連 f1q 并延長(zhǎng)至 b ，使 qb=qf 2。 m 是 af 1 中點(diǎn)， n 是 f2b 中點(diǎn)。直線(xiàn)直線(xiàn) 2 過(guò) n 、 q， 1 2=c 。證明 c 到 af 2 的距離等于 c 到 f1b 的距離。f2p 并延長(zhǎng)1 過(guò) m 、 p，經(jīng)這樣一改，雖然mp、 nq 仍是橢圓的切線(xiàn)，卻不涉及切線(xiàn)概念；而對(duì)稱(chēng)條件卻使垂直平分線(xiàn)的概念強(qiáng)化，比原題更容易引發(fā)1、 2 上

21、的點(diǎn)到 a、 f1 的距離及 f2、 b 的距離分別相等；又結(jié)果按點(diǎn)到直線(xiàn)的距離給出， 更切合解析幾何的知識(shí)點(diǎn)。而饒有余味的竟是，證明c 到 af 2 及 f1b 的距離相等應(yīng)轉(zhuǎn)化為證明全等三角形 caf 2 與 cf1b 的兩條高相等。雖然證明的過(guò)程大致相仿，但|af 2|=|f1b|=2a 的定義應(yīng)用之關(guān)鍵比原題容易想到，因此也比原題便于證明。這就使問(wèn)題的改編圓滿(mǎn)成功。例 2 ab 是拋物線(xiàn) y2=2px (p0) 的焦點(diǎn)弦， m 是準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)。如圖 7， ap 平行于準(zhǔn)線(xiàn)，如果 mb ab ，證明 |ap|=bp| 。如例 1 一樣，證明的要求太平面幾何化。引發(fā)的思考不妨取ab

22、 中點(diǎn) n，證明 mb np（即著眼于等腰 pab 的中線(xiàn)、 ab 上的高線(xiàn)、 apb 的平分線(xiàn) np 的三線(xiàn)合一） 。但事實(shí)上， 延長(zhǎng) ap 交拋物線(xiàn)于q，q 與 a 關(guān)于拋物線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)。既然 |pa|=|pb|=|pq|，不如說(shuō)明abq為直角三角形。由此原題改編為題 8 ab 是拋物線(xiàn) y2=2px 的焦點(diǎn)弦， m 是準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)， a 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是q，如圖 7，如果 mb ba ，求證 m 、 b、 q 在一條直線(xiàn)上。這樣改動(dòng)，解析幾何、垂直關(guān)系、三點(diǎn)共線(xiàn)，題目的意蘊(yùn)濃多了，證明方法的選擇也更自由了。特別是向量法，與教學(xué)熱點(diǎn)貼得更緊。 5挖潛以推廣解析幾何中的橢圓與雙曲

23、線(xiàn)呈對(duì)偶關(guān)系， 圓錐曲線(xiàn)又把有心曲線(xiàn)橢圓與雙曲線(xiàn)及無(wú)心曲線(xiàn)拋物線(xiàn)囊括為整體的知識(shí)域。因此，橢圓的命題也許雙曲線(xiàn)中有對(duì)偶關(guān)系；能夠在圓錐曲線(xiàn)之其一成立的命題，在其他曲線(xiàn)中也能成立嗎？事實(shí)表明，圓錐曲線(xiàn)中的命題或性質(zhì)、相關(guān)結(jié)論等等，思索研究的潛力或余地大得很。前面提到的拋物線(xiàn)、 橢圓、雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)弦 op、oq ，op oq，pq 總過(guò)定點(diǎn)， 就是一例。 簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，題 7，題 8 都有挖潛結(jié)果或?qū)ε冀Y(jié)論：題 9如圖 8， f1， f2 是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，q， p 是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且p f1q，延長(zhǎng) pf1 至 a ，使pa=pf；延長(zhǎng) qf至 b，使 qf =qb 。 取 af中點(diǎn) m ，過(guò) m

24、 、 p 作直線(xiàn) ；取 f b 中點(diǎn) n，過(guò) n、221211q 作直線(xiàn) 2。 1 2=c。證明c 到 aq 的距離與c 到 qb 的距離相等。（先證cf1 a cbf2）第 6頁(yè)共 9頁(yè)題 10 ab 是圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦（如圖 7，圖 9-1，圖 9-2）， m 是準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)，弦 aq 平行于準(zhǔn)線(xiàn)，如果 bm ba ，證明 m 、b 、 q 在一條直線(xiàn)上。有趣的是，本人發(fā)現(xiàn)且證明題10 之后不久，就看到有關(guān)雜志上更理想的結(jié)果。4其實(shí)在題10 中，即便去掉bm ba 的條件，三點(diǎn)共線(xiàn)的結(jié)論依然成立。 6 拓展于結(jié)論同其他知識(shí)域一樣，解析幾何知識(shí)域，由于數(shù)形結(jié)合最緊密，因此，圖形、線(xiàn)條

25、之間的特征與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)往往更豐富。如上所述自編、改變數(shù)學(xué)題的過(guò)程，其中就蘊(yùn)含著很多的特征規(guī)律與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。我校本年級(jí)組內(nèi)同仁曾提議解決拋物線(xiàn)的找出焦點(diǎn)尺規(guī)作圖問(wèn)題。本人進(jìn)一步探索，且一舉解決所有圓錐曲線(xiàn)用尺規(guī)作出焦點(diǎn)的問(wèn)題。解決過(guò)程就用到相關(guān)解析幾何題的特征規(guī)律與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這就是題 11 用直尺、圓規(guī)作出僅有圓錐曲線(xiàn)圖形（其中拋物線(xiàn)給定頂點(diǎn)）的曲線(xiàn)焦點(diǎn)。解：作法如下：（ 1）對(duì)于拋物線(xiàn)，以 o 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線(xiàn)于a 、 b，連 ab( 中點(diǎn)為 m) ；作 ab 的垂直平分線(xiàn)，此即x 軸；過(guò) o 作 y 軸（即以 o 為圓心，作任意長(zhǎng)為半徑形成線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)）；作任意弦 op、

26、oq ，使 op oq ；連 pq 交 ox 軸于 n，由熟知的結(jié)論， n 為定點(diǎn)， |on|=2 p；在x軸上取 on 的 1/4 點(diǎn)，如圖 10-1，即 f， |of|= /2。p（ 2）對(duì)于橢圓，先作兩平行弦，及兩平行弦的中點(diǎn)連線(xiàn)，如法炮制平行弦的中點(diǎn)連線(xiàn)；兩中點(diǎn)連線(xiàn)交于o，此即橢圓中心；以 o 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，再作弦pq，作 pq 的垂直平分線(xiàn) x 軸；過(guò) o 作 y 軸；對(duì) x 軸、 y 軸上的頂點(diǎn) a 、 b，顯然 |oa|=a， |ob|=b ，以 b 為圓心， oa 長(zhǎng)為半徑作弧交x 軸于 f，22如圖 10-2，ofbfboc.（ 3）對(duì)于雙曲線(xiàn)，作法同于（2），作

27、得 o 點(diǎn)， x 軸、 y 軸；頂點(diǎn)a ；以 o 為圓心， oa 為半徑作圓；作任意半徑 oq 并延長(zhǎng)至任意雙曲線(xiàn)形內(nèi) m 點(diǎn)；以 m 為圓心， mq 為半徑作圓與圓 o 相切，交 x 軸于 f， f 即焦點(diǎn)。如圖 10-3，設(shè) p 為圓 m 與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，則 |pf | |pf|=2a，即 |mo| |mf|=a，即 |om|=|mq|+a ，為兩半徑之和。第 7頁(yè)共 9頁(yè) 明 10 前 有 ： 在坐 平面 o xy 上畫(huà)了函數(shù) y =x 2 的 象，然后擦去坐 ， 留下一條拋物 ，怎 用 和直尺重新作出坐 和 度 位。其 拋物 不 出 點(diǎn)也可以作出坐 系：兩條平行弦的中點(diǎn) m 平行于 y

28、 ，作 m 的垂 交拋物 于 ab ，ab 的垂直平分 就是y 20 “找”出 的中心，曾是上海2004 年的春季高考 。 ，本文開(kāi)始“ 1解 ”中提到的例 2，由是在此 予了解決。雙曲 上 直徑的 與焦點(diǎn)及雙曲 上任意一點(diǎn) 段 直徑的 相外切，居然在此作 中能得以 用。利用 4 ， 11 不 可作出 曲 的焦點(diǎn)， 可 一步作出 曲 的準(zhǔn) 。出于 篇幅的考 ， 那 的 成因不再 例。事 上，各種因素也是 合起作用的。但 于 、改 的的 ， 是有必要 略地 一下：10 不能 、改 而 、改 。20 也好，改 也好，都要具有 意，具有新意，具有解 意 。尤其是改 ，決不能只是數(shù)據(jù)的 。要盡量看不出

29、它就是某某 。否 便無(wú)意 。30 、改 都要有明確的 方向。要有適宜的解 背景。比如是用于 ，用于高考（或模 考），用于 或 。不同的用 合， 不同的特色。40 、改 要指明出 或 由（ 于 中的用 ，由于 廣量大， 可 可不必一一 明）。組題所 ，就是 復(fù) 、一學(xué)期、某 段、一個(gè)知 域所整合的一份考 卷或 卷。從國(guó)家來(lái) ，高考卷就是最 究的 卷。一般來(lái) ，一個(gè)年 一個(gè)學(xué) 段的考 卷的 成，往往最正常的途徑就是在各種相關(guān) 料中找出若干 切合的 ，按定型定量的方式列序付印而已。盡管 最好能最多具有 、改 的成份，但基于 、精力的 ，一般 么做的情況并不多。即便如此，決不等于 ， 可以不 究， 沒(méi)

30、什么要求。 于 些，并不是所有教 都有很好的 ，都有正確的 。即便是 高 次的 者，甚至所 家，也未必 點(diǎn)、理念都十分到位。筆者 此 一些淺 ，欠妥不當(dāng)之 迎批 指正。 的目的必 端正。不 是哪 卷，都要重 卷的內(nèi)容與考 的要求及方向相 ；且 的要求及方向， 得與 俱 ，宏 上與培養(yǎng) 素 能力掛 ，突出 意、新意；微 上與當(dāng)前教學(xué)狀況掛 。立足基 知 基本機(jī)能的 化與鞏固。以上海而 ，自主命 ，尤其是近數(shù)年來(lái)，高考 卷的 量越來(lái)越被社會(huì)所肯定， 是 卷 價(jià)考察追求的方向。 在各相關(guān)學(xué)校的各 考 ，筆者以 方面的差距 很明 。由于自 、改 客 上很少，于是 ，拼命在各 料中搜索，首先生怕有關(guān) 被

31、 人做到猜到。 其 是個(gè) 區(qū)。考 的目的是 學(xué)生 知 、特 是基 知 重要知 關(guān) 知 的理解、掌握與鞏固。不在于相關(guān) 平 的多少，是否被做 。由于 者極力求異，往往使考 偏離方向，在主次重 上失衡。比如有一次的高二期末 卷的第12 （填空 ）： 接拋物 上任意四點(diǎn)的四 形?？赡苁莀 _ （填寫(xiě)所有的正確 的序號(hào)）。（ * ）菱形三條 相等的四 形梯形平行四 形有一 相等的四 形一般來(lái) ，如果安排12 道填空 ， 12 然是小 ，地位卻 足 重。 道 拋物 什么 的第 8頁(yè)共 9頁(yè)知識(shí)內(nèi)容呢？知識(shí)點(diǎn)的解決用到什么樣的解題思路與方向呢？組題的輕重配置必須得當(dāng)?，F(xiàn)在有些題組，大題不像大題，小題不像小

32、題：大題按選擇填空給出也可以，小題有時(shí)比大題求解還費(fèi)時(shí)費(fèi)力。小題的結(jié)果設(shè)置，由于題目措詞與要求不當(dāng)，給解答的評(píng)判帶來(lái)麻煩與不公。比如有些不等式的求解問(wèn)曰：不等式的解集是 _ 。對(duì)于 2x3 ， x (2,3) ， x x|2x3 。第一種解答判錯(cuò)，顯然抹殺了與不會(huì)解、解不出、解錯(cuò)了的區(qū)別。這些顯然都是偏向。小題應(yīng)以檢驗(yàn)對(duì)知識(shí)的把握為準(zhǔn)，盡量不出現(xiàn)解答過(guò)于對(duì)應(yīng)不上知識(shí)點(diǎn)，過(guò)于對(duì)應(yīng)不上解題思路的問(wèn)題。由于對(duì)知識(shí)理解掌握的深刻熟練的程度差別而形成解題的用時(shí)用力的程度差別是正常的；由于思索茫然導(dǎo)致的用時(shí)用力的程度差別是不正常的。如剛才提到的題（* ），就是一道作為試題的壞題：也許花上相當(dāng)?shù)臅r(shí)間腦力還不得要領(lǐng)；又五種選擇思考，一個(gè)搞錯(cuò)前功盡棄。即便做對(duì)了，也不知如是做有什么意義。必須端正一個(gè)思想，試題的